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江西省吉安一中2017届高三上学期期中考试数学理试卷(解析版).doc


2016-2017 学年江西省吉安一中高三(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?赣州一模)已知集合 A={x|x2﹣x﹣2≤0,x∈R},B={x|lg(x+1)<1,x ∈Z},则 A∩B=( A. (0,2) 【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】分别解不等式,再求它们的交集即可. 【解答】解:集合 A={x|x2﹣x﹣2≤0,x∈R}=[﹣1,2], ∵lg(x+1)<1=lg10, ∴﹣1<x<9, ∴B={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, ∴A∩B={0,1,2}, 故选:D 【点评】本题考查了集合的交集的运算,关键是解不等式,也属于基础题. ) B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2}

2. (5 分) (2016?福州模拟)复数 z 满足 z(1﹣i)=|1+i|,则复数 z 的共轭复数在复平面内 的对应点位于( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】数形结合;转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出. 【解答】解:z(1﹣i)=|1+i|,∴z(1﹣i) (1+i)= ∴z= + i, + i 在复平面内的对应点位于第四象限. (1+i) ,

则复数 z 的共轭复数 故选:D.

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义,考查了推理能力与计算 能力,属于基础题.

3. (5 分) (2016 秋?青原区校级期中)命题“存在 x0∈R,2x0≤0”的否定是( A.不存在 C.对任意的 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;转化思想;简易逻辑. 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. B.对任意的 D.存在



x0 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“存在 x0∈R,2 ≤0”的否定是:

对任意的 故选:B.



【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.

4. (5 分) (2015?呼伦贝尔一模)“a=﹣2”是“直线 l1:ax﹣y+3=0 与 l2:2x﹣(a+1)y+4=0 互相平行”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案. 【解答】解:当 a=﹣2 时,l1:2x+y﹣3=0,l2:2x+y+4=0,两直线平行,是充分条件; 若直线 l1:ax﹣y+3=0 与 l2:2x﹣(a+1)y+4=0 互相平行,则 a(a+1)=2,解得:a=﹣2, 或 a=1,不是必要条件, 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查了两直线平行的性质及判定,是一道基础题.

5. (5 分) (2015 秋?周口期末) 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著,约成书 于公元 466﹣485 年间.其中记载着这么一道题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而

且每天增加的数量相同.已知第一天织布 5 尺,30 天共织布 390 尺,则该女子织布每天增 加的尺数(不作近似计算)为( A. B. ) C. D.

【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】设该妇子织布每天增加 d 尺,由等差数列的前 n 项和公式能求出结果 【解答】解:设该妇子织布每天增加 d 尺, 由题意知 S30=30×5+ 解得 d= . 尺. d=390,

故该女子织布每天增加 故选:A.

【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的 前 n 项和公式的合理运用.

6. (5 分) (2015?沈阳校级模拟)阅读如图所示的程序框图,则该算法的功能是(



A.计算数列{2n 1}前 5 项的和


B.计算数列{2n﹣1}前 5 项的和 D.计算数列{2n﹣1}前 6 项的和

C.计算数列{2n 1}前 6 项的和


【考点】程序框图. 【专题】图表型;算法和程序框图. 【分析】 根据算法流程, 依次计算运行结果, 由等比数列的前 n 项和公式, 判断程序的功能. 【解答】解:由算法的流程知,第一次运行,A=2×0+1=1,i=1+1=2;

第二次运行,A=2×1+1=3,i=2+1=3; 第三次运行,A=2×3+1=7,i=3+1=4; 第四次运行,A=2×7+1=15,i=5; 第五次运行,A=2×15+1=31,i=6; 第六次运行,A=2×31+1=63,i=7;满足条件 i>6,终止运行,输出 A=63,
2 5 ∴A=1+2+2 +…+2 =

=26﹣1=64﹣1=63.

故选:C. 【点评】本题考查循环结构的程序框图,等比数列的前 n 项和公式,根据算法流程判断程序 的功能是关键,属于基础题.

