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第23章 一元二次方程 假期家教辅导讲义


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第二十三章

一元二次方程

知识结构:
实 际 问 题 一 元 二 次 方 程 一元二次方程 的解法 直接开平方法 因式 分解法 (配 方) 公式法 一 元 二 次 方 程 的 解

分析数量关系

检 验

? 应知 一、基本概念 一元二次方程:两边都是整式,只含有一个未知数(一元) ,并且未知数的最高次数是 2(二 次)的方程,叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0) 。 一元二次方程的根:一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 【注意】由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的解,还要检验这些根是否 符合题意,符合题意的才真正是实际问题的解. 二、基本法则 1. 解一元二次方程的方法 直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方
2 法。直接开平方法适用于解形如 ( x ? a) ? b 的一元二次方程。根据平方根的定义可知,当

b ? 0 时, x ? a ? ? b , x ? ?a ? b ,当 b<0 时,方程没有实数根。
因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易 行,是解一元二次方程最常用的方法。

-1-

http://www.czsx.com.cn 配方法:配方法是将一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)变形为 ?x ? m ? ? n 的
2

形式,然后求解的方法。其理论根据是完全平方公式 a ? 2ab ? b ? (a ? b) ,把公式中
2 2 2

的 a 看做未知数 x,并用 x 代替,则有 x 2 ? 2bx ? b 2 ? ( x ? b) 2 。配方法是一种重要的数学 方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。 公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一 般方法。 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的求根公式:
2

? b ? b 2 ? 4ac 2 x? (b ? 4ac ? 0) 2a
2. 解一元二次方程的步骤 ①因式分解法解一元二次方程的步骤: 首先把方程右边化为为零, 左边通过因式分解化为两个一次因式乘积, 由于两个一次因式相 乘为零,第一个因式为零或第二个因式为零,可各解得一个根。 【注意】使用因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式,否则,将会失 去一个根。 ②用配方法解一元二次方程的步骤: (1)移项; (2)化二次项系数为 1; (3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方; (4)原方程变形为(x+m)2=n 的形式; (5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一 元二次方程无解. 【注意】用配方法解一元二次方程,当二次项系数不为一时,一定要化为一,然后才能方程 两边同时加上一次项系数一半的平方。 ③用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,当 b2-4ac≥0 时,方程的解为 x=

?b ? b2 ? 4ac ,当 b2-4ac<0 时,一元二次方程无解。用公 2a

式法解一元二次方程时, 一定要把一元二次方程化为 ax2+bx+c=0 (a≠0)的形式, 准确确定 a、

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http://www.czsx.com.cn b、 的值。 2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式, c b 通常用"△"来表示, 即△=b2-4ac, "△" 读作"delta".一元二次方程的根的情况与判别式△的关系: 当△>0 时,方程有两个不相等 的实数根 ,当△=0 时,方程有两个相等的实数根 ,当△<0 时,方程没有实数根。 ④列一元二次方程解应用题的一般步骤:可概括为审、设、列、解、答。 ⑴审: 弄清题目中涉及到的已知量与未知量, 找出反映已知量与未知量等量关系的 句子。 ⑵设:用 x 表示未知数,把其他量也用数学利用已知量与未知量之间的等量关系式 子表示出来。 ⑶列:利用已知量与未知量之间的等量关系列一元二次方程。 ⑷解:解一元二次方程,注意要检验所得的解是否满足题意。 ⑸答:写出答案。 3. 常用术语含意: 翻一番:即为原净收入的 2 倍。 平均年增长率: 指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。 即每年按同样的百分数 增加,而增长的绝对数是不相同的。 ? 应会 1. 会把一元二次方程化成为一般形式。 2. 会用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 3. 能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 ? 例题 1. 求证:关于 x 的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论 m 取何值,该方程都是一元二次 方程. 2. 用配方法解方程(6x+7)2(3x+4) (x+1)=6 3. 如图(a)(b)所示,在△ABC 中∠B=90° 、 , AB=6cm,BC=8cm,点 P 从点 A? 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度运动,点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度运动. (1)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发, 经过几秒钟,使 S△PBQ=8cm2.

