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2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中考试数学(理)试题 解析版


2016 届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中考试 数学(理)试题及解析
一、选择题(题型注释) 1.设 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第一象限 【答案】C 【解析】 B.第二象限

5i 的共轭复数在复平面内所对应的点位于( 2?i
C.第三象限 D.第四象限



试题分析:因为复数 z ?

5i 5i(2+i) ?5 ? 10i ? ? ? ?1 ? 2i ,所以由共轭复数的 2 ? i (2 ? i)(2+i) 5

定义知,其共轭复数为 ?1 ? 2i ,根据复数的几何意义知,复数 z 的共轭复数在复平面 内所对应的点为 (?1, ?2) ,位于第三象限,故应选 C . 考点:1、复数的概念;2、复数的四则运算; 2.函数 f ( x) ?

1 (log2 x)2 ? 1
B. (2, ? ?)

的定义域为(



A. (0, ) 【答案】D 【解析】

1 2

? ?) C. (0, ] ? [2,

1 2

? ?) D. (0, ) ? (2,

1 2

试题分析: 由题意知, 函数的定义域应满足条件: 即o g l (log2 x)2 ?1 ? 0 且 x ? 0 , 或 log 2 x ? ?1 且 x ? 0 , 解 之 得 x ? 2 或 x ?

2

x 1?

1 且 x?0 ,所以其定义域为 2

1 (0, ) ? (2, ? ?) ,故应选 D . 2
考点:1、对数函数;2、函数的定义域. 3.下列结论错误的是( )
2 2 A.命题“若 x ? 3x ? 4 ? 0 ,则 x ? 4 ”的逆否命题是“若 x ? 4 ,则 x ? 3x ? 4 ? 0 ” 2 B.命题“若 m ? 0 ,则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆命题为真命题 2 C. “ x ? 4 ”是“ x ? 3x ? 4 ? 0 ”的充分条件 2 2 2 2 D.命题“若 m ? n ? 0 ,则 m ? 0 且 n ? 0 ”的否命题是“若 m ? n ? 0 ,则 m ? 0

或n ? 0” 【答案】B 【解析】
2 试题分析:对于选项 A ,由逆否命题的定义知,命题“若 x ? 3x ? 4 ? 0 ,则 x ? 4 ” 2 的逆否命题是“若 x ? 4 ,则 x ? 3x ? 4 ? 0 ” ,即选项 A 为正确的;对于选项 B ,命

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题“若 m ? 0 ,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆命题为“若方程 x 2 ? x ? m ? 0 有 实根,则 m ? 0 ” ,显然方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根等价于判别式 ? ? 1 ? 4m ? 0 即

1 m ? ? ,并不是 m ? 0 ,所以其逆命题为假命题,所以选项 B 不正确;对于选项 C , 4
若“ x ? 4 ” ,则满足“ x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ” ,即表明“ x ? 4 ”是“ x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ”的充 分条件,所以选项 C 是正确的;对于选项 D ,由命题的否命题的定义知,命题“若 , m2 ? n 2 ? 0 ,则 m ? 0 且 n ? 0 ”的否命题是“若 m2 ? n2 ? 0 ,则 m ? 0 或 n ? 0 ” 所以选项 D 为正确的.综上所述,应选 B . 考点:1、命题及其真假判断;2、充分条件;

? x ? y ? 4? 0 ? 4.若实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 4? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ? x ? y ? 2… 0 ?



A. 11 B. 24 C. 36 D. 49 【答案】A 【解析】 试题分析:首先根据已知的约束条件画出其表示的平面区域,如下图所示.然后将目标 函数 z ? 2 x ? 3 y 转化 为 y ? ?

2 1 x ? z ,由图形可知,目标 函数 z ? 2 x ? 3 y 在点 3 3

A(1, 3)处取得最大值,即 zmax ? 2 ?1 ? 3? 3 ? 11 ,故应选 A .

考点:1、简单的线性规划. 5.在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120,则 a7 ? A. 8 【答案】C 【解析】 B. 12 C. 16 D. 72

1 a5 的值为( 3



试题分析:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则由等差数列的性质若 m ? n ? p ? q ,则 所以由 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 a4 ? a12 ? a6 ? a10 ? 2a8 , am ? an ? ap ? aq 可得:

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可得: 5a8 ? 120 ,即 a8 ? 24 . 于是, a7 ? a5 ? (a8 ? d ) ? (a8 ? 3d ) ? 故应选 C . 考点:1、等差数列的性质;2、等差数列的通项公式.

1 3

1 3

2 a8 ? 16 , 3

6.已知 e1 , e2 是夹角为 60? 的两个单位向量,若 a ? e1 ? e2 , b ? ?4e1 ? 2e2 ,则 a 与

b 的夹角为(
A. 30? 【答案】C 【解析】 试 题 分 析

) B. 60? C. 120? D. 150?







a ? e1 ? e2



b ? ?4e1 ? 2e2







?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? 2 ?? ?? ? ?? ?2 1 a ? b ? (e1 ? e2 ) ? (?4e1 ? 2e2 ) ? ?4e1 ? 2e1 ? e2 ? 2e2 ,而 e1 ? e2 ? e1 e2 cos 600 ? , 2 ? ? ?? 2 ?? ?? ? ?? ?2 a ? b ? ?4e1 ? 2e1 ? e2 ? 2e2 ? ?4 ? 1 ? 2 ? ?3 所 以 , 而