7. (5 分) (2016?重庆三模)已知实数 x,y 满足:

,z=|2x﹣2y﹣1|,则 z 的

取值范围是( A.[ ,5]

) B.[0,5] C.[0,5) D.[ ,5)

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;不等式的解法及应用. 【分析】由约束条件作出可行域如图,令 u=2x﹣2y﹣1,由线性规划知识求出 u 的最值,取 绝对值求得 z=|u|的取值范围.

【解答】解:由约束条件

作可行域如图,

联立 ∴A(2,﹣1) ,

,解得



联立

,解得







令 u=2x﹣2y﹣1, 则 由图可知,当 小, u 最大,最大值为 u=2×2﹣2×(﹣1)﹣1=5; 当 经过点 时,直线 . 在 y 轴上的截距最大, , 经过点 A(2,﹣1)时,直线 在 y 轴上的截距最

u 最小,最小值为 u= ∴ ,

∴z=|u|∈[0,5) . 故选:C. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数学转化思想方法,求 z 得取值范围,转化为 求目标函数 u=2x﹣2y﹣1 的取值范围,是中档题.

8. 2 (5 分) (2016 秋?青原区校级期中) △ABC 的外接圆的圆心为 O, 半径为 1, 且| A. |=| |,则向量 在向量 B. 方向上的投影为( C. ) D.

=

+

【考点】平面向量数量积的含义与物理意义. 【专题】平面向量及应用. 【分析】投影为 ,利用已知条件求出 夹角即可.

【解答】解:∵ ∴O 为 BC 的中点 又∵O 为外接圆的圆心,半径为 1, ∴BC 为直径,且 BC=2,OA=AB=1, ∴ 在 方向上的投影为| |cos( )=

故选:C

【点评】本题主要考察了向量投影的概念以及三角形外接圆的一些性质,属于中档题.

9. (5 分) (2015?黄冈校级模拟) 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 (



A.

B.2

C.

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是一三棱柱与一三棱锥的组合体,结合图中数 据求出它的体积. 【解答】解:根据几何体的三视图,得: 该几何体是一三棱柱与一三棱锥的组合体, 且底面三角形是边长为 2 的正三角形,

如图所示;

所以,该几何体的体积为 V 三棱柱+V 三棱锥= ×2× 故选:C. 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,是基础题目. ×1+ × ×2× ×1= .

10. (5 分) (2011?宜阳县校级模拟)已知点 P 是双曲线



=1 右支上一点,F1,F2 分

I 为∠PF1F2 的内心, 别为双曲线的左、 右焦点, 若S 则 λ 的值为( )

=S

+λS

成立,

A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设△PF1F2 的内切圆半径为 r,由|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c,用△PF1F2 的边长和 r 表示出等式中的三角形的面积,解此等式求出 λ. 【解答】解:设△PF1F2 的内切圆半径为 r,由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c, S△IPF1 = 由题意得 |PF1|?r,S△IPF2= |PF1|?r= |PF2|?r,S△I F1F2= ?2c?r=cr,

|PF2|?r+λcr,

故 λ=

= =



∵双曲线

的 a=4,b=3,代入上式得:

λ= 故选 B. 【点评】本题考查双曲线的定义和简单性质,利用待定系数法求出参数的值是关键,属于基 础题.

11. (5 分) (2013?牡丹江一模)三棱锥 A﹣BCD 的外接球为球 O,球 O 的直径是 AD,且 △ABC、△BCD 都是边长为 1 的等边三角形,则三棱锥 A﹣BCD 的体积是( A. B. C. D. )

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用等边、等腰三角形的性质,勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱 锥的体积计算公式即可得出. 【解答】解:如图所示,连接 OB,OC. ∵△ABC、△BCD 都是边长为 1 的等边三角形, ∴OB⊥AD,OC⊥AD,OB=OC= ∴OB2+OC2=BC2,∴∠BOC=90° . ∴三棱锥 A﹣BCD 的体积 V= 故选 D. = = . = = .

【点评】熟练掌握等边、等腰三角形的性质,勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、 三棱锥的体积计算公式是解题的关键.

