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新人教A版高中数学(选修4-4)1.3《曲线的极坐标方程》ppt课件


三 简单曲线的极坐标方程

在平面直角坐标 系中, 平面曲线C可以用 方程 f ? x, y ? ? 0 表示. 曲线与方程满足如 下关系:

?1?曲线C 上点的坐标都是方程f ? x, y ? ?
0 的解 ;

?2?以方程 f ? x, y ? ? 0 的解为坐标的点都
在曲线 C 上 .

那么, 在极坐标系中 , 平面曲线是否可以用 方程 f ? ? ,? ? ? 0 表示呢 ?

1 圆的极坐标方程
探究 如图1 ? 15, 半径 为a的圆的圆心坐标为 C ?a,0 ??a ? 0 ?.你能用一 个 等 式 表 示 圆上任意 一点的极坐标? ? , ? ? 满 足的条件吗?
操作几何画板, 在动态中 , 观察度量和计算的有关 数 ?? ,? ?满足的条件. 据 , "探究" 如何用一个等式表示
图1 ? 15
O

? ?

M?? ,? ?

C?a,0 ?

A

x

如图1 ? 15,圆经过极 点 O.设 M?? ,? ? ? 圆和极轴另一个交点是 A, 那 ? O A x 么 | OA |? 2a .设 M ? ? , ? ? 为圆 C?a,0 ? 上除点O, A以外的任意一点 , 图1 ? 15 则OM ? AM .在Rt ?AMO中, | OM |?| OA | cos ?MOA,即 ? ? 2a cos ? . ① ? ?? ① 可以验证, 点O? 0, ?, A?2a,0 ?的坐标满足等式 ? 2? 故等式① 就是圆上任意一点的极 坐标 ?? ,? ? 满 ① 足的条件.另一方面 , 可以验证 , 坐标适合等式 的点都在这个圆上.

一般地 , 在极 坐 标 系 中, 如果 平面曲线C 上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程f ?? ,? ? ? 0 , 并且坐标 适合方程 f ?? ,? ? ? 0的点都在曲线C上, 那么方程 f ?? ,? ? ? 0 叫做曲线C的极坐标方程.

所以,① 就是圆心在C ?a,0 ??a ? 0 ?, 半径为a的圆的 极坐标方程. 可以看到 , 在求曲线方程时 , 关键是找出曲线上的 点满足的几何条件 , 将它用坐标表示 , 再通过代数 变换进行化简 .而且 , 与求圆的直角坐标方程 相比, 求它的极坐标方程更加 简便 ,因为在极坐标系下 , 圆上点的坐标 ? ,?所满足的条件更容易表 示, 代数 变换也更加直接 .

例1 已知圆O的半径为r , 建 立怎样的极坐标 系 , 可以使 圆的极坐标方程更简单 ? 解 如果以圆心 O为极点 ,

M ?

? O r

x

图1 ? 16

轴建立极坐标系 ?图1 ? 16?, 那么圆上各点的几何特 征

从O出发的一条射线为极

就是它们的极径都等于 半 径 r.设M ?? ,? ?为圆上任意
一点, 则| MO |? r, 即? ? r.

显然, 使极点与圆心 重合时的圆的极坐 标方程在形式上比 ① 简单.
与直角坐标方和 x 2 ? y 2 ? r 2 比较, 你能说说极坐 标方程 ? ? r 的优点吗?

1 直线的极坐标方程
l

? 4
O

x

图1 ? 17

探究 如图1 ? 17, 直线l经过极点 , 从极轴到直线 l的角是 , 求直线 4 l 的极坐标方程.

?

如图 1 ? 18, 以极点 O为 分界点 , 直线 l上点的极 坐标分成射线 OM、射 线OM `两部分 .射线OM
上任意一点的极角都是 标方程是 ? ?

M

5? 4
M`

? 4

O

x

图1 ? 18

?
4

, 所以射线 OM的极坐

?

4 5? 射线 OM `上任意一点的极角都是 , 所以射线 OM ` 4 5? ?? ? 0 ?. 的极坐标方程是 ? ? 4 ? 5? 所以, 直线 l 的方程可以用 ? ? 和? ? 表示. 4 4

?? ? 0 ?;

与用直角坐标 方程 y ? x 表示直 线 l 比 较, 用极坐标方程表示过极 点的直线 l 并不方便.当然, 如果允许? 取全体实数, 5? 那么极坐标方程 ? ? ? ? ? R ?或? ? 4 4 ?? ? R ?都是直线l的方程.

?

与P?? ? ,? ? 关于极点对称.

若? ? 0.则? ? ? 0, 我们规定点M ?? ,? ?

例 2 求过点 A?a,0 ??a ? 0 ?, 且垂直于极轴的直线 l的极 坐标方程. 解 如图1 ? 19, 设M ?? ,? ?
?
? a O

l

M

为l 上除点A外的任意一点.

A

x

连结 OM ,由Rt ?MOA 有

图1 ? 19

| OM | cos ?MOA ?| OA | , 即 ? cos ? ? a .
可以验证 , 点 A 的坐标 ?a,0 ? 满足上式 .所以 , 这就是所求直线的极坐标方程 .

例3 设点 P 的极坐标为??1 ,?1 ?, 直线l 过点 P且 与极轴所成的角为 ? , 求直线l 的极坐标方程 .
解 如图1 ? 20, 设 M ? ? ,? ? 为直线 l 上除点 P 外的任意 一点, 连接OM , 则 | OM |? ? , ?xOM ? ? .
O

?1 P ?1 ?
A

?

M

x

由点P的极坐标为??1 ,?1 ?知

l

图1 ? 20

| OP |? ?1 , ?xOP ? ?1 . 设直线l与极轴交于点
A,已知直线l与极轴成?角, 所以?xAM ? ? .

在?MOP中, ?OMP ? ? ? ? , ?OPM ? ? ? ?? ? ?1 ? ,
由正弦定理 , 得
| OM | | OP | ? , sin ?OPM sin ?OMP
O

?1 P ?1 ?
A

?

M

x

l

? ?1 即 ? , sin?? ? ?? ? ?1 ?? sin ?? ? ? ?
即 ? sin?? ? ? ? ? ?1 sin?? ? ?1 ? .

图1 ? 20

显然 , 点 P 的坐标 ??1 ,?1 ? 是方程 ①的解 .所以 , 方程 ①为直线 l 的极坐标方程 .

思考 在例3中 , 如果以极点为直角坐标 原点 , 极轴为 x 轴正半轴建 立平面直角 坐标系, 那么直线l 的直角坐标方程是什 么?比较直线l的极坐标方程与直角坐标 方程 , 你对不同坐 标系下直线方程有什 么认识?


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