? ? ? ?? ? ? ?2 ? ? ?? ? ?? ?2 a ? e1 ? e2 ? e1 ? 2e1 ? e2 ? e2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3



? ? ? ?? ? ? ?2 ? ? ?? ? ?? ?2 所以与 b 的夹角的余 b ? ?4e1 ? 2e2 ? 16e1 ?16e1 ? e2 ? 4e2 ? 16 ? 8 ? 4 ? 2 3 ,
弦值为

? ? a?b ?3 1 cos ? ? ? ? ? ? ? ,所以 a 与 b 的夹角为 120? ,故应选 C . 2 3?2 3 a b
考点:1、平面向量的数量积的应用. 7.对于直线 m , n 和平面 ? , ? , ? ? ? 的一个充分条件是( A. m ? n , ? ? ? ? m , n ? ? B. m ? n , m // ? , n // ? C. m // n , n ? ? , m ? ? D. m // n , m ? ? , n ? ? 【答案】C 【解析】 试题分析:对于选项 A ,因为任意两个不垂直的平面中都可以满足选项 A 的条件,但 不能推出 ? ? ? ,所以选项 A 不正确;对于选项 B ,设平面 ? , ? 的交线为 l ,使得 )

m // l ,n // ? ,m ? n ,显然此时不能推出 ? ? ? ,所以选项 B 不正确;对于选项 C ,
因为 m // n , n ? ? ,所以 m ? ? (两条平行线中的一条垂直于平面 ? ,则另一条直

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线也垂直于 ? ) ,因为 m ? ? , m ? ? ,所以 ? ? ? ,所以选项 C 为正确的; 对于选项 D ,由 m // n , m ? ? , n ? ? 可得平面 ? 与 ? 平行,所以选项 D 是不正确 的,故应选 C . 考点:1、线面、面面垂直的判定定理;2、线面平行的判定定理与性质定理. 8 .若函数 f ( x) ? sin(? ? ?x) ? 3 sin(

?
2

? ?x) ( x ? R,? ? 0) 满足 f (? ) ? ?2 ,


f (? ) ? 0 ,且 ? ? ? 的最小值为

5 ? ](k ? Z) 6 6 5 ? 2k? ? ](k ? Z) B. [2k? ? ? , 12 12 2 k? ? A. [2k? ? ? ,
C. [k? ?

? ,则函数 f ( x) 的单调递增区间为( 2

,k? ? ](k ? Z) 3 6 5 ? D. [ k? ? ? ,k? ? ](k ? Z) 12 12
【答案】A 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? sin(? ? ?x) ? 3 sin(

?

?

?
2

? ?x)

? 1 3 ? sin(? x) ? 3 cos(? x) ? 2[sin(? x) ? ? cos(? x)] ? 2sin(? x ? ) , 又 因 为 3 2 2
? ,结合三角函数的图像及其性质知, 2 T ? 2? ? ? ,即 T ? 2? .所以 ? ? ? 1 ,所以函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) ,所以其增区间 4 2 T 3 ? ? ? 5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k ? , k ? Z , 为:? ? 2k? ? x ? ? ? 2k? , k ? Z ,解之得 ? 2 3 2 6 6
f (? ) ? ?2 , f (? ) ? 0 ,且 ? ? ? 的最小值为
故应选 A . 考点:1、三角函数的图像及其性质;2、辅助角公式;3、三角恒等变换.
? 9 . 设 M 是 ?ABC 内 一 点 , 且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 . 定 义

??? ? ??? ?

f ( M )?

、 ? MCA 、 ? MAB 的面积.若 (, m , n , p )其 中 m、 n、 p 分 别 是 ?MBC

1 4 1 f ( P) ? ( , x , y ),则 ? 的最小值是 2 x y
A. 8 【答案】D 【解析】 B. 9 C. 16 D. 18

? 试 题 分 析 : 由 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30 可 得 A B?

??? ? ??? ?

??? ? ???? AC ?4 , 所 以
1 2
, 则

S ?ABC ?

? ???? 1 ??? AB ? AC sin A ? 1 2







x? y ?

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1 4 1 4 4x y 4x y ? ? 2( x ? y)( ? ) ? 2(1 ? ? ? 4) ? 2(5 ? 2 ? ) ? 18 , 当 且 仅 当 x y x y y x y x
4x y ? 时等号成立.故应选 D . y x
考点:1、基本不等式;2、平面向量数量积的运算. 【思路点睛】 本题考查了平面向量的数量积运算、 新定义的理解以及基本不等式的应用, 具有一定的综合性,属中档题. 其解题思路为:首先由平面向量的数量积运算公式并 结合已知 ?BAC ,求出 AB ? AC 的值,然后由 sin A 的值,利用三角形的面积公式求 出三角形的面积即求出 ?MBC、?MCA、?MAB 的面积之和,再结合新定义可得出 x 与 y 之间的等式关系,最后利用基本不等式即可求出所求式子的最小值. 10.已知函数 f ( x ) 的大致图象如图所示,则函数 y ? f ( x) 的解析式为(
y

??? ? ????



O

x

A. f ( x) ? x ?

ln( x ) x2 ln( x ) x2 ln( x ) ? x

B. f ( x) ? x ?

C. f ( x) ? x ?
2

D. f ( x) ? x ? 【答案】A 【解析】

ln( x ) x

试题分析: 由于图像不关于原点对称, 所以该函数不是奇函数, 所以可排除 D ; 取x ? 时,根据函数图像可知函数值大于 0,而选项 B 中, f ( ) ?

