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2015-2016学年贵州省黔南州凯里一中洗马河校区高二(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年贵州省黔南州凯里一中洗马河校区高二(下)期 末数学试卷
一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求. 1.已知集合 A={1,2,3},B={1,3},则 A∩B=( ) A.{2} B.{1,2} C.{1,3} D.{1,2,3} 2.若(1+i)+(2﹣3i)=a+bi(a,b∈R,i 是虚数单位) ,则 a,b 的值分别等于( ) A.3,﹣2 B.3,2 C.3,﹣3 D.﹣1,4 3.已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量 =(﹣4,﹣3) ,则向量 =( ) A. D. (﹣7,﹣4) B. (7,4) C. (﹣1,4) (1,4) 4.根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下 结论中不正确的是( )

A.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 B.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 C.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 D.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 5.若 sinα=﹣ A. B.﹣ ,则 α 为第四象限角,则 tanα 的值等于( C. D.﹣ ,cosA= .且 b< )

6.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2

c,则 b=( ) A.3 B.2 C.2 D. 7.已知{an}是公差为 1 的等差数列;Sn 为{an}的前 n 项和,若 S8=4S4,则 a10=( A. B. C.10 D.12



8.已知椭圆 A.2 B.3

+

=1(m>0 )的左焦点为 F1(﹣4,0) ,则 m=( C.4 D.9



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9.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行 该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( )

A.0 B.2 C.4 D.14 10.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(



A.1+

B.2+

C.1+2

D.2 )

11.函数 f(x)=(x﹣ )cosx(﹣π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为(

A.

B.

C.

D.

12.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(﹣x)=2﹣f(x) ,若函数 y=

与 y=f(x)图象的交

点为(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xm,ym) ,则 A.0 B.m C.2m D.4m

(xi+yi)=(



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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.若变量 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+3y 的最大值为 .

14.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和,若 Sn=126,则 n= . 15.从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成 n 个数对(x1, y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的 方法得到的圆周率 π 的近似值为 . 16. y=kx b y=lnx 2 若直线 + 是曲线 + 的切线, 也是曲线 y=ln (x+1) 的切线, 则 b= . 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=sinx﹣2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最小值. sin2 .

18.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为[40, 50],[50,60],…,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在[40,50]的概率.

19. 随着我国经济的发展, 居民的储蓄存款逐年增长. 设某地区城乡居民人民币储蓄存款 (年 底余额)如下表: 2010 2011 2012 2013 2014 年份 1 2 3 4 5 时间代号 t 5 6 7 8 10 储蓄存款 y(千亿元) (Ⅰ)求 y 关于 t 的回归方程 =t+ . (Ⅱ)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t=6)的人民币储蓄存款. 附:回归方程 = t+ 中

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20.如图,在三棱锥 V﹣ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB (3)求三棱锥 V﹣ABC 的体积.

21.已知椭圆 C:

+

=1 过点 A(2,0) ,B(0,1)两点.

(1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交 于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 22.设函数 f(x)=xea﹣x+bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y=(e﹣1) x+4, (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 求 l 的斜率. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+a. (I)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤4 的解集; (II)设函数 g(x)=|2x﹣1|.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥2,求 a 的取值范围. (t 为参数) ,l 与 C 交与 A,B 两点,|AB|= ,

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2015-2016 学年贵州省黔南州凯里一中洗马河校区高二 (下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求. 1.已知集合 A={1,2,3},B={1,3},则 A∩B=( ) A.{2} B.{1,2} C.{1,3} D.{1,2,3} 【考点】交集及其运算. 【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可. 【解答】解:集合 A={1,2,3},B={1,3},则 A∩B={1,3}. 故选:C. 2.若(1+i)+(2﹣3i)=a+bi(a,b∈R,i 是虚数单位) ,则 a,b 的值分别等于( A.3,﹣2 B.3,2 C.3,﹣3 D.﹣1,4 )