12. (5 分) (2015?鹰潭一模)设函数 f(x)是定义在(﹣∞,0)上的可导函数,其导函数 为 f′(x) ,且有 3f(x)+xf′(x)>0,则 不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(﹣3)>0 的解集( A. (﹣2018,﹣2015) )

B. (﹣∞,﹣2016) C. (﹣2016,﹣2015)D. (﹣∞,﹣2012)

【考点】利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 【专题】导数的综合应用. 【分析】根据条件,构造函数 g(x)=x3f(x) ,利用函数的单调性和导数之间的关系即可判 断出该函数在(﹣∞,0)上为增函数,然后将所求不等式转化为对应函数值的关系,根据 单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可. 【解答】解:构造函数 g(x)=x3f(x) ,g′(x)=x2(3f(x)+xf′(x) ) ; ∵3f(x)+xf′(x)>0,x2>0; ∴g′(x)>0; ∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递增; g(x+2015)=(x+2015)3f(x+2015) ,g(﹣3)=﹣27f(﹣3) ; ∴由不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(﹣3)>0 得: (x+2015)3f(x+2015)>﹣27f(﹣3) ; ∴g(x+2015)>g(﹣3) ; ∴x+2015>﹣3,且 x+2015<0; ∴﹣2018<x<﹣2015; ∴原不等式的解集为(﹣2018,﹣2015) . 故选 A. 【点评】本题主要考查不等式的解法:利用条件构造函数,利用函数单调性和导数之间的关 系判断函数的单调性,然后根据单调性定义将原不等式转化为一次不等式即可.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分) (2016 秋?青原区校级期中)已知 a= x﹣3 的系数为 ﹣80 . 【考点】二项式系数的性质. dx,则二项式(1﹣ )5 的展开式中

【专题】转化思想;导数的综合应用;二项式定理. 【分析】a= dx= =2,再利用二项式定理的通项公式即可得出.

【解答】解:a=
5 则二项式(1﹣ ) =

dx=

=2, =(﹣2)5﹣r xr﹣5.

的展开式的通项:Tr+1=

令 r﹣5=﹣3,解得 r=2. ∴展开式中 x
﹣3

的系数=

=﹣80.

故答案为:﹣80. 【点评】 本题考查了微积分基本定理、 二项式定理的通项公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

14. (5 分) (2015 秋?周口期末)直线 l 过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点 F 且与 C 相交 于 A, B 两点, 且 AB 的中点 M 的坐标为 (3, 2) , 则抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=8x 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
2 【分析】 先利用点差法, 求出 AB 的斜率, 可得直线 AB 的方程为 y= (x﹣ ) , 代入 y =2px,



利用中点坐标公式,即可得出抛物线 C 的方程.
2 【解答】解:抛物线 y =2px 的焦点为 F( ,0)

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y12=2px1,y22=2px2, 两式相减可得:y12﹣y22=2p(x1﹣x2) , ∴kAB= = ,
2 2 2 3 (x﹣ ) ,代入 y =2px,可得 4px ﹣(4p +32)x+p =0

直线 AB 的方程为 y=

可得 x1+x2=

=6,解之得 p=2 或 4,

∴物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=8x. 故答案为:y2=4x 或 y2=8x.

【点评】本题考查抛物线 C 的方程,考查点差法,考查学生的计算能力,比较基础.

15. (5 分) (2014?江西校级一模)已知函数 f(x)=cos

x,a 等于抛掷一颗均匀的正六 .

面体骰子得到的点数,则 y=f(x)在[0,4]上有偶数个零点的概率是 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计.

【分析】列举 a 不同取值时函数 y=f(x)的零点情况,利用古典概型计算即可. 【解答】解:由题意知, a=1 时,f(x)=cos a=2 时,f(x)=cos x,在[0,4]上的零点为 共 1 个; x,在[0,4]上的零点为 , , 共 3 个;

a=3 时,f(x)=cosπx,在[0,4]上的零点为 , , , 共 4 个; a=4 时,f(x)=cos a=5 时,f(x)=cos 7 个; a=6 时,f(x)=cos2πx,在[0,4]上的零点为 ∴y=f(x)在[0,4]上有偶数个零点的概率是 . 共 8 个; x,在[0,4]上的零点为 x,在[0,4]上的零点为 共 5 个; 共

【点评】本题考查三角函数的性质,古典概型概率计算等知识,属于中档题.