1 e

1 e

1 ?1 1 2 ? ? ? e ? 0 ,所以 e 1 e e2

选项 B 不正确;由图像可知,当

x ??? 时 , 有 f ( x) ? 0 , 但 选 项 C 中 ,

f ( x) ? x 2 ?

l n (x ) ln( x ) 2 ? 0 ,所以选项 C 不正确,故 ,当 x ??? 时, f ( x) ? x ? x x
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应选 A . 考点:1、函数的图像;2、函数的单调性;3、函数的对称性. 11.已知四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的球面上,底面 ABCD 是矩形,平面

PAD 垂直于平面 ABCD ,在 ?PAD 中, PA ? PD ? 2 , ?APD ? 120o , AB ? 2 ,
则球 O 的外接球的表面积等于 A. 16? B. 20? C. 24? D. 36? 【答案】B 【解析】 试题分析:取 AD 的中点为 E ,连接 PE ,则由平面 PAD 垂直于平面 ABCD 可得,

PE ? 平面 ABCD , 于是以点 E 为原点, 以 ED, EP 分别为 x , z 轴建立空间直角坐标系,
其中 AC 与 BD 相交于 F 点. 于是可得: E ,D ,A , (0, 0, 0) (- 3,0,0) ( 3,0,0) , C( 3, 2,0),B(- 3, 2,0) , F(0,1,0) ,设球 O 的球心的坐标为 P (0, 0,1 )

O( 0 , 1, z0 ,则 ) OP ? (0, ?1,1 ? z0 ) , OB ? (? 3,1, ? z0 ) ,
由 OP ? OB 得 ,
? ?

?

?

(?1) 2 ? (1 ? z0 ) 2 ? 3 ? 1 ? z0 2 , 解 之 得 z0 ? ?1 , 所 以 球 心
?

O(0,1, ?1) , 于 是 其 半 径 为 OP ? 5 , 由 球 的 表 面 积 公 式 知 ,

S ? 4? r 2 ? 4? ?

? 5?

2

? 20? ,故应选 B .

考点:1、球的表面积公式;2、空间向量法求立体几何问题. 【思路点睛】本题主要考查了棱锥的外接球的表面积的求法,考查了学生空间想象能力 和逻辑推理能力,属中高档题. 其解题的思路为:首先根据已知条件建立适当的空间 直角坐标系,并写出各点的空间坐标,然后由棱锥的外接球的特征即球心到棱锥的各个 顶点的距离相等, 找出其球心的空间直角坐标与底面对角线 AC 与 BD 相交于 F 的坐标 关系,设出其球心的空间直角坐标,再根据 OP ? OB 即可求出球心 O 的坐标,进而 可求出球 O 的外接球的半径,即可得出所求的答案. 12 .已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的实数
? ?

x,y ? R ,等式 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) 成立,若数列 ?an ?满足 f (an ?1 ) ?

1 , 1 f( ) 1 ? an

(n ? N* ) ,且 a1 ? f (0) ,则下列结论成立的是(
A. f (a2013 ) ? f (a2016 ) C. f (a2016 ) ? f (a2015 ) 【答案】D
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B. f (a2014 ) ? f (a2015 ) D. f (a2014 ) ? f (a2016 )

【解析】 试题分析:令 x ? ?1, y ? 0 可得: f (?1) ? f (0) ? f (?1) ,因为当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , 所 以 f (? 1 ) ,所以 f(0) , 所 以 a1 ? f ( 0 ) . 当 x ? 0 时 , ?x ? 0 , ? 1 ? 1 ? 1

f (0) ? f (? x) ? f ( x) ? 1 ,所以 0 ? f ( x) ? 1 .
设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,所以 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 ,所以

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? ( x2 ? x1 )) ? f ( x1 ) ? f ( x1 )[ f ( x2 ? x1 ) ?1] ? 0 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,所以 f ( x) 是 R 上单调递减函数.因为 f (an ?1 ) ?





1 ,所以 1 f( ) 1 ? an

1 1 1 ,而 f (an?1 ) f ( ) ? 1 ? f (0) , 所 以 an ?1 + ? 0 , 即 an ?1 ? ? 1 ? an 1 ? an 1 ? an
2 an ? an ? 1 1 an?1 ? an ? ? ? an ? ? ? 0 ,即 an?1 ? an ,这表明出数列 ?an ?为单调递 1 ? an an ? 1

减,所以 a2013 ? a2016 , a2014 ? a2015 , a2016 ? a2015 , a2014 ? a2016 ,而 f ( x ) 是 R 上单 调递减函数,所以 f (a2013 ) ? f (a2016 ) , f (a2014 ) ? f (a2015 ) , f (a2016 ) ? f (a2015 ) ,

f (a2014 ) ? f (a2016 ) ,故应选 D .
考点:1、抽象函数的单调性;2、数列的单调性. 【思路点睛】本题主要考查了抽象函数的单调性与数列的单调性,具有一定较强的综合 性,考查学生综合运用学科内知识的能力,属中高档题.其解题的思路为:首先运用赋 值法求出抽象函数中 f (0) ? 1 ,并结合函数的单调性的定义判断其函数的单调性;然后

运用抽象函数的定义式将 f (a ) ? n ?1

1 1 转化为 an ?1 ? ? ,再运用作差法证明 1 ? an 1 f( ) 1 ? an

数列 ?an ?的单调性,最后结合函数与数列的单调性对各个选项进行验证即可得出结论.