【考点】复数相等的充要条件. 【分析】由复数的加法运算化简等式左边,然后由实部等于实部,虚部等于虚部求得 a,b 的值. 【解答】解:由(1+i)+(2﹣3i)=3﹣2i=a+bi, 得 a=3,b=﹣2. 故选:A. 3.已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量 =(﹣4,﹣3) ,则向量 A. D. (﹣7,﹣4) B. (7,4) C. (﹣1,4) (1,4) 【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】顺序求出有向线段 ,然后由 = 求之. =(3,1) ,向量 =(﹣4,﹣3) , =( )

【解答】解:由已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,得到 则向量 = =(﹣7,﹣4) ;

故答案为:A. 4.根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下 结论中不正确的是( )

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A.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 B.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 C.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 D.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 【考点】频率分布直方图. 【分析】根据频率分布直方图判断各个选项即可. 【解答】解:A:2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故 A 错误. B:2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势,故 B 正确; C 从图中看出,2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效,故 C 正确; D 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少, 且减少的 最多,故 D 正确; 故选:A

5.若 sinα=﹣ A. B.﹣

,则 α 为第四象限角,则 tanα 的值等于( C. D.﹣



【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出 cosα,然后求解即可. 【解答】解:sinα=﹣ tanα= 故选:D. =﹣ . ,则 α 为第四象限角,cosα= = ,

6.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 c,则 b=( ) A.3 B.2 C.2

,cosA=

.且 b<

D.

【考点】正弦定理. 【分析】运用余弦定理:a2=b2+c2﹣2bccosA,解关于 b 的方程,结合 b<c,即可得到 b=2. 【解答】解:a=2,c=2 由余弦定理可得,
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,cosA=

.且 b<c,

a2=b2+c2﹣2bccosA, 即有 4=b2+12﹣4 × b,

解得 b=2 或 4, 由 b<c,可得 b=2. 故选:C. 7.已知{an}是公差为 1 的等差数列;Sn 为{an}的前 n 项和,若 S8=4S4,则 a10=( A. B. C.10 D.12 )

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:∵{an}是公差为 1 的等差数列,S8=4S4, ∴ 解得 a1= . 则 a10= 故选:B. = . =4×(4a1+ ) ,

8.已知椭圆 A.2 B.3

+

=1(m>0 )的左焦点为 F1(﹣4,0) ,则 m=( C.4 D.9



【考点】椭圆的简单性质. 【分析】利用椭圆 求出 m. 【解答】解:∵椭圆 ∴25﹣m2=16, ∵m>0, ∴m=3, 故选:B. 9.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行 该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a=( ) + =1(m>0 )的左焦点为 F1(﹣4,0) , + =1(m>0 )的左焦点为 F1(﹣4,0) ,可得 25﹣m2=16,即可

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A.0

B.2

C.4

D.14

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 a,b 的值,当 a=b=2 时不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 2. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 a=14,b=18 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=4 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=10 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=6 满足条件 a≠b,满足条件 a>b,a=2 满足条件 a≠b,不满足条件 a>b,b=2 不满足条件 a≠b,输出 a 的值为 2. 故选:B. 10.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

A.1+

B.2+

C.1+2

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥,结合题意 画出图形,利用图中数据求出它的表面积.
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【解答】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥,如图所示; ∴该几何体的表面积为 S 表面积=S△ PAC+2S△ PAB+S△ ABC = ×2×1+2× =2+ . 故选:B. × + ×2×1

11.函数 f(x)=(x﹣ )cosx(﹣π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】先根据函数的奇偶性排除 AB,再取 x=π,得到 f(π)<0,排除 C. 【解答】解:f(﹣x)=(﹣x+ )cos(﹣x)=﹣(x﹣ )cosx=﹣f(x) , ∴函数 f(x)为奇函数, ∴函数 f(x)的图象关于原点对称,故排除 A,B, 当 x=π 时,f(π)=(π﹣ 故选:D. )cosπ= ﹣π<0,故排除 C,

12.已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(﹣x)=2﹣f(x) ,若函数 y=

与 y=f(x)图象的交

点为(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xm,ym) ,则 A.0 B.m C.2m D.4m

(xi+yi)=(



【考点】抽象函数及其应用.