16. (5 分) (2016?保定一模)在平面直角坐标系中,已知三个点列{An}、{Bn}、{Cn},其中 An(n,an) 、Bn(n,bn) 、Cn(n﹣1,0) ,满足向量 a1=b1=0,则 an= 3n2﹣9n+6(n∈N*) . (用 n 表示) 与向量 共线,且 bn+1﹣bn=6,

【考点】向量的三角形法则;平行向量与共线向量. 【专题】计算题;数形结合;转化思想;平面向量及应用. bn+1﹣bn=6, a1=b1=0, bn=6n﹣6. 【分析】 利用等差数列的通项公式可得: 向量 an+1﹣an) ,向量 = (1,

=(﹣1,﹣bn) ,利用向量共线定理可得:an+1﹣an=bn=6n﹣6,再利用

“累加求和”与等差数列的前 n 项和公式即可得出.

【解答】解:∵bn+1﹣bn=6,a1=b1=0, ∴bn=0+6(n﹣1)=6n﹣6. 向量 向量 ∵向量 =(1,an+1﹣an) , =(﹣1,﹣bn) , 与向量 共线,

∴﹣bn+an+1﹣an=0, ∴an+1﹣an=bn=6n﹣6, ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =[6(n﹣1)﹣6]+[6(n﹣2)﹣6]+…+[6×1﹣6]+0 = ﹣6(n﹣1)

=3n2﹣9n+6.3n2﹣9n+6(n∈N*) 【点评】本题考查了“累加求和”、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、向量共线定理、 向量坐标运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (12 分) (2016 春?天水校级期末)已知函数 f(x)=2sinx?cosx+2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调减区间; (2)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 a=7,若锐角 A 满足 f ( ﹣ )= ,且 sinB+sinC= ,求 bc 的值. cos2x﹣

【考点】余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 【专题】转化思想;分析法;解三角形. 【分析】 (1)f(x)解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦 函数公式化为一个角的正弦函数,找出 ω 的值,代入周期公式求出最小正周期,由正弦函 数的单调性确定出 f(x)的单调递减区间即可; (2)由 f(x)解析式,以及 f( ﹣ 利用正弦定理化简,求出 bc 的值即可. 【解答】解: (1)f(x)=2sinx?cosx+2 cos2x﹣ =sin2x+ cos2x=2sin(2x+ ) , )= ,求出 A 的度数,将 sinB+sinC= ,

∵ω=2,∴f(x)的最小正周期 T=π, ∵2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, ,kπ+ )+ ],k∈Z; ]=2sinA= ,即 sinA= ,

∴f(x)的单调减区间为[kπ+ (2)由 f( ﹣ ∵A 为锐角,∴A=

)=2sin[2( ﹣ ,

由正弦定理可得 2R=

=

=

,sinB+sinC=

=



∴b+c=

×

=13,

由余弦定理可知:cosA= 整理得:bc=40.

=

= ,

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角函数中的恒等变换应用,熟练掌握定理是解 本题的关键.

18. (12 分) (2015?德阳模拟)为了整顿食品的安全卫生,食品监督部门对某食品厂生产的 甲、乙两种食品进行了检测调研,检测某种有害微量元素的含量,随机在两种食品中各抽取 了 10 个批次的食品,每个批次各随机地抽取了一件,下表是测量数据的茎叶图(单位:毫 克)

规定:当食品中的有害微量元素含量在[0,10]时为一等品,在(10,20]为二等品,20 以上 为劣质品. (1) 用分层抽样的方法在两组数据中各抽取 5 个数据, 再分别从这 5 个数据中各选取 2 个. 求 甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率;