二、填空题(题型注释) 13.若 lg 2 , lg(2 ?1) , lg(2 ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于________.
x x

【答案】 log2 5 . 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 lg 2 , lg(2 ?1) , lg(2 ? 3) 成 等 差 数 列 , 所 以
x x

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2lg(2x ?1) ? lg 2 ? lg(2x ? 3)





l gx ?(

2

2 ?

x ? 1 ) ?

l , g 所 [ 2以 (

2

3 ) ]

(2x )2 ? 4 ? 2x ? 5 ? 0 ,所以 2x ? 5 ,即 x ? log2 5 .故应填 log2 5 .
考点:1、等差数列;2、指数与对数的互化. 14. 36 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 36 ? 22 ? 32 ,所以 36 的所有正约 数 之
2





( ?

1

?

2

3


?

, 32

?

参照上述方法,可求得 200 的所有正约数之和为 【答案】 465 . 【解析】

试题分析:类比 36 的所有正约数之和的方法有: 200 的所有正约数之和可按如下方法 得 到 : 因 为 200 ? 23 ? 52 , 所 以 200 的 所 有 正 约 数 之 和 为

( ? 1

2 2 ? 2 2? 3 2 ? ) ( 1 ?

465 ,故应填 465 . 5,所以 ? 5 200 ) 的所有正约数之和为 4 6 5


考点:1、合情推理. 15.某几何体的三视图如右图 ,则此几何体的体积为

2 2 1 2

2 2

2 2

2 2

2 2
2

【答案】 2 . 【解析】 试题分析:由俯视图易判断:该几何体的底面是一个上底为 1,下底为 2,高为 2 的直 角梯形,由其主视图和侧视图可判断该几何体的高为 2 .由棱锥的体积公式可得:

1 1 V ? ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 2 ? 2 ,故应填 2 . 3 2
考点:1、三视图;2、空间几何体的体积. 【思路点晴】本题考查的知识点是由三视图求体积,考查学生空间想象能力和逻辑思维 推理能力,属中档题.其解题的一般思路为:首先根据已知的俯视图可知该几何体的底 面图形形状,然后由主视图和侧视图判断该几何体的高,最后根据棱锥的体积计算公式 计算其体积即可得出结论.其解题的关键是根据三视图确定几何体的形状及相应的棱 长.
x 2 16. 已知 f ( x) ? x ? e , (其中 e 为自然对数的底数) , 方程 f ( x) ? tf ( x) ? 1 ? 0 (t ? R )

有四个实数根,则实数 t 的取值范围为
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e2 ? ? ? ). 【答案】 (??, e
【解析】

? xe x , x ? 0 ? 试题分析:因为 f ( x) ? x ? e ? ? ,当 x ? 0 时, f ' ( x) ? e x ? xe x ? 0 恒成 x ? ?? xe , x ? 0
x

立, 所以 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上为增函数; 当 x ? 0 时,f ' ( x) ? ?e x ? xe x ? ?e x (x ? 1) , 由 f ' ( x) ? 0 得 x ? ?1 , 当 x?( ? ?? , 1 ) 时, f ' ( x) ? ?ex ? xex ? ?ex ( x ? 1) ? 0 , f ( x) 为增函数,当 x ? (?1, 0) 时,

f ' ( x) ? ?ex ? xex ? ?ex ( x ? 1) ? 0 , f ( x) 为 减 函 数 , 所 以 函 数 f ( x) ? x ? e x 在
(??, 0) 上 有 一 个 最 大 值 为

f (? 1 ? )

1 ? ( ?1 1 ? ) , e ? 要 使 方 程 e

f 2 ( x? )

(t1? R ) t (f ? )x ? 0有四个实数根,令 f ( x) ? m ,则方程 m2 ? tm ? 1 ? 0 有

两个不等根,且一个根在 (0, ) 内,一个根在 ( , ??) 内.再令 g (m) ? m2 ? tm ? 1 ,

1 e

1 e

e 2 ?? 1 1 2 1 因为 g (0) ? 1 ? 0 ,则只需 g ( ) ? 0 ,即 ( ) ? t ? 1 ? 0 ,解之得 t ? ? ,所以 e e e e
方 程 f 2 ( x)? t f( x t ? R) 有 四 个 实 数 根 , 则 实 数 t 的 取 值 范 围 为 ? ) 1 ? (0

(??, ?

e2 ? ? e2 ? ? ) ,故应填 (??, ? ). e e

考点:1、函数与方程;2、导函数在研究函数的单调性与最值的应用. 【思路点晴】本题考查了根的存在性及根的个数的判断,考查了利用函数的导函数分析 函数的单调性, 考查了学生分析问题和解决问题的能力, 属中高档题. 其解题的思路为:
x 首先将函数 f ( x) ? x ? e 化成分段函数,然后运用导数分析得到函数 f ( x ) 的单调性与

最值,然后将问题“方程 f ( x) ? tf ( x) ? 1 ? 0 (t ? R ) 有四个实数根”转化为“令
2

1 f ( x) ? m ,则方程 m2 ? tm ? 1 ? 0 有两个不等根,且一个根在 (0, ) 内,一个根在 e 1 ( , ?? ) 内” ,最后运用二次函数的图像及二次方程根的关系列出不等关系即可求出实 e
数 t 的取值范围. 三、解答题(题型注释)

? ) ,函数 17 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 向 量 a ? (s i n , b ? ( 3 cos x, x, ? 1)

?