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【分析】由条件可得 f(x)+f(﹣x)=2,即有 f(x)关于点(0,1)对称,又函数 y=



即 y=1+ 的图象关于点(0,1)对称,即有(x1,y1)为交点,即有(﹣x1,2﹣y1)也为 交点,计算即可得到所求和. 【解答】解:函数 f(x) (x∈R)满足 f(﹣x)=2﹣f(x) , 即为 f(x)+f(﹣x)=2, 可得 f(x)关于点(0,1)对称, 函数 y= ,即 y=1+ 的图象关于点(0,1)对称,

即有(x1,y1)为交点,即有(﹣x1,2﹣y1)也为交点, (x2,y2)为交点,即有(﹣x2,2﹣y2)也为交点, … 则有 (xi+yi)=(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xm+ym)

=

[(x1+y1)+(﹣x1+2﹣y1)+(x2+y2)+(﹣x2+2﹣y2)+…+(xm+ym)+(﹣xm+2﹣ym)]

=m. 故选 B. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.若变量 x,y 满足约束条件 【考点】简单线性规划. 【分析】作出可行域,变形目标函数,平移直线 y=﹣ x 数形结合可得结论. ,则 z=2x+3y 的最大值为 5 .

【解答】解:作出约束条件

所对应的可行域(如图阴影) ,

变形目标函数可得 y=﹣ x+ z,平移直线 y=﹣ x 可知, 当直线经过点 A(4,﹣1)时,目标函数取最大值, 代值计算可得 z 的最大值为:2×4﹣3=5, 故答案为:5.

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14.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前 n 项和,若 Sn=126,则 n= 6 . 【考点】等比数列的前 n 项和;等比关系的确定. 【分析】由 an+1=2an,结合等比数列的定义可知数列{an}是 a1=2 为首项,以 2 为公比的等比 数列,代入等比数列的求和公式即可求解. 【解答】解:∵an+1=2an, ∴ ,

∵a1=2, ∴数列{an}是 a1=2 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴Sn= ∴2n+1=128, ∴n+1=7, ∴n=6. 故答案为:6 15.从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成 n 个数对(x1, y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的 方法得到的圆周率 π 的近似值为 . = =2n+1﹣2=126,

【考点】模拟方法估计概率. 【分析】以面积为测度,建立方程,即可求出圆周率 π 的近似值.

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【解答】解:由题意,两数的平方和小于 1,对应的区域的面积为 π?12,从区间[0,1]随 机抽取 2n 个数 x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成 n 个数对(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,

yn) ,对应的区域的面积为 12,



,∴π=



故答案为:



16. 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线, 也是曲线 y=ln (x+1) 的切线, 则 b= 1﹣ln2 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】先设切点,然后利用切点来寻找切线斜率的联系,以及对应的函数值,综合联立求 解即可 【解答】解:设 y=kx+b 与 y=lnx+2 和 y=ln(x+1)的切点分别为(x1,kx1+b) 、 (x2,kx2+b) ; 由导数的几何意义可得 k= = ,得 x1=x2+1

再由切点也在各自的曲线上,可得

联立上述式子解得



从而 kx1+b=lnx1+2 得出 b=1﹣ln2. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 f(x)=sinx﹣2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最小值.
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sin2 .

【考点】三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;三角函数的最值. 【分析】 (1)由三角函数恒等变换化简函数解析式可得 f(x)=2sin(x+ 角函数的周期性及其求法即可得解; (2)由 x∈[0, 解. 【解答】解: (1)∵f(x)=sinx﹣2 =sinx﹣2 =sinx+ × cosx﹣ )﹣ =2π; sin2 ],可求范围 x+ ∈[ ,π],即可求得 f(x)的取值范围,即可得 )﹣ ,由三

=2sin(x+

∴f(x)的最小正周期 T= (2)∵x∈[0, ∴x+ ∈[ ],

,π], )∈[0,1],即有:f(x)=2sin(x+ ]上的最小值为:﹣ )﹣ . ∈[﹣ ,2﹣ ],

∴sin(x+

∴可解得 f(x)在区间[0,

18.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为[40, 50],[50,60],…,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在[40,50]的概率.