(2)每生产一件一等品盈利 50 元,二等品盈利 20 元,劣质品亏损 20 元.根据上表统计得 到的甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品,的频率分别估计这两种食品为,一等品、 二等品、劣质品的概率.若分别从甲、乙食品中各抽取 l 件,设这两件食品给该厂带来的盈 利为 X,求随机变量 X 的概率分布和数学期望. 【考点】 离散型随机变量的期望与方差; 茎叶图; 列举法计算基本事件数及事件发生的概率; 离散型随机变量及其分布列. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)由已知条件,利用互斥事件的概率加法公式能甲的一等品数与乙的一等品数相 等的概率概率. (2) )随机变量 X 的所有可能取值为 X 可取﹣40,0,30,40,70,100,分别求出相对应 的概率,由此能求出随机变量 X 的概率分布和数学期望 【解答】解: (1)从甲抽取的 5 个数据中,一等品有 4× 抽取的 5 个数据中,一等品有 6× =2 个,非一等品有 3 个,从乙

=3 个,非一等品有 2 个,

设”从甲中抽取的 5 个数据中任取 2 个,一等品个数为 i”为事件 Ai, (i=0,1,2)则 P(A0) = = ,P(A1)= = ,P(A2)= = ,

设”从乙中抽取的 5 个数据中任取 2 个,一等品个数为 i”为事件 Ai, (i=0,1,2)则 P(B0) = = ,P(B1)= = ,P(B0)= = ,

∴甲的一等品数与乙的一等品数相等的概率为: P=P(A2B2)+P(A1B1)+P(A0B0)= + + = , = ,

(2)由题意,设“从甲中任取一件为一等品”为事件 C1,则 P(C1)= 设“从甲中任取一件为二等品”为事件 C2,则 P(C2)= 设“从甲中任取一件劣质品”为事件 C3,则 P(C3)= 设“从乙中任取一件为一等品”为事件 D1,则 P(D1)= 设“从乙中任取一件为二等品”为事件 D2,则 P(D2)= = = , , = = , ,

设“从乙中任取一件劣质品”为事件 D3,则 P(D3)= X 可取﹣40,0,30,40,70,100, P(X=﹣40)=P(C3D3)= × P(X=30)=P(C1D3+C3D1)= P(X=0)=P(C3D2+C2D3)= × + P(X=40)=P(C2D2)= P(X=70)=P(C1D2+C2D1)= P(X=100)=P(C1D1)= ∴X 的分布列为: X P ∴E(X)=﹣40× +0× +30× +40× +70× ﹣40 0 30 = = , + , = , = , + = =

= ,

= , ,

40

70

100

+100×

=49.2.

【点评】 本题考查概率的计算, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 在历年高考中都是必考题型之一

19. (12 分) (2016?赣州一模) 在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是菱形, 且 AB=AA1, ∠A1AB=∠A1AD=60° . (Ⅰ)求证:平面 A1BD⊥平面 A1AC; (Ⅱ)若 BD= D=2,求平面 A1BD 与平面 B1BD 所成角的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【专题】证明题;转化思想;向量法;空间位置关系与距离;空间角.

【分析】 (Ⅰ)推导出△A1AB 和△A1AD 均为正三角形,A1O⊥BD,AC⊥BD,由此能证明 平面 A1BD⊥平面 A1AC. (Ⅱ)以 O 为原点,OA,OB,OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利 用向量法能求出平面 A1BD 与平面 B1BD 所成角的大小. 【解答】证明: (Ⅰ)因为 AA1=AB=AD,∠A1AB=∠A1AD=60° , 所以△A1AB 和△A1AD 均为正三角形, 于是 A1B=A1D…(1 分) 设 AC 与 BD 的交点为 O,则 A1O⊥BD…(2 分) 又 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD…(3 分) 而 A1O∩AC=O,所以 BD⊥平面 A1AC…(4 分) 而 BD? 平面 A1BD,故平面 A1BD⊥平面 A1AC…(5 分) 解: (Ⅱ)由 A1B=A1D 及 ,知 A1B⊥A1D…(6 分)