?

1 2

f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 .

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(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a 、b 、c 分别为 ?ABC 内角 A 、B 、C 的对边, 其中 A 为锐角,a ? 2 3 ,

c ? 4 ,且 f ( A) ? 1,求 A , b 和 ?ABC 的面积 S .
【答案】 (Ⅰ) T ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先根据平面向量的数量积的坐标运算计算函数 f ( x) 的表达式,然后 运用倍角公式和两 角的和或差的正弦或余弦公式以及辅助角公式将函数 f ( x) 的表达式化为同一角的正弦 或余弦,再运用公式

2? ? ?? ; (Ⅱ) A ? , b ? 2 , S ? 2 3 . 2 3

T?

2?

?

即可求出函数 f ( x) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)首先由 f ( A) ? 1并结合(Ⅰ)中函

数 f ( x) 的表达式以 及三角形内角的取值范围,可得出角 A 的大小,然后在 ?ABC 中应用余弦定理并结合 已知 a 和 c 的值,可 求出边长 b 的大小,最后由 ?ABC 的面积公式即可求出所求的答案. 试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ? a ? a ? b ? 2

? ? ?

?2

? ?

? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

1 ?2 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) .因为 ? ? 2 ,所 2 2 2 2 2 6
2? ?? . 2

以T ?

? ? ? 5? ?) ,1 , ), 2 A ? ? (? , ) , 所 以 因 为 A?( 0 6 2 6 6 6 ? ? ? 1 2 A ? ? , A ? .则 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,所以 12 ? b 2 ? 16 ? 2 ? 4b ? , 6 2 3 2 1 1 ? 2 即 b ? 4b ? 4 ? 0 ,则 b ? 2 ,从而 S ? bc sin A ? ? 2 ? 4 ? sin 60 ? 2 3 . 2 2
2? ( Ⅱ ) f ( A)? s i n (A
考点:1、平面向量数量积的坐标运算;2、余弦定理;3、三角恒等变换. 【方法点晴】本题考查了平面向量数量积的坐标运算、三角函数中的恒等变换与余弦定 理,属中档题.解决这类问题最关键的一步是运用降幂公式、倍角公式及三角函数的和 差公式等将函数 f ( x) 的表达式化简为同角的正弦或余弦形式.其次是在 ?ABC 中解三 角函数的恒等式,尤其要注意三角形内角的取值范围,进而确定其角的大小. 18. (本小题满分 12 分)已知如图几何体,正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相 垂直, AF ? 2 AB ? 2 AD ? 2 , M 为 AF 的中点, BN ? CE ,垂足为 N .

?

试卷第 10 页,总 19 页

F

E

M A D N C

B

(Ⅰ)求证: CF // 平面 BDM ; (Ⅱ)求二面角 M ? BD ? N 的大小. 【答案】 (Ⅰ) (Ⅰ)证明:连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OM .因为 M 为 AF 中点, O FC ? 平面 MBD , 为 AC 中点, 所以 FC // MO , 又因为 MO ? 平面 MBD , 所以 FC // 平面 MBD ; (Ⅱ) 90? . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明 FC // 平面 MBD ,利用线面平行的判定,只需证明 FC 平行于平 面 MBD 中任意一条 直线即可,连接 AC 交 BD 于 O ,连结 OM ,则结合 M 为 AF 中点,可证 FC // OM , 进而得出证明; (Ⅱ)以 A 为原点,以 AD , AB , AF 为 x , y , z 轴建立空间直角 坐标系,证明两平面法向量垂直,由此可求出二面角 M ? BD ? N 的大小. 试题解析: (Ⅰ) 证明: 连结 AC 交 BD 于 O , 连结 OM . 因为 M 为 AF 中点,O 为 AC 中点,所以 FC // MO ,又因为 MO ? 平面 MBD , FC ? 平面 MBD ,所以 FC // 平 面 MBD . (Ⅱ)因为正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直,所以 AF ? 平面 ABCD . 以 A 为原点,以 AD , AB , AF 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系.
z F E

M A D x N C B y

4 2 1, ) ,设平面 BDM 的法向量为 C (11 , , 0) , M (0, 0, 1) , B(0, 1, 0) , D(1, 0, 0) , N ( , 5 5 ? ? p ? ( x,y,z) ,

? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? p ? BD ? 0 ? ?q ? BD ? 0 ? ? , p ? (111) , , , .设平面 BDN 的法向量为 q ? ( x,y,z) , ? ? ???? ? ???? ? ?? p ? BM ? 0 q ? BN ? 0 ? ? ? ? ? q ? (11 , , ? 2) .