C P A (b)

C D Q B

Q A
-3-

P (a)

B

http://www.czsx.com.cn (2)如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发,并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进,Q 到 C? 后又继续在 CA 边上前进,经过几秒钟,使△PCQ 的面积等于 12.6cm2. (友情提示:过点 Q? 作 DQ⊥CB,垂足为 D,则:

DQ CQ ) ? AB AC

4. 市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2 提高到 14.4m,求每年人均住房面积增 长率. 5. 某数学兴趣小组对关于 x 的方程 ?m ? 1?x m
2

?1

+(m-2)x-1=0 提出了下列问题.

(1)若使方程为一元二次方程,m 是否存在?若存在,求出 m 并解此方程. (2)若使方程为一元一次方程,m 是否存在?若存在,请求出. 你能解决这个问题吗? 6. 某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行,到期后支取 1000 元用于购物,剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共 1320 元,求这种存款方式的年利率. 7. 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡,甲种贺年卡平均每天可售出 500 张, 每张盈利 0.3 元, 乙种贺年卡平均每天可售出 200 张, 每张盈利 0.75 元, 为了尽快减少库存, 商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果甲种贺年卡的售价每降价 0.1 元,那么商场 平均每天可多售出 100 张; 如果乙种贺年卡的售价每降价 0.25 元, 那么商场平均每天可多 ? 售出 34? 张.? 如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利 120 元,那么哪种贺年卡每张降价的 绝对量大. 8. 某林场计划修一条长 750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为 1.6m2,? 上口宽比渠 深多 2m,渠底比渠深多 0.4m. (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土 48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完? 9. 一辆汽车以 20m/s 的速度行驶,司机发现前方路面有情况,? 紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车. (1)从刹车到停车用了多少时间? (2)? 从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间(精确到 0.1s)? 10. 如图,某海军基地位于 A 处,在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B,? 在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C,小岛 D 位于 AC 的中
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A D B E F C

http://www.czsx.com.cn 点,岛上有一补给码头:? 小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向,一艘军舰从 A 出发,经 B 到 C 匀速巡航,一艘补给船同时从 D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将 一批物品送达军舰. (1)小岛 D 和小岛 F 相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的 2 倍,军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处,? 那 么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到 0.1 海里

? 参考答案 1. 观察与分析: 要证明不论 m 取何值, 该方程都是一元二次方程, 只要证明 m2-8m+17? ≠0 即可。

证明:m2-8m+17=(m-4)2+1 ∵(m-4)2≥0 ∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0 ∴不论 m 取何值,该方程都是一元二次方程

2.

观察与分析:因为如果展开(6x+7)2,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看 为一个数 y,那么(6x+7)2=y2,其它的 3x+4=

1 1 1 1 (6x+7)+ ,x+1= (6x+7)- ,因 2 2 6 6

此,方程就转化为 y? 的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法。

解:设 6x+7=y

1 1 1 1 y+ ,x+1= y- 2 2 6 6 1 1 1 1 依题意,得:y2( y+ ) ( y- )=6 2 2 6 6
则 3x+4= 去分母,得:y2(y+1) (y-1)=72 y2(y2-1)=72, y4-y2=72

1 2 289 )= 2 4 1 17 y2- =± 2 2
(y2- y2=9 或 y2=-8(舍)
-5-

http://www.czsx.com.cn ∴y=± 3 当 y=3 时,6x+7=3 6x=-4 x=-

2 3
x=-

当 y=-3 时,6x+7=-3 6x=-10 所以,原方程的根为 x1=-

5 3

2 5 ,x2=- 3 3

3.

