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三角函数最好练习3-1-1两角差的余弦公式


3-1-1 两角差的余弦公式 一、选择题 1.cos39° cos9° +sin39° sin9° 等于( 1 A. 2 1 C.- 2 [答案] B [解析] cos39° cos9° +sin39° sin9° =cos(39° )=cos30° -9° = 2.cos555° 的值为( A. C. 6+ 2 4 6- 2 2 ) B.- D. 6+ 2 4 3 . 2 )

B. 3 2 3 2

D.-

2- 6 4

[答案] B [解析] cos555° =cos(360° +195° )=cos(180° +15° ) =-cos15° =-cos(45° -30° ) =-(cos45° cos30° +sin45° sin30° ) =- 6+ 2 . 4 )

π π 4 3.已知 α∈?0,2?,sinα= ,则 cos?4-α?等于( ? ? ? ? 5 7 A. 2 10 C.- 2 10 B. 2 10

D.-

2 5

[答案] A π [解析] ∵α∈?0,2?,∴cosα>0. ? ? ∴cosα= 1-sin2α= 16 3 1- = . 25 5

π π π ∴cos?4-α?=cos cosα+sin sinα ? ? 4 4 = 2 3 2 4 7 2 × + × = . 2 5 2 5 10 ) B.1 D.-1

4.若 sinα· sinβ=1,则 cos(α-β)的值为( A.0 C.± 1

[答案] B
? ? ?sinα=-1 ?sinα=1 [解析] ∵sinαsinβ=1,∴? 或? , ? ? ?sinβ=-1 ?sinβ=1

由 cos2α+sin2α=1 得 cosα=0, ∴cos(α-β)=cosα· cosβ+sinα· sinβ=0+1=1. 5.cos75° +cos15° 的值是( A. C. 3 2 6 2 ) B. D. 2 2 6 3

[答案] C [解析] 注意公式的逆用与变形应用, 原式=sin15° +cos15° = 2(cos15° cos45° +sin15° sin45° ) = 2cos30° 2× = 3 6 = . 2 2

[点评] 也可运用 75° =45° -(-30° ),15° =45° -30° 展开. 6.化简 sin(x+y)sin(x-y)+cos(x+y)cos(x-y)的结果是( A.sin2x C.-cos2x [答案] B [解析] 原式=cos(x+y)cos(x-y)+sin(x+y)· sin(x-y) =cos[(x+y)-(x-y)]=cos2y. π 3 2 5 7. sin(π+θ)=- , 是第二象限角, ?2+φ?=- 若 θ sin? , 是第三象限角, cos(θ-φ)的值是( φ 则 ? 5 5 A.- 5 5 B. 5 5 ) B.cos2y D.-cos2y )

11 5 C. 25 [答案] B

D. 5

3 [解析] ∵sin(π+θ)=- ,且 θ 是第二象限角, 5 3 ∴sinθ= ,cosθ=- 5 3 4 1-?5?2=- . ? ? 5

π 2 5 又∵sin?2+φ?=- ,且 φ 是第三象限角, ? ? 5 2 5 5 ∴cosφ=- ,sinφ=- . 5 5 ∴cos(θ-φ)=cosθcosφ+sinθsinφ

4 5 2 5? 3 ? 5 =?-5?×?- + × - ?= . ? ? ? 5 ? 5 ? 5? 5 π π 8.cos + 3sin 的值为( 12 12 A.- 2 1 C. 2 [答案] B π π [解析] ∵cos + 3sin 12 12 1 π 3 π =2? cos + sin ? 2 12 2 12? ? π π π π =2?cos3cos12+sin3sin12? ? ? π π π =2cos?3-12?=2cos = 2. ? ? 4 [点评] 创造条件应用公式是三角恒等变换的重要技能技巧. π 3 π 5π 9.已知 sin?6+α?= , <α< ,则 cosα 的值是( ? ? 5 3 6 3-4 3 A. 10 2 3-3 C. 5 [答案] A π 5π π π [解析] ∵ <α< ,∴ < +α<π. 3 6 2 6 π ∴cos?6+α?=- ? ? π 4 1-sin2?6+α?=- . ? ? 5 ) ) B. 2 D. 3

4-3 3 B. 10 3-2 3 D. 5

π π ∴cosα=cos??6+α?-6? ? ?

?

?