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? ? ? ?? ? p?q 设 p 与 q 的夹角为 ? , cos ? ? ? ? ? ? 0 ,所以二面角 M ? BD ? N 的大小为 90? . p?q
考点:1、空间向量求二面角;2、直线与平面平行的判定. 【方法点睛】本题考查了线面平行与空间向量求二面角,考查了学生的空间想象能力与 空间向量在立体几何中的应用能力,属中档题.对于线面平行的证明方法主要有两种: 其一是通过证明已知这条直线与该平面内的一条直线平行, 本题第一问就采用的是这种 方法;其二是通过证明已知这条直线所在的平面与已知平面平行;对于空间向量求二面 角的关键是合理建立空间直角坐标系并准确地求出这两个平面的法向量. 19 . (本小题满分 12 分)已知首项都是 1 的数列 ?an ? , ?bn ? (bn ? 0,n ? N* ) 满足

bn ?1 ?

an ?1bn . an ? 3bn

(Ⅰ)令 cn ?

an ,求数列 ?cn ? 的通项公式; bn

(Ⅱ)若数列 ?bn ? 为各项均为正数的等比数列,且 b32 ? 4b2 ? b6 ,求数列 ?an ? 的前 n 项 和 Sn .
n * 【答案】 (Ⅰ) cn ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 , n ? N ; (Ⅱ)? S n ? 8 ? (6n ? 8) ? ( ) .

1 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)由题意得 an?1 ? bn ? an ? bn?1 ? 3bn ? bn?1 ,进而可得

an?1 an ? ? 3 ,由此 bn?1 bn

可推出数列 ?cn ? 是以首项为 1,公差为 3 的等差数列,进而求出数列 ?cn ? 的通项公式;
n ?1 * (Ⅱ)设出数列 ?bn ? 的公比为 q(q ? 0) ,由已知得 bn ? ( ) , n ? N ,从而可得

1 2

1 an ? cn ? bn ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 , 由于该通项公式为一个等差数列与一个等比数列的乘积 2
的形式,于是可利用错位相减法求出数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 试题解析: (Ⅰ)由题意可得, an?1 ? bn ? an ? bn?1 ? 3bn ? bn?1 ,两边同除以 bn ? bn?1 ,得

an?1 an ? ?3, bn?1 bn
又 cn ? 数列.

an a ,?cn?1 ? cn ? 3 ,又 c1 ? 1 ? 1 ,? 数列 ?cn ? 是首项为 1 ,公差为 3 的等差 b1 bn

?cn ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 , n ? N* .
(Ⅱ)设数列 ?bn ? 的公比为 q(q ? 0) , Q b32 ? 4b2 ? b6 ,?b12q4 ? 4b12 ? q6 ,
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2 整 理 得 : q ?

1 1 1 n ?1 , ?q ? , 又 b1 ? 1 , ? bn ? ( ) , n ? N* , 4 2 2 1 n ?1 an ? cn ? bn ? (3n ? 2) ? ( ) 2

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an
1 1 1 1 ? 1? ( )0 ? 4 ? ( )1 ? 7 ? ( ) 2 ? ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 ????① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Sn ? 1? ( )1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ? ? (3n ? 2) ? ( ) n ????② 2 2 2 2 2
①—②得:

1 1 1 1 1 Sn ? 1 ? 3 ? ( )1 ? 3 ? ( ) 2 ? ? ? 3 ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 2 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 1 n ? 1 ? 3 ? [ ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 2 ? 1 ? 3? 2 ? (3n ? 2) ? ( ) n 1 2 1? 2 1 1 1 1 ? 1 ? 3 ? [1 ? ( ) n ?1 ] ? (3n ? 2) ? ( ) n ? 4 ? (6 ? 3n ? 2) ? ( ) n ? 4 ? (3n ? 4) ? ( ) n 2 2 2 2 1 ? S n ? 8 ? (6n ? 8) ? ( ) n . 2
考点:1、数列递推式求通项公式;2、数列求和. 20. (本小题满分 12 分)如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛 B 与 小岛 A 、小岛 C 相距都为 5n mile ,与小岛 D 相距为 3 5n mile .小岛 A 对小岛 B 与

D 的视角为钝角,且 sin A ?

3 . 5

C

D A B

(Ⅰ)求小岛 A 与小岛 D 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积; (Ⅱ)记小岛 D 对小岛 B 与 C 的视角为 ? ,小岛 B 对小岛 C 与 D 的视角为 ? ,求

sin(2 ? ? ? )的值.
【答案】 (Ⅰ)小岛 A 与小岛 D 之间的距离为 2n mile ;四个小岛所形成的四边形的面 积为 18 平方 n mile . (Ⅱ)

2 5 . 25

【解析】 试题分析: (Ⅰ)首先由同角三角函数的基本关系可求出 cos A 的值,然后运用余弦定
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理公式即可求出边长 AD 即所求的小岛 A 与小岛 D 之间的距离;再由 A , B , C , D 四点共圆,可知角 A 与角 C 互补,进而可得出角 C 的正弦和余弦值,再在 ?BDC 中应 用余弦定理即可求出 CD 的长度,进而求出四个小岛所形成的四边形的面积; (Ⅱ)首 先在 ?BCD 中,应用正弦定理求出角 ? 的正弦值和余弦值,然后将 sin(? ? ? ) 和

cos(? ? ? ) 转化为角 C 的正弦和余弦值,再将所求的角 2? ? ? 拆分为 ? ? (? ? ? ) ,
最后运用两角和的正弦值公式对其进行展开求解即可. 试题解析: (Ⅰ)? sin A ?