观察与分析: (1)设经过 x 秒钟,使 S△PBQ=8cm2,那么 AP=x,PB=6-x,QB=2x,由面积公式便可得到 一元二次方程的数学模型. (2)设经过 y 秒钟,这里的 y>6 使△PCQ 的面积等于 12.6cm2.因为 AB=6,BC=8,由勾 股定理得:AC=10,又由于 PA=y,CP=(14-y) ,CQ=(2y-8) ,又由友情提示,便可得到 DQ,那么根据三角形的面积公式即可建模。

解: (1)设 x 秒,点 P 在 AB 上,点 Q 在 BC 上,且使△PBQ 的面积为 8cm2. 则:

1 (6-x)· 2x=8 2

整理,得:x2-6x+8=0 解得:x1=2,x2=4 ∴经过 2 秒,点 P 到离 A 点 1× 2=2cm 处,点 Q 离 B 点 2× 2=4cm 处,经过 4 秒, 点 P 到离 A 点 1× 4=4cm 处,点 Q 离 B 点 2× 4=8cm 处,所以它们都符合要求. (2)设 y 秒后点 P 移到 BC 上,且有 CP=(14-y)cm,点 Q 在 CA 上移动,且使 CQ=(2y-8)cm,过点 Q 作 DQ⊥CB,垂足为 D,则有 ∵AB=6,BC=8 ∴由勾股定理,得:AC= 62 ? 82 =10

DQ CQ ? AB AC

6(2 y ? 8) 6( y ? 4) ? 10 5 6( y ? 4) 1 则: (14-y)· =12.6 5 2
∴DQ= 整理,得:y2-18y+77=0 解得:y1=7,y2=11 即经过 7 秒,点 P 在 BC 上距 C 点 7cm 处(CP=14-y=7) ,点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm 处(CQ=? 2y-8=6) ,使△PCD 的面积为 12.6cm2.
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http://www.czsx.com.cn 经过 11 秒,点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处,点 Q 在 CA 上距 C 点 14cm>10, ∴点 Q 已超过 CA 的范围,即此解不存在. ∴本小题只有一解 y1=7.

4. 观察与分析:设每年人均住房面积增长率为 x.? 一年后人均住房面积就应该是 10+? 10x=10(1+x) ;二年后人均住房面积就应该是 10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2

解:设每年人均住房面积增长率为 x, 则:10(1+x)2=14.4 (1+x)2=1.44 直接开平方,得 1+x=± 1.2 即 1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是 x1=0.2=20%,x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2 应舍去. 所以,每年人均住房面积增长率应为 20%.

5.

观察与分析:能. (1)要使它为一元二次方程,必须满足 m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0. (2)要使它为一元一次方程,必须满足:

?m 2 ? 1 ? 1 ?m2 ? 1 ? 0 ?m ? 1 ? 0 ①? 或② ? 或③ ? ?m ? 2 ? 0 ?(m ? 1) ? ( m ? 2) ? 0 ?m ? 2 ? 0

解: (1)存在.根据题意,得:m2+1=2 当 m=1 时,m+1=1+1=2≠0

m2=1 m=± 1[

当 m=-1 时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去) ∴当 m=1 时,方程为 2x2-1-x=0 a=2,b=-1,c=-1 b2-4ac=(-1)2-4× (-1)=1+8=9 2×

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x=

?(?1) ? 9 1 ? 3 ? 2? 2 4

x1=,x2=-

1 2

因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根 x1=1,x2=- (2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0 因为当 m=0 时, (m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0 所以 m=0 满足题意. ②当 m2+1=0,m 不存在. ③当 m+1=0,即 m=-1 时,m-2=-3≠0 所以 m=-1 也满足题意. 当 m=0 时,一元一次方程是 x-2x-1=0, 解得:x=-1 当 m=-1 时,一元一次方程是-3x-1=0 解得 x=-

1 . 2

1 3 1 . 3

因此,当 m=0 或-1 时,该方程是一元一次方程,并且当 m=0 时,其根为 x=-1;当 m=-? 1 时,其一元一次方程的根为 x=-

6. 观察与分析:设这种存款方式的年利率为 x,第一次存 2000 元取 1000 元,剩下的本 金和利息是 1000+2000x·80%; 第二次存,本金就变为 1000+2000x·80%,其它依此类推。

解:设这种存款方式的年利率为 x 则:1000+2000x· 80%+(1000+2000x· 8%)x· 80%=1320 整理,得:1280x2+800x+1600x=320,即 8x2+15x-2=0 解得:x1=-2(不符,舍去) 2= ,x 答:所求的年利率是 12.5%.

1 =0.125=12.5% 8

-8-

http://www.czsx.com.cn 7.