π π π π =cos?6+α?cos +sin?6+α?sin ? ? 6 ? ? 6 4 3 3 1 3-4 3 =- × + × = . 5 2 5 2 10 4 3 10.已知 sinα+sinβ= ,cosα+cosβ= ,则 cos(α-β)的值为( 5 5 9 A. 25 1 C. 2 [答案] D 4 3 [解析] 由已知,得(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=?5?2+?5?2=1, ? ? ? ? 16 B. 25 1 D.- 2 )

所以 2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1, 即 2+2cos(α-β)=1. 1 所以 cos(α-β)=- . 2 二、填空题 3 5 4 12 11.cosα= ,cosβ= ,sinα=- ,sinβ= ,则 cos(α-β)=________. 5 13 5 13 33 [答案] - 65 [解析] cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 4 12 3 5 33 = × +?-5?× =- . 5 13 ? ? 13 65 12.cos(61° +2α)cos(31° +2α)+sin(61° +2α)sin(31° +2α)=________. [答案] 3 2

[解析] 原式=cos[(61° +2α)-(31° +2α)] =cos30° = 3 . 2

π 13.已知 cos?α-3?=cosα,则 tanα=________. ? ? [答案] 3 3

π π π [解析] cos?α-3?=cosαcos +sinαsin ? ? 3 3 1 3 = cosα+ sinα=cosα, 2 2 ∴ 3 1 sinα 3 3 sinα= cosα,∴ = ,即 tanα= . 2 2 cosα 3 3

2cos10° -sin20° 14.化简 =________. cos20° [答案] [解析] = 3 2cos10° -sin20° 2cos?30° -20° ?-sin20° = cos20° cos20°

3cos20° +sin20° -sin20° = 3. cos20°

三、解答题 15.求值: (1)sin285° ; (2)sin460° sin(-160° )+cos560° cos(-280° ). [分析] 解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦的形式求解. [解析] (1)sin285° =sin(270° +15° )

=-cos15° =-cos(60° -45° ) =-(cos60° cos45° +sin60° sin45° ) =- 6+ 2 . 4

(2)原式=-sin100° sin160° +cos200° cos280° =-sin100° sin20° -cos20° cos80° =-(cos80° cos20° +sin80° sin20° ) 1 =-cos60° =- . 2 [点评] 解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是: ①把非特殊角转化为特殊角的和或差, 正用公式直接求值.②在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用 公式求值. π 1 2 16.已知 sinα= ,α∈?0,2?,cosβ= ,β 是第四象限角,求 cos(α-β)的值. ? ? 3 7 [分析] 分别求得 cosα,sinβ 的值,利用 C(α-β)求得. π 1 [解析] ∵sinα= ,α∈?0,2?, ? ? 3 2 ∴cosα= 1-sin2α= 2. 3 2 ∵cosβ= ,β 是第四象限角, 7 3 ∴sinβ=- 1-cos2β=- 5. 7 ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ = = 2 2 1 3 2× + ×(- 5) 3 7 3 7 4 2-3 5 . 21

[点评] 已知 sinα(或 cosα),cosβ(或 sinβ),求 cos(α-β)的步骤:(1)利用同角三角函数基本关系式,求 得 cosα(或 sinα),sinβ(或 cosβ)的值;(2)代入两角差的余弦公式得 cos(α-β)的值. β α π π α+β 1 2 17.设 cos?α-2?=- ,sin?2-β?= ,其中 α∈?2,π?,β∈?0,2?,求 cos . ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 9 2 α+β ? β α [分析] 观察已知角和所求角,可知 =?α-2?-?2-β?,故可利用两角差的余弦公式求解. ? ? ? 2 π π [解析] ∵α∈?2,π?,β∈?0,2?, ? ? ? ? π π β π α ∴α- ∈?4,π?, -β∈?-4,2?, ? 2 ? ? 2 ? β ∴sin?α-2?= ? ? β 1-cos2?α-2? ? ?



1 4 5 1- = . 81 9 α 1-sin2?2-β?= ? ? 4 5 1- = . 9 3

α cos?2-β?= ? ?

α+β β α ∴cos =cos??α-2?-?2-β?? ?? ? ? ?? 2 β α β α =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?· ?2-β? sin? ? ? ? ? ? ? ? 1 5 2 4 5 7 5 =- × + × = . 9 3 3 9 27 4 16 18.若 α,β 为锐角,且 cosα= ,cos(α+β)=- ,求 cosβ 的值. 5 65 π [解析] ∵0<α,β< ,∴0<α+β<π. 2 16 63 由 cos(α+β)=- ,得 sin(α+β)= . 65 65 4 3 又∵cosα= ,∴sinα= . 5 5 ∴cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 16 4 63 3 5 =?-65?× + × = . ? ? 5 65 5 13


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