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高三数学弱科辅导正弦型函数


正弦型函数 y=Asin(ωx+ ? )
【考点自主复习】 1.正弦函数 y=Asin(ω x+ ? ) x ? R) ( (其中 A、ω 、 ? 为常数且 A≠0 ω >0) (1)y=Asin(ω x+ ? )的周期 T= 2.函数 y=Asinx(A>0)的值域是 ,频率 f= ;最大值为 = ,初相为 。 , 由此可知, 的大小

,最小值是

反映曲线 y=Asinx 的波动幅度的大小。因此 也称为振幅 3。函数 y=sin(x+ ? )的图象与 y=sinx 的图象之间的关系:函数 y=sin(x+ ? )的图象可由函数 y=sinx 的图象所有 点(当 ? >0)向 或(当 ? <0 时)向 平移 个单位长度就得到函数 y=sin(x+ ? )的图象。 4。函数 y=sin(ω x)(ω >0)的图象与 y=sinx 的图象之间的关系:函数 y=sin(ω x) (ω >0)的图象可以看作 把 y=sinx 的图象上所有点的 坐标(当ω >1) 或(当 0<ω <1) 到原来的 倍( 坐标 不变)而得到的。 5。作函数 y ? A sin ?? x ? ? ? 的图象的两种方法: (1)用“五点法”作图:主要是通过变量代换,设 z ? ? x ? ? ,由 z 取 0, 通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)用“图象变换法”作图: 法一:先平移后伸缩
y ? s in x ? ? ? ? ? ? ? ? y ? s in ( x ? ? ) ?
平 移 |? | 个 单 位


?
2

,? ,

3? 2

, 2 ? 来求出相应的 x,

向 左 (? ? 0 ) 或 向 右 (? ? 0 )

横坐标变为原来的 纵坐标不变

1

? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? s in ? x ? ? ) (

?



? ? ? ? ? ? ? ? y ? A sin ( ? x ? ? ) ?
横坐标不变

纵 坐 标 变 为 原 来 的 A倍

法二:先伸缩后平移
y ? s i nx ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? s in ? x ? ? ? ? ? ? ? ? y ? s in ( ? x ? ? ) ? ?
纵坐标不变 横坐标变为原来的 1 倍

向 左 (? ? 0 ) 或 向 右 (? ? 0 ) 平 移 |? |个 单 位

?

? ? ? ? ? ? ? ? y ? A sin ( ? x ? ? ) ?
横坐标不变

纵 坐 标 变 为 原 来 的 A倍

6. 由给出的函数 y ? A sin ? ? x ? ? ? ? B 的图象求解析式的方法:
A ? y m a x ? y m in 2

;B ?

y m a x ? y m in 2

, T 可以根据图像得到, ? ?

2? T

, ? 由五点作图列表逆求得到.

【典例分析】 例 1.用“五点法”作出函数 y=2sin(
x 2 ?

?
3

)的图象,并说明由函数 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到?

变式训练 1:把函数 y=sin3x 的图象向左平移

?
4

个单位得到函数

的图象,再把所得函数的图象

上所有点的横坐标变为原来的 2 倍得到函数 例 2.已知函数 f(x)=Asin( ? x ? ? )(A>0, ? ? 0 , ? ? 如图所示, (1)求 A、ω 、 ? (2)求直线 y= 3 与函数 f(x)图象所有交点的坐标。
-

的图象
?
2 , x ? R )在一个周期内的图象

y 2

1 2

0 1
2

3 2

5 2

7 2

x

-2

变式训练 2:已知函数 y ? A sin( ? x ? ? ) 在一个周期内当 x= 得最小值-2 那么( A. y ?
1 2 sin( x ?

?
12

时,取得最大值 2,当 x=

7? 12

时取


) )

?
3

B. y ? 2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin(
x 2 ?

?
3

) )

C. y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

?
6

变式训练 3:如图所示,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin( ? x ? ? )+b (A>0, ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) (1)求这段时间的最大温差 (2)写出这段曲线的函数解析式 y 温度 (℃) 30 20 10 6 【知能巩固训练】 1.函数 y ? 5 sin( 2 x ? A、向右平移 C、向右平移
?
6

10

时间 14 x ( )

?
6

) 的图象经过下列平移变换,就可得到函数 y=5sin2x

B、向左平移 D、向左平移

?
6
y

?
12

?
12

2

7? 12
x

2.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? ? ) 的部分函数图象,如右图所示,则函数的解析式为
-2

?
12


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