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三角恒等变换应用【学生版】


高三数学
三角恒等变换应用
学生姓名 教师姓名 授课日期 授课时长

知识定位
本篇学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式,二倍角正弦、余弦和正切公 式的以及运用这些公式进行简单的恒等变换。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结 合点上。 通过本章的学习,要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发 展推理能力和运算能力,使学生体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一 些应用。

1

知识梳理
1、 本章网络结构

tan 2? ?

2 tan ? tan ? ? tan ? ? ?? ???? tan?? ? ?? ? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ?
相除 相除

S ? ?? ?
2

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2

? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? sin 2? ? 2 sin ? cos ?
2

? ?? ????

S ? ?? ? C ? ?? ? C ? ??
相加减

移项 ? ? 2?

? 2 ? 1 ? cos ? ? 2 sin 2 2 1 ? cos ? ? 2 cos2
变形

1 ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? sin ? ? ?sin?? ? ?? ? sin?? ? ??? 2 1 cos ? cos ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos?? ? ?? ? cos?? ? ??? 2 sin ? cos ? ?


sin cos

? 1 ? cos ? ?? 2 2 ? 1 ? cos ? ?? 2 2
相除

?A ? ? ? ? ? ?B ? ? ? ?

? 1 ? cos ? ? 2 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? sin ? tan

A?B A?B cos 2 2 A?B A?B sin A ? sin B ? 2 cos sin 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? 2 cos cos 2 2 A?B A?B cos A ? cos B ? ?2 sin sin 2 2 sin A ? sin B ? 2 sin

2、要点概述 (1)求值常用的方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法, “1”的 代换法等。 (2)要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对性,如
2

2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??,? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?
? 2? ? ? 是 的半角, 是 的倍角等。 3 3 2 4
(3)要掌握求值问题的解题规律和途径,寻求角间关系的特殊性,化非特殊角为特殊 角,正确选用公式,灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。 (4)求值的类型: ①“给角求值” :一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察非特殊 角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合和差化积、积化和差、 升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。 ②“给值求值” :给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关 键在于“变角” ,使其角相同或具有某种关系。 ③“给值求角” :实质上可转化为“给值求值” ,关键也是变角,把所求角用含已知角 的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。 ( 5 ) 灵 活 运 用 角 和 公 式 的 变 形 , 如 : 2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ,

tan ? ? tan ? ? tan?? ? ???1 ? tan ? tan ?? 等,另外重视角的范围对三角函数值的影响,因
此要注意角的范围的讨论。 (6)化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一) , 二是三角函数名称的变化(即当式子中所含三角函数种类较多时,一般是“切割化弦” ) , 有时,两种变换并用,有时只用一种,视题而定。 (7)证明三角恒等式时,所用方法较多,一般有以下几种证明方法: ①从一边到另一边,②两边等于同一个式子,③作差法。

例题精讲
【题目来源】 【题目】 (1)求值 sin75°=______;

4 π ,则 cos( ? ? ) ? ______; 5 4 π ? (3)已知角 的终边经过点(-1,-2),则 tan( ? ? ) 的值为______; 2 4 ? 1 ? tan 15 ? ______. (4)求值 1? tan 15 ?
(2)设 ? ? ( , π), sin ? ? 【难度系数】4 【题目来源】 【题目】求值: (1) 3 cos

π 2

π π ? sin ? ______; 12 12
3

(2)cos43°cos77°+sin43°cos167°=______; (3) tan23 ? tan37 ? 3 tan23 tan37 ? ______.
? o ? ?

【难度系数】4 【题目来源】

2 1 , t a n? ( ? ? ) ? ,则 tan2??=______; 5 4 3π 3 π 12 π (2)已知 ? , ? ? ( , π), sin(? ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ) 的值. 4 5 4 13 4
【题目】

t a n? ( ? ?) ?

【难度系数】4 【题目来源】 【题目】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个锐角??,??,它们的终边 分别与单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为

2 2 5 , . 10 5

(Ⅰ)求 tan(??+??)的值; (Ⅱ)求??+2??的值. 【难度系数】4 【题目来源】 【题目】 化简(1)

2 sin 2
【难度系数】4 【题目来源】

?
2

cos2? ? 2 sin

?
2

cos

?
2

;(2) 2 cos( x ?

?1

π π ) cos( x ? ) ? 3 sin 2 x. 4 4

π sin( ? ? ) 15 4 【题目】 (1)已知??为第二象限角,且 sin ? ? ,求 的值. 4 sin 2? ? cos2? ? 1
(2)已知 6 cos x ? 2 3 sin x cos x ? 3 ? 2 3 ,求 sin2x 的值.
2

【难度系数】4 【题目来源】 【题目】设 a ?

1 3 2 tan13 sin 50 cos 6 ? sin 6 , b ? ,c ? , 则有( 2 2 2 1 ? tan 13 2cos 25


4

【难度系数】4 【题目来源】 【题目】

已知 <β <α <

π 2

3π 12 3 ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- ,求 4 13 5

sin2α 的值.
【难度系数】3 【题目来源】 【题目】化简: [2sin50°+sin10°(1+ 3 tan10°) ]· sin 2 80? . 【难度系数】3

习题演练
【题目来源】

【题目】已知 sin(α +β )=

tan( ? ? ? ) ? tan ? ?tan ? 2 3 ,sin(α -β )= ,求 3 4 tan 2 ? ? tan( ? ? ?)

的值. 。
【难度系数】3 【题目来源】 【题目】若 sin ? ? sin ? ? 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】已知:向量 a ? ( 3, ?1) , b ? (sin 2x, cos 2 x) ,函数 f ( x) ? a ? b

2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围。 2

(1)若 f ( x) ? 0 且 0 ? x ? ?

,求 x 的值;

x?

?
12



7? 12

(2)求函数 f ( x) 取得最大值时,向量 a 与 b 的夹角.
【难度系数】3 【题目来源】

5

【题目】 已知 α ? ( 的值. 【难度系数】3 【题目来源】

? 3? ? 3 5 3? ? , ),β ? (0, ), cos (α- )= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β) 4 4 4 5 13 4 4

【题目】化简 sin2 ? · sin2 ? +cos2 ? cos2 ? 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】已知 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ; (1) 求 f (
25? ) 的值; 6

1 cos2 ? · cos2 ? . 2

(2) 设 ? ? (0, ? ), f ( ) ? ?
2

?

1 4

3 ,求 sinα 的值. 2

【难度系数】3 【题目来源】 【题目】已知 sin2 2α+ sin 2α cosα-cos2α=1,α ? (0, 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】设向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) , 且0 ? ? ? ? ? ? , 若 a ? b ?
? ?
? ?

? ),求 sinα、tanα 的值. 2

4 , 5

tan ? ?

4 ,求 tan ? 的值。 3

【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】已知 cos ? ?

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

(Ⅰ)求 tan 2? 的值.(Ⅱ)求 ? . 【难度系数】3 【题目来源】 【题目】已知函数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域.
6

【难度系数】3

7


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