又由 A1D=AD,A1B=AB,BD=BD,得△A1BD≌△ABD,故∠BAD=90°…(7 分) 于是 ,从而 A1O⊥AO,结合 A1O⊥BD

得 A1O⊥底面 ABCD…(8 分) 如图,以 O 为原点,OA,OB,OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则 A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,D(0,﹣1,0) ,A1(0,0,1) , , …(9 分)

设平面 B1BD 的一个法向量为

,由





令 x=1,得

…(10 分) ,设平面 A1BD 与平面 B1BD 所成角为 θ,

平面 A1BD 的一个法向量为

则 解得 θ=45°,

…(11 分)

故平面 A1BD 与平面 B1BD 所成角的大小为 45° .…(12 分)

【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真 审题,注意向量法的合理运用.

20. (12 分) (2016?赣州一模)设椭圆 C:

=1(a>b>0)的焦点 F1,F2,过右焦点 倍.

F2 的直线 l 与 C 相交于 P、Q 两点,若△PQF1 的周长为短轴长的 2 (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 l 的斜率为 1,在 C 上是否存在一点 M,使得 的坐标;若不存在,说明理由. 【考点】椭圆的简单性质.

?若存在,求出点 M

【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆的焦点 F1,F2,过右焦点 F2 的直线 l 与 C 相交于 P、Q 两点,△PQF1 的周长为短轴长的 2 (Ⅱ)设椭圆方程为 倍,得到 ,由此能求出椭圆 C 的离心率. ,直线的方程为 y=x﹣c,代入椭圆方程得 ,由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识,结合已知条件能求出不 存在点 M,使 成立.

【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C: 与 C 相交于 P、Q 两点, △PQF1 的周长为短轴长的 2 ∴依题意知 ,即

=1(a>b>0)的焦点 F1,F2,过右焦点 F2 的直线 l

倍,△PQF1 的周长为 4a…(2 分) …(3 分)

∴C 的离心率

…(4 分)

(Ⅱ)设椭圆方程为 代入椭圆方程得 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 设 M(x0,y0) ,则

,直线的方程为 y=x﹣c, …(5 分) , ①…(7 分) …(6 分)





…(8 分)

代入①得 因为 所以 而 分) 从而②式不成立. 故不存在点 M,使 成立…(12 分) , , ②…(10 分)

…(9 分)

…(11

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,是中档 题,解题时要认真审题,注意韦达定理、椭圆性质、向量知识的合理运用.

21. (12 分) (2016?安徽模拟)已知函数 f(x)=lnx﹣mx(m∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 m≥ 时,设 g(x)=2f(x)+x 的两个极值点 x1,x2(x1<x2)恰为 h(x)
2

=lnx﹣cx2﹣bx 的零点,求 y=(x1﹣x2)h′(

)的最小值.

【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】分类讨论;综合法;构造法;导数的概念及应用.

【分析】 (I)求出函数 f(x)的导数,讨论 m 的取值,利用导数判断函数 f(x)的单调性 与单调区间; (II)对函数 g(x)求导数,利用极值的定义得出 g'(x)=0 时存在两正根 x1,x2; 再利用判别式以及根与系数的关系,结合零点的定义,构造函数,利用导数即可求出函数 y 的最小值. 【解答】解: (I)∵函数 f(x)=lnx﹣mx,∴ ,x>0;

当 m>0 时,由 1﹣mx>0 解得 x< ,即当 0<x< 时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 由 1﹣mx<0 解得 x> ,即当 x> 时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当 m=0 时,f'(x)= >0,即 f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 m<0 时,1﹣mx>0,故 f'(x)>0,即 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ∴当 m>0 时,f(x)的单调递增区间为(0, ) ,单调递减区间为( ,+∞) ; 当 m≤0 时,f(x) 的单调递增区间为(0,+∞) ;
2 2 (II)g(x)=2f(x)+x =2lnx﹣2mx+x ,则