3 2 4 3 ,且角 A 为钝角,? cos A ? ? 1 ? ( ) ? ? . 5 5 5

在 ?ABD 中,由余弦定理得, AD2 ? AB2 ? 2 AD ? AB ? cos A ? BD2 ,

4 ? AD 2 ? 52 ? 2 AD ? 5 ? (? ) ? (3 5) 2 , ? AD2 ? 8 AD ? 20 ? 0 , 解 得 AD ? 2 或 5 AD ? ?10 (舍) , ? 小岛 A 与小岛 D 之间的距离为 2n mile . ? A , B , C , D 四点共圆,? 角 A 与角 C 互补. 3 4 ? sin C ? , cos C ? cos(180? ? A) ? ? cos A ? . 5 5
在 ?BDC 中,由余弦定理得, CD2 ? CB2 ? 2CD ? CB ? cos C ? BD2 ,

4 ? (3 5) 2 ,?CD2 ? 8CD ? 20 ? 0 , 5 解得 CD ? ?2 (舍)或 CD ? 10 . 1 1 ? S四边形ABCD ? S?ABC ? S?BCD ? AB ? AD ? sin A ? CB ? CD ? sin C ? 18 , 2 2 ? 四个小岛所形成的四边形的面积为 18 平方 n mile . ? CD 2 ? 52 ? 2CD ? 5 ?

5 3 5 ? BC BD 5 3 sin ? ? sin ? ? 5 ,解得 5 . (Ⅱ)在 ?BCD 中,由正弦定理, sin ? sinC ,即
? DC ? DB ? BC ,?? 为锐角,
2 2 2

? cos ? ?

2 5 5 .

? 又? sin(? ? ? ) ? sin(180 ? C ) ? sin C ?

3 , 5 4 cos(? ? ? ) ? cos(180? ? C ) ? ? cos C ? ? . 5

? sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ?
考点:1、正弦定理;2、余弦定理;3、两角和的正弦公式.

2 5 . 25

21. (本小题满分 12 分)数列 ?an ?,?bn ?的每一项都是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an ,

2, 3? . bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn ?1 成等比数列, n ? 1,

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(Ⅰ)求 a2 , b2 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ?, ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 2 ? ?? ? ? . a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7

2 a2 【答案】 (Ⅰ)a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 ,b2 ? (Ⅱ)bn ? 4(n ? 1)2 ,an ? 4n(n ? 1) ; ? 36 ; b1

(Ⅲ) 当

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ). 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3) 4 2n ? 1 2n ? 3
2

n… 3





1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 7 23 47 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 4n ? 4n ? 1 7 23 4 5 9 7 11

1 1 1 1 1 2 ? ? ? ( ? )? 7 23 4 5 7 7
当 n ? 1 时,

1 1 1 1 2 1 2 ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? . 7 23 7 7 7 7 7
1 1 1 2 ? ?? ? ? . a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7

综上所述:对一切正整数 n ,有 【解析】

试题分析: (Ⅰ)由 an , bn , an ?1 成等差数列可得 2bn ? an ? an?1 ,令 n ? 1 可得

2b1 ? a1 ? a2 ,再由已知 a1 ? 8 , b1 ? 16 ,可求出 a2 的值,进而求出 b2 的值; (Ⅱ)由
已知 bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列,可得出 a n?1 ? bnbn?1 ,进而得到 an ?1 ? bnbn ?1 ,再
2

将其代入(Ⅰ)中等式 2bn ? an ? an?1 并整理可得 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,这表明数列

{ bn } 是首项为 4 ,公差为 2 的等差数列,于是由等差数列的通项公式即可求出 bn 的通
项公式,进而求出 an 的通项公式; (Ⅲ)由(Ⅱ)可知

1 1 ,将其进 ? an ? 1 4n(n ? 1) ? 1

行适当的放缩

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ), 然 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3) 4 2n ? 1 2n ? 3
2

后对其进行求和即可得出证明. 试题解析: (Ⅰ)由题意得 2b1 ? a1 ? a2 ,可得 a2 ? 2b1 ? a1 ? 24 .

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2 由 a2 ? b1b2 ,可得 b2 ?

2 a2 ? 36 . b1

(Ⅱ)因为 an , bn , an ?1 成等差数列,所以 2bn ? an ? an?1 ,① 因为 bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列,所以 a n?1 ? bnbn?1 ,
2

因为 ?an ?, ?bn ?的每一项都是正数,所以 an ?1 ? bnbn ?1 ,②

2 时, an ? bn ?1bn ,③ 于是,当 n…
将②③代入①式,可得 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 , 因此数列 { bn } 是首项为 4 ,公差为 2 的等差数列, 所以 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 2 ,于是 bn ? 4(n ? 1)2 ,

2 时, an ? 4n(n ? 1) 由③式,可得当 n…
当 n ? 1 时, a1 ? 8 ,满足上式,所以对一切正整数 n ,都有 an ? 4n(n ? 1) . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所证明的不等式为

1 1 1 1 2 ? ? ?? ? 2 ? . 7 23 47 4n ? 4n ? 1 7 1 2 1 1 ? ( ? ) 【方法 1】首先证明 2 4n ? 4n ? 1 7 n n ? 1 1 2 2 ? 2 即证 2 ,即证 n ? n ? 2 ? 0 ,即证 (n ? 1)(n ? 2) ? 0 , 4n ? 4n ? 1 7 n ? 7 n n… 2 所 以 当 时



1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 ? ? ?? ? 2 ? ? [( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? ? ? . 7 23 47 4 n ? 4n ? 1 7 7 2 3 n n ?1 7 7 2 7
当 n ? 1 时,

1 2 ? . 7 7

综上所述:对一切正整数 n ,有

1 1 1 2 ? ?? ? ? . a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7

【方法 2】 当

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ). 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n ? 3 (2n ? 1)(2n ? 3) 4 2n ? 1 2n ? 3
2

n… 3





1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 7 23 47 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 3 4n ? 4n ? 1 7 23 4 5 9 7 11

1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) 7 23 4 5 7
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?

