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浙江省宁波市2013届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案


浙江宁波市 2013 届高三第一学期期末考试

数学(理)试题
本试题分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) V ? Sh
如果事件 A、B 相互独立,那么 高 其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

棱锥的体积公式

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 高
k Pn (k ) ? Cn P k (1 ? P) n?k (k ? 0,1,2,?, n)

V ?

1 Sh 3

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的

球的表面积公式

棱台的体积公式

S ? 4?R 2

1 V ? h ( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1,S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高 其中 R 表示球的半径

球的体积公式

V ?

4 ? R3 3

第 I 卷(选择题部分

共 50 分)

一、选择题:本大题共 1 0 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? { y | y ? ln( x ? 1), x ? R}, 则CR A =
2

A. ?

B. (—∞,0]

C. (—∞,0)

D.[0,+∞)

2.已知 a,b 是实数,则“ | a ? b |? a ? b ”是“ab<0”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.函数 f ( x) ? ?

?1 ? 5? x , x ? 0 ? , 则该函数为 x ?5 ? 1, x ? 0 ?
B.单调递增函数,偶函数 D.单调递减函数,偶函数

A.单调递增函数,奇函数 C.单调递减函数,奇函数 4.已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m在[0, ] 上有两个零点,则 m 的取值范围是 2
D.[l,2]

?

A. (1,2) B.[1,2) C. (1,2] 5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 BC1 与截面 BB1D1D 所成的角是 A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

6.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该四棱锥的体积是 A.

3 3 cm 3 8 3 3 cm 3

B.

4 3 3 cm 3
3

C.

D. 3cm

7.设实数列 {an }和{bn } 分别为等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1 ,则以下结 论正确的是 A. a2 ? b2 B. a3 ? b3 C. a5 ? b5 D. a6 ? b6

8. 设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1, 2, F 若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|: 1F2|: 2|=4: |F |PF 3:2, 则曲线 C 的离心率等于

1 1 3 或2 D. 或 2 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? 9.△ABC 外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 AB ? AC ? 2 AO ,| AB | ? 3 |OA |, 则 CB CA ?
A. 或 B. C. 的值是 A.3 B. 3 C.

2 3

3 2

2 或2 3

3 2

D.1

?e x ? 1, x ? 0 10.已知 f ( x) ? ? , 则方程f ( x) ? x ? 0在区间 [0,5) 上所有实根和为 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
A.15 B.10 C.6 D.4

第Ⅱ卷(非选择题部分

共 1 00 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分, 11.已知 a,b 是实数,且 b ? (4 ? i)b ? 4 ? ai ? 0 (其中 i 是虚数单位) ,则 | a ? bi | 的值
2





12. 如果双曲我的两个焦点分别为 F (0,3)和F2 (0,3) , 其中一条渐近线的方程是 y ? 1 则双曲线的实轴长为 .

2 x, 2

13.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 首项a1 ? 1, 且对任意正整数 n 都有 则 Sn = 。 。 (用数字作答) .

a2 n 4n ? 1 , ? an 2n ? 1

14.执行如图所示的程序框图,则输出的 s 值是 15. (2 x ?

1 x

)6 的展开式中的常数项为

16.已知 D 是由不等式组 ?

?x ? 2 y ? 0 所确定的平面区域,则圆 ?x ? 3y ? 0


x2 ? y 2 ? 4 在区域 D 内的弧长是

17 . 已 知 两 条 直 线 l1 : y ? 2, l2 : y? 4, 设函数 y? x3 1l ,2分 别 交 于 点 A , B , 函 数 与 l

y ? 7x 与l1 , l2 分别交于点 C,D,则直线 AB 与直线 CD 的交点坐标是



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 . 本 题 满 分 14 分 ) 在 △ ABC 中 , 已 知 AC=2 , AB=1 , 且 角 A 、 B 、 C 满 足 (

B?C c o s 2 ? 2 s2i n A ? 2

1.

(I)求角 A 的大小和 BC 边的长; (II)若点 P 是线段 AC 上的动点,设点 P 到边 AB、BC 的距离分别是 x,y.试求 xy 的最 大值,并指出 P 点位于何处时 xy 取得最大值.

19. (本题满分 14 分)已知正方体 ABCD、EFGH 的棱长为 1,现从 8 个顶点中随机取 3 个点 构成三角形,设随机变量 X 表示取出的三角形的面积。 (I)求概率 P ( X ?

1 ); 2

(II)求 X 的分布形列及数学期望 E ( X ).

20. (本题满分 15 分)已知四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是平行四边形, ∠BAD=120°,PA=AD=1,AB=2。M、N 分别是 PD、CD 的中点。

(I)求证:MN⊥AD; (II)求三面角 A—MN—C 的平面角的余弦值.

21. (本题满分 15 分)如图,设点 P(m, n)是圆C1 : x ? ( y ? 1) ?
2 2

3 上的动点,过点 P 作 4

抛物线 C2 : x2 ? ty(t ? 0) 的两条切线,切点分别是 A、B。已知圆 C1 的圆心 M 在抛物 线 C2 的准线上。 (I)求 t 的值; (Ⅱ)求 PA ? PB 的最小值,以及取得最小值时点 P 的坐标。

??? ??? ? ?

22. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? tx ?
3

t ?1 ,t ? R 。 2

(I)试讨论函数 f ( x ) 在区间[0,1]上的单调性: (II)求最小的实数 h,使得对任意 x∈[0,1]及任意实数 t, f ( x)? | 立.

t ?1 | ? h ? 0 恒成 2


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