观 察 与 分 析 : 原 来 , 两 种 贺 年 卡 平 均 每 天 的 盈 利 一 样 多 , 都 是 150 元 ;

0.3 0.75 100 ,从这些数目看,? 好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大,其实并 ? ? 0.1 0.25 34
非如此。

解: (1)从题意可知,商场要想平均每天盈利 120 元,甲种贺年卡应降价 0.1 元. (2)乙种贺年卡:设每张乙种贺年卡应降价 y 元, 则: (0.75-y) (200+ 即(

y × 34)=120 0.25

3 -y) (200+136y)=120 4

整理:得 68y2+49y-15=0

y=

?49 ? 6481 2 ? 68

∴y≈-0.98(不符题意,应舍去) y≈0.23 元 答:乙种贺年卡每张降价的绝对量大. 【注意】从以上一些绝对量的比较,不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律.

8.

观察与分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为 xm,则上口宽为 x+2, ? 渠底为 x+0.4,那么,根据梯形的面积公式便可建模。

解: (1)设渠深为 xm 则渠底为(x+0.4)m,上口宽为(x+2)m 依题意,得:

1 (x+2+x+0.4)x=1.6 2

整理,得:5x2+6x-8=0 解得:x1=

4 =0.8m,x2=-2(舍) 5

∴上口宽为 2.8m,渠底为 1.2m. (2)

1.6 ? 750 =25 天 48

答:渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m;需要 25 天才能挖完渠道。

-9-

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9.

观察与分析: 分析: 刚刹车时时速还是 20m/s, (1) 以后逐渐减少, 停车时时速为 0. ? 因为刹车以后,其速度的减少都是受摩擦力而造成的,所以可以理解是匀速的,因此,其 平均速度为

20 ? 0 =10m/s,那么根据:路程=速度×时间,便可求出所求的时间. 2

(2)很明显,刚要刹车时车速为 20m/s,停车车速为 0,车速减少值为 20-0=20,因 为车速减少值 20,是在从刹车到停车所用的时间内完成的,所以 20 除以从刹车到停车的 时间即可. (3)设刹车后汽车滑行到 15m 时约用除以 xs.? 由于平均每秒减少车速已从上题求 出,所以便可求出滑行到 15 米的车速,从而可求出刹车到滑行到 15m 的平均速度,再根 据:路程=速度×时间,便可求出 x 的值。

解: (1)从刹车到停车所用的路程是 25m;从刹车到停车的平均车速是 那么从刹车到停车所用的时间是

20 ? 0 =10(m/s) 2

25 =2.5(s) 10 20 =8(m/s) 2.5

(2)从刹车到停车车速的减少值是 20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是

(3)设刹车后汽车滑行到 15m 时约用了 xs,这时车速为(20-8x)m/s 则这段路程内的平均车速为 所以 x(20-4x)=15 整理得:4x2-20x+15=0 解方程:得 x=

20 ? (20 ? 8 x) =(20-4x)m/s 2

5 ? 10 2

x1≈4.08(不合,舍去) 2≈0.9(s) ,x 答:刹车后汽车行驶到 15m 时约用 0.9s. 10. 观察与分析: (1)因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形,△DFC 也是等腰直角 三角形,AC 可求,CD 就可求,因此由勾股定理便可求 DF 的长. (2)要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度,DF 已求,因此,只要在 Rt△DEF 中, 由勾股定理即可求。

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http://www.czsx.com.cn 解: (1)连结 DF,则 DF⊥BC ∵AB⊥BC,AB=BC=200 海里. ∴AC= 2 AB=200 2 海里,∠C=45° ∴CD=

1 AC=100 2 海里 2

DF=CF, 2 DF=CD ∴DF=CF=

2 2 CD= × 100 2 =100(海里) 2 2

所以,小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里. (2)设相遇时补给船航行了 x 海里,那么 DE=x 海里,AB+BE=2x 海里, EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里 在 Rt△DEF 中,根据勾股定理可得方程 x2=1002+(300-2x)2 整理,得 3x2-1200x+100000=0 解这个方程,得:x1=200-

100 6 ≈118.4] 3

x2=200+

100 6 (不合题意,舍去) 3

所以,相遇时补给船大约航行了 118.4 海里。

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