【考点】频率分布直方图. 【分析】 (1)利用频率分布直方图中的信息,所有矩形的面积和为 1,得到 a; (2)对该部门评分不低于 80 的即为 90 和 100,的求出频率,估计概率;
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(3)求出评分在[40,60]的受访职工和评分都在[40,50]的人数,随机抽取 2 人,列举法 求出所有可能,利用古典概型公式解答. 【解答】解: (1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,解得 a=0.006; (2)由已知的频率分布直方图可知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022+0.018) ×10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4; (3)受访职工中 评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人) ,记为 A1,A2,A3; 受访职工评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人) ,记为 B1,B2. 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种, 分别是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}, 又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种,即{B1,B2}, 故所求的概率为 P= .

19. 随着我国经济的发展, 居民的储蓄存款逐年增长. 设某地区城乡居民人民币储蓄存款 (年 底余额)如下表: 2010 2011 2012 2013 2014 年份 1 2 3 4 5 时间代号 t 5 6 7 8 10 储蓄存款 y(千亿元) (Ⅰ)求 y 关于 t 的回归方程 = t+ . (Ⅱ)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t=6)的人民币储蓄存款. 附:回归方程 = t+ 中



【考点】回归分析的初步应用. 【分析】 (Ⅰ)利用公式求出 a,b,即可求 y 关于 t 的回归方程 = t+ . (Ⅱ)t=6,代入回归方程,即可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款.

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【解答】解: (Ⅰ)

由题意,

=3,

=7.2, =120﹣5×3×7.2=12,

=55﹣5×32=10, ∴ =1.2, =7.2﹣1.2×3=3.6,

∴y 关于 t 的回归方程 =1.2t+3.6. (Ⅱ)t=6 时, =1.2×6+3.6=10.8(千亿元) .

20.如图,在三棱锥 V﹣ABC 中,平面 VAB⊥平面 ABC,△VAB 为等边三角形,AC⊥BC 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点. (1)求证:VB∥平面 MOC; (2)求证:平面 MOC⊥平面 VAB (3)求三棱锥 V﹣ABC 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)利用三角形的中位线得出 OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明 VB∥平面 MOC; (2)证明:OC⊥平面 VAB,即可证明平面 MOC⊥平面 VAB (3)利用等体积法求三棱锥 V﹣ABC 的体积. 【解答】 (1)证明:∵O,M 分别为 AB,VA 的中点, OM ∴ ∥VB, ∵VB?平面 MOC,OM? 平面 MOC, ∴VB∥平面 MOC; (2)∵AC=BC,O 为 AB 的中点, ∴OC⊥AB,
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∵平面 VAB⊥平面 ABC,OC? 平面 ABC, ∴OC⊥平面 VAB, ∵OC? 平面 MOC, ∴平面 MOC⊥平面 VAB (3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC= ∴S△ VAB= , ∵OC⊥平面 VAB, ∴VC﹣VAB= ?S△ VAB= . ,

,∴AB=2,OC=1,

∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=

21.已知椭圆 C:

+

=1 过点 A(2,0) ,B(0,1)两点.

(1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交 于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 【考点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系. 【分析】 (1)由题意可得 a=2,b=1,则 离心率为 e= ; ,则椭圆 C 的方程可求,

y0) PB 所在直线方程, N 的坐标, (2) 设 P(x0, , 求出 PA、 得到 M, 求得|AN|, |BM|. 由 ,结合 P 在椭圆上求得四边形 ABNM 的面积为定值 2.

