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1.3(一)三角函数的诱导公式


§1.3

三角函数的诱导公式(一)

课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进 行求值、化简与证明.

1.设 α 为任意角,则 π+α,-α,π-α 的终边与 α 的终边之间的对称关系. 相关角 终边之间的对称关系 π+α 与 α 关于________对称 -α 与 α 关于________对称 π-α 与 α 关于________对称 2.诱导公式一~四 (1)公式一:sin(α+2kπ)=__________,cos(α+2kπ)=________,tan(α+2kπ)=________,其 中 k∈Z. (2)公式二:sin(π+α)=______,cos(π+α)=________,tan(π+α)=________. (3)公式三:sin(-α)=________,cos(-α)=________,tan(-α)=________. (4)公式四:sin(π-α)=________,cos(π-α)=________,tan(π-α)=________.

一、选择题 1.sin 585° 的值为( ) 2 2 A.- B. 2 2

C.-

3 2

D.

3 2

sin?nπ+α? 2.若 n 为整数,则代数式 的化简结果是( ) cos?nπ+α? A.± tan α B.-tan α 1 C.tan α D. tan α 2 1 3 3.若 cos(π+α)=- , π<α<2π,则 sin(2π+α)等于( ) 2 2 1 3 3 3 A. B.± C. D.- 2 2 2 2 sin?α-3π?+cos?π-α? 4.tan(5π+α)=m,则 的值为( ) sin?-α?-cos?π+α? m+1 m-1 A. B. C.-1 D.1 m-1 m+1 5.记 cos(-80° )=k,那么 tan 100° 等于( ) 2 2 1-k 1-k k k A. B.- C. D.- 2 k k 1-k 1-k2 π ? 1 6.若 sin(π-α)=log8 ,且 α∈? ) ?-2,0?,则 cos(π+α)的值为( 4 5 5 A. B.- 3 3 5 C.± D.以上都不对 3 二、填空题

π 3 5π 7.已知 cos( +θ)= ,则 cos( -θ)=________. 6 3 6 2 cos?α+π?sin ?α+3π? 8.三角函数式 的化简结果是______. tan?α+π?cos3?-α-π? 1+2sin 290° cos 430° 的化简结果是______. sin 250° +cos 790° 10.设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中 a、b、α、β 为非零常数.若 f(2 009)=1, 则 f(2 010)=____. 9.代数式 三、解答题 sin?α-2π?+sin?-α-3π?cos?α-3π? 2 11.若 cos(α-π)=- ,求 的值. 3 cos?π-α?-cos?-π-α?cos?α-4π?

12.已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.

能力提升 sin[?k+1?π+θ]· cos[?k+1?π-θ] 13.化简: (其中 k∈Z). sin?kπ-θ?· cos?kπ+θ?

14.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三 个内角.

1.明确各诱导公式的作用 诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四

作用 将角转化为 0~2π 求值 将 0~2π 内的角转化为 0~π 之间的角求值 将负角转化为正角求值 π 将角转化为 0~ 求值 2

2.诱导公式的记忆 这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变, 符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名 称一致,符号则是将 α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α 看成锐角,只是公 式记忆的方便,实际上 α 可以是任意角.

§1.3

三角函数的诱导公式(一) 答案

知识梳理 1.原点 x 轴 y 轴 2.(1)sin α cos α tan α (2)-sin α -cos α tan α (3)-sin α cos α -tan α (4)sin α -cos α -tan α 作业设计 1.A 2.C 1 1 3.D [由 cos(π+α)=- ,得 cos α= , 2 2 3 ∴sin(2π+α)=sin α=- 1-cos2 α=- (α 为第四象限角).] 2 sin α+cos α tan α+1 m+1 4.A [原式= = = .] sin α-cos α tan α-1 m-1 5.B [∵cos(-80° )=k,∴cos 80° =k, 2 1 - k ∴sin 80° = 1-k2.∴tan 80° = . k 1-k2 ∴tan 100° =-tan 80° =- .] k 2 2 6.B [∵sin(π-α)=sin α=log2 2- =- , 3 3

∴cos(π+α)=-cos α=- 1-sin2 α=- 3 3 8.tan α 7.-

4 5 1- =- .] 9 3

-cos α· sin2α -cos α· sin2α cos α· sin2α sin α 解析 原式= = = =tan α. 3 3 = cos2α cos α tan α· cos ?α+π? -tan α· cos α sin α· 9.-1 1+2sin?180° +110° ?· cos?360° +70° ? 解析 原式= sin?180° +70° ?+cos?720° +70° ? 1-2sin 110° cos 70° 1-2sin 70° cos 70° = -sin 70° +cos 70° cos 70° -sin 70° |sin 70° -cos 70° | sin 70° -cos 70° = = =-1. cos 70° -sin 70° cos 70° -sin 70° 10.3 解析 f(2 009)=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β)+2 =asin(π+α)+bcos(π+β)+2 =2-(asin α+bcos β)=1, ∴asin α+bcos β=1, f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β)+2 =asin α+bcos β+2=3. -sin?2π-α?-sin?3π+α?cos?3π-α? 11.解 原式= -cos α-?-cos α?cos α sin α-sin αcos α = -cos α+cos2α sin α?1-cos α? = -cos α?1-cos α? =-tan α. 2 ∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=- , 3 2 ∴cos α= .∴α 为第一象限角或第四象限角. 3 2 当 α 为第一象限角时,cos α= , 3 5 sin α 5 5 sin α= 1-cos2α= ,∴tan α= = ,∴原式=- . 3 cos α 2 2 2 当 α 为第四象限角时,cos α= , 3 5 sin α 5 5 sin α=- 1-cos2α=- ,∴tan α= =- ,∴原式= . 3 cos α 2 2 5 综上,原式=± . 2 12.证明 ∵sin(α+β)=1, π ∴α+β=2kπ+ (k∈Z), 2 π ∴α=2kπ+ -β (k∈Z). 2 π ? ? ? tan(2α+β)+tan β=tan? ?2?2kπ+2-β?+β?+tan β =tan(4kπ+π-2β+β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β =

=tan(π-β)+tan β =-tan β+tan β=0, ∴原式成立. 13.解 当 k 为偶数时,不妨设 k=2n,n∈Z,则 sin[?2n+1?π+θ]· cos[?2n+1?π-θ] sin?π+θ?· cos?π-θ? -sin θ· ?-cos θ? 原式= = = =-1. sin?2nπ-θ?· cos?2nπ+θ? -sin θ· cos θ -sin θ· cos θ 当 k 为奇数时,设 k=2n+1,n∈Z,则 sin[?2n+2?π+θ]· cos[?2n+2?π-θ] 原式= sin[?2n+1?π-θ]· cos[?2n+1?π+θ] sin[2?n+1?π+θ]· cos[2?n+1?π-θ] = sin?π-θ?· cos?π+θ? sin θ· cos θ = =-1. sin θ· ?-cos θ? ∴上式的值为-1. 14.解 由条件得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B, 2 平方相加得 2cos2A=1,cos A=± , 2 π 3 又∵A∈(0,π),∴A= 或 π. 4 4 π ? 3 3 当 A= π 时,cos B=- <0,∴B∈? ?2,π?, 4 2 ∴A,B 均为钝角,不合题意,舍去. π 3 π 7 ∴A= ,cos B= ,∴B= ,∴C= π. 4 2 6 12


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