…(5 分) ,

∴g'(x)的两根 x1,x2 即为方程 x2﹣mx+1=0 的两根; 又∵m≥ ,

∴△=m2﹣4>0,x1+x2=m,x1x2=1; …(7 分) 又∵x1,x2 为 h(x)=lnx﹣cx2﹣bx 的零点, ∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0,lnx2﹣cx22﹣bx2=0, 两式相减得 ﹣c(x1﹣x2) (x1+x2)﹣b(x1﹣x2)=0,

得 b=







∴y=

=

]

=

=

,…(10 分)



(0<t<1) ,

由(x1+x2)2=m2 得 x12+x22+2x1x2=m2,
2 因为 x1x2=1,两边同时除以 x1x2,得 t+ +2=m ,

∵m≥ 设 G(t)=

,故 t+ ≥ ,解得 t≤ 或 t≥2,∴0<t≤ ;…(12 分) ,

∴G'(t)=

,则 y=G(t)在(0, ]上是减函数,

∴G(t)min=G( )=﹣ +ln2,



的最小值为﹣ +ln2.

…(14 分)

【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数单调区间的问题, 也考查了构造 函数法和分类讨论思想的应用问题,是综合性题目.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22. x 轴正半轴为极轴建立坐标系. (10 分) (2013?辽宁) 在直角坐标系 xOy 中以 O 为极点, 圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sinθ,ρcos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为 )=2 .

(t∈R 为参数) ,求 a,b 的值.

【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 【专题】压轴题;直线与圆. 【分析】 (I)先将圆 C1,直线 C2 化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐 标,最后化成极坐标即可; (II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) ,从而直线 PQ 的直角坐标方程 为 x﹣y+2=0,由参数方程可得 y= 值. 【解答】解: (I)圆 C1,直线 C2 的直角坐标方程分别为 x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0, 解 得 或 , x﹣ +1,从而构造关于 a,b 的方程组,解得 a,b 的

∴C1 与 C2 交点的极坐标为(4,

) . (2



) .

(II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) , 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0, 由参数方程可得 y= x﹣ +1,





解得 a=﹣1,b=2. 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法, 方程思想的应用,属于基础题.

[选修 4-5:不等式选讲] 23. (2016?漳平市校级模拟)已知函数 f(x)=|2x﹣1|. (1)若不等式 f(x+ )≥2m+1(m>0)的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) ,求实数 m 的 值;
y (2)若不等式 f(x)≤2 +

+|2x+3|,对任意的实数 x,y∈R 恒成立,求实数 a 的最小值.

【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【专题】转化思想;综合法;不等式.

【分析】 (1) 求得不等式 f (x+ )≥2m+1(m>0)的解集, 再结合不等式 f(x+ )≥2m+1 (m>0)的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) ,求得 m 的值.
y (2)由题意可得 g(x)=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于 2 +

,再利用绝对值三角不

y 等式求得 g(x)的最小值为 4,可得 4≤2 +

y 恒成立,再利用基本不等式求得 2 +



最小值为 2

,可得 2

≥4,从而求得 a 的范围.

【解答】解: (1)∵不等式 f(x+ )≥2m+1(m>0)的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) , 即|2(x+ )﹣1|≤2m+1 的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) . 由|2x|≥2m+1,可得 2x≥2m+1,或 2x≤﹣2m﹣1, 求得 x≥m+ ,或 x≤﹣m﹣ , ]∪[m+ ,+∞) ,

故|2(x+ )﹣1|≤2m+1 的解集为(﹣∞,﹣m﹣ 故有 m+ =2,且﹣m﹣ ∴m= . =﹣2,

y (2)∵不等式 f(x)≤2 +

+|2x+3|,对任意的实数 x,y∈R 恒成立,

y ∴|2x﹣1|≤2 +

+|2x+3|恒成立,

y 即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2 +

恒成立,

y 故 g(x)=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于 2 +



∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣(2x+3)|=4,
y ∴4≤2 +

恒成立,

y ∵2 +

≥2



∴2

≥4,

∴a≥4, 故实数 a 的最小值为 4. 【点评】本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转 化的数学思想,属于中档题.


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