2 7

当 n ? 1 时,

1 1 1 1 2 1 2 ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? . 7 23 7 7 7 7 7
1 1 1 2 ? ?? ? ? . a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7

综上所述:对一切正整数 n ,有

【方法 3】 当

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 4n ? 4n ? 1 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
2

n? 4





1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? 2 ? ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 7 23 4n ? 4n ? 1 7 23 47 2 7 9 9 11 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? . 7 23 47 14 7
当 n ?1 时 ,

1 1 1 1 2 1 2 ? ; 当 n?2 时 , ? ? ? ? ; 当 n?3 时 , 7 23 7 7 7 7 7

1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? . 7 23 47 7 14 14 7

综上所述:对一切正整数 n ,有

1 1 1 2 ? ?? ? ? . a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 7

考点:1、等差数列;2、等比数列;3、放缩法在数列不等式中的应用. 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2ln x (其中 a 是实数) .
2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; ( Ⅱ ) 若 设 2( e ?

1 ) ? a ? 5 , 且 f ( x) 有 两 个 极 值 点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,求 e

* (其中 e 为自然对数的底数, n ? N ) . f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的取值范围.

【答案】 (Ⅰ) 当 a? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, 当a ? 4 ? ?) ,无单调递减区间; 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, (Ⅱ) ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) ;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的取值范围为 (e ? ? 2, ? 4 ln 2) .
【解析】 试题分析: (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间,首先确定函数 f ( x ) 的定义域,然后对其进
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1 e

15 4

行求导

f ?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 2 ,要讨论导函数大于 0 或小于 0,需要对二次函数 x

g ( x) ? 2 x2 ? ax ? 2 有根和无根进
行讨论即(1) ?? 0 ; (2) ? ? 00 ,并分别求出其对应的单调区间; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 f ( x ) 有两个极值点,则函数 f ( x ) 在区间 ( x1,x2 ) .内单调递减 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且 x2 ?

a 1 ? x1 可得 0 ? x1 ? 1,又由(Ⅰ)知, x1 ? x2 ? ? 0 , 2 x1

即 x1 ?

1 1 a )?a?5 ? ,由已知 2( e ? x1 2 e

可求出 造函数

1 1 1 2 ? x1 ? ,再由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? x1 ? 4ln x1 ,于是构 2 x1 e

h( x ) ?

1 1 1 ? x 2 ? 4 ln x ( ? x ? ) ,并利用导数讨论其单调性,进而求出所求的取 2 x 2 e

值范围即可. 试题解析: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ? ?) , f ?( x) ? 2 x ? a ?
2 2 令 g ( x) ? 2 x ? ax ? 2 , ? ? a ? 16 ,对称轴 x ?

2 2 x 2 ? ax ? 2 ? , x x

a , g (0) ? 2 , 4

a 4 时, f ?( x)… (1)当 ?? 0 ,即 ?4剟 0,
于是,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ?) ,无单调递减区间. (2)当 ? ? 00 ,即 a ? ?4 或 a ? 4 时, ①当 a ? ?4 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 于是, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, 无减区间. ? ?) ,

②当 a ? 4 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 , x2 ? , 4 4

当 x ? (0,x1 ) ? ( x2, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x1,x2 ) 时, f ?( x) ? 0 . 于是, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) . 综上所述:当 a? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ? ?) ,无单调递减区间. 当 a ? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 (0,x1 ) 和 ( x2, ? ?) ,单调递减区间为 ( x1,x2 ) . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 f ( x ) 有两个极值点,则 a ? 4 ,且 x1 ? x2 ?
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a ? 0 , x1 x2 ? 1 , 2

?0 ? x1 ? 1 ? x2


? 2x12 ? ax1 ? 2 ? 0



a ? 2( x1 ?

1 ) x1



2( e ?

1 )?a?5 e



? e?

1 1 1 1 1 , 于 是 , ? x1 ? ? 2 ? , 又 0 ? x1 ? 1 , 解 得 ? x1 ? 2 x1 2 e e

2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x12 ? ax1 ? 2 ln x1 ) ? ( x2 ? ax2 ? 2 ln x2 )

x a 2 ? ( x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 2(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ? a( x1 ? x2 ) ? 2 ln 1 2 x2 ? ?( x1 ? 1 1 1 ) ? ( x1 ? ) ? 4ln x1 ? 2 ? x12 ? 4ln x1 x1 x1 x1

令 h( x ) ?

?2( x 2 ? 1) 2 1 1 1 2 ? ? x ? 4 l n x h ( x ) ? ? 0 恒成立, ( ? x ? ) , 则 ? h( x ) 在 x2 x3 2 e
上 单 调 递 减 ,

1 1 ( , ) 2 e

? h(

1 1 ) ? h( x ) ? h( ) 2 e





1 15 e ? ? 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 4 ln 2 , 故 e 4 1 15 (e ? ? 2, ? 4 ln 2) . e 4

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的 取 值 范 围 为

考点:1、导数在研究函数的单调性与最值中的应用;2、导数在研究不等式中的应用.

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