【解答】 (1)解:∵椭圆 C:

+

=1 过点 A(2,0) ,B(0,1)两点,

∴a=2,b=1,则 ∴椭圆 C 的方程为 (2)证明:如图, 设 P(x0,y0) ,则

, ,离心率为 e= ;

,PA 所在直线方程为 y=



取 x=0,得



,PB 所在直线方程为



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取 y=0,得



∴|AN|=



|BM|=1﹣





=

=﹣

=

=

= ∴四边形 ABNM 的面积为定值 2.



22.设函数 f(x)=xea﹣x+bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y=(e﹣1) x+4, (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求函数的导数,根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及 f(2) ,建立 方程组关系即可求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系即可求 f(x)的单调区间. 【解答】解: (Ⅰ)∵y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y=(e﹣1)x+4, ∴当 x=2 时,y=2(e﹣1)+4=2e+2,即 f(2)=2e+2, 同时 f′(2)=e﹣1, ∵f(x)=xea﹣x+bx, ∴f′(x)=ea﹣x﹣xea﹣x+b,
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即 a=2,b=e; (Ⅱ)∵a=2,b=e; ∴f(x)=xe2﹣x+ex, ∴f′(x)=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=(1﹣x)e2﹣x+e, f″(x)=﹣e2﹣x﹣(1﹣x)e2﹣x=(x﹣2)e2﹣x, 由 f″(x)>0 得 x>2,由 f″(x)<0 得 x<2, 即当 x=2 时,f′(x)取得极小值 f′(2)=(1﹣2)e2﹣2+e=e﹣1>0, ∴f′(x)>0 恒成立, 即函数 f(x)是增函数, 即 f(x)的单调区间是(﹣∞,+∞) . [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的参数方程是 (t 为参数) ,l 与 C 交与 A,B 两点,|AB|= ,

求 l 的斜率. 【考点】圆的标准方程;直线与圆相交的性质. 【分析】 (Ⅰ)把圆 C 的标准方程化为一般方程,由此利用 ρ2=x2+y2,x=ρcosα,y=ρsinα, 能求出圆 C 的极坐标方程. (Ⅱ)由直线 l 的参数方程求出直线 l 的一般方程,再求出圆心到直线距离,由此能求出直 线 l 的斜率. 【解答】解: (Ⅰ)∵圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25, ∴x2+y2+12x+11=0, ∵ρ2=x2+y2,x=ρcosα,y=ρsinα, ∴C 的极坐标方程为 ρ2+12ρcosα+11=0. (Ⅱ)∵直线 l 的参数方程是 ∴直线 l 的一般方程 y=tanα?x, ∵l 与 C 交与 A,B 两点,|AB|= ∴圆心 C(﹣6,0)到直线距离 d= 解得 tan2α= ,∴tanα=± ∴l 的斜率 k=± . (t 为参数) ,

,圆 C 的圆心 C(﹣6,0) ,半径 r=5, = ,





[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|2x﹣a|+a. (I)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤4 的解集;
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(II)设函数 g(x)=|2x﹣1|.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥2,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=|2x﹣2|+2,不等式即|x﹣1|≤1,﹣1≤x﹣1≤1,由此求 得 x 的范围. (Ⅱ)利用绝对值三角不等式求得 f(x)+g(x)的最小值为|1﹣a|+a,不等式等价于|1﹣ a|+a≥2,分类讨论,求得 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=|2x﹣2|+2,不等式即|2x﹣2|+2≤4,即|x﹣1|≤1, ﹣1≤x﹣1≤1, 求得 0≤x≤2,故 f(x)≤4 的解集为{x|0≤x≤2}. f =|2x﹣a|+a+|1﹣2x|≥|2x﹣a+1﹣2x|+a=|1﹣a|+a, (Ⅱ) 当 x∈R 时, (x) +g (x) 当 时等号成立, 所以当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥2 等价于|1﹣a|+a≥2 ①, 当 a≤1 时,①等价于 1﹣a+a≥2,无解; 当 a>1 时,①等价于 a﹣1+a≥2,解得 综合可得,a 的取值范围是 . ,

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2016 年 9 月 5 日

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