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轨迹方程的求法(学案)


轨迹方程的求法
一.复习目标:
1.掌握求轨迹方程的两种基本方法——直接法,定义法,相关点法,参数法; 2.掌握直接法求轨迹方程的基本步骤.

二.知识要点:
1.直接法求轨迹方程的一般步骤:建系—设点—列式—代换—化简—检验 2.用定义法求轨迹方程的基本思路是: (1)用曲线的定义判断轨迹的形状(定型) ; (2)判 断轨迹的位置(定位) (3)求曲线的基本量(定量) ; (4)写出轨迹方程. 3. 相关点法 (代入法) : 对于两个动点 P( x0 , y0 ), Q( x, y) , 点 P 在已知曲线上运动导致点 Q 运动形成轨迹时,只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为 ? 然后将其代入已知曲线的方程即得到点 Q 的轨迹方程. 4.参数法(交规法) :当动点 P 的坐标 x, y 之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变

? x0 ? f ( x, y ) ? y0 ? g ( x , y )

? x ? f (t ) 消去参数 t , 便可得到 ? y ? g (t ) 动点 P 的的轨迹的普通方程,但要注意方程的等价性,即有 t 的范围确定出 x, y 的范围.
量t , 并用 t 表示动点 P 的坐标 x, y , 从而动点轨迹的参数方程 ? 一 直接法 例1 动点 P(x,y)到两定点 A(-3,0)和 B(3,0)的距离的比等于 2(即

| PA | ? 2) , | PB |

求动点 P 的轨迹方程?

二 定义法 例 2:已知 ?ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为(-4,0) , (4,0) ,C 为动点,且满足

sin B ? sin A ?

5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4

【变式】 :1 已知圆

的圆心为 M1,圆

的圆心为 M2,一动圆

与这两个圆外切,求动圆圆心 P 的轨迹方程。

2:点 M 到点 F (4, 0) 的距离比它到直线 x ? 5 ? 0的距离小 1, 则点 M 的轨迹方程为________。

三、相关点 例 3 动圆 C : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,过原点 O 作圆的任一弦,求弦的中点的轨迹方程.

变式 1.自椭圆 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1 上的任意一点 P 向 x 轴引垂线, 垂足为 Q , 则线段 PQ 的中点 M 20 4

2.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点分别是 F1、F2,△MF1F2 的重心 G 恰为椭圆上的点,则点 9 5 M 的轨迹方程为 .

四:参数法 此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的 取值范围。 例 4.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点

配套训练
2 1. 已知点 A(?2,0) 、 B (3,0). 动点 P( x, y) 满足 PA? PB ? x ,则点 P 的轨迹为(



A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

2. △ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B(-

a a 1 ,0),C( ,0),且满足条件 sinC-sinB= sinA, 2 2 2

则动点 A 的轨迹方程为_________. 3. 已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A, 则弦的中点 M 的轨迹方程是 _____ 4.当参数 m 随意变化时, 则抛物线 y ? x 2 ? ?2m ? 1?x ? m2 ? 1 的顶点的轨迹方程为______。 三、解答题 5.如图,从双曲线 C : x ? y ? 1 上一点 Q 引直线
2 2

y P Q N O x

l : x ? y ? 2 的垂线,垂足为 N ,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程.

6.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0 )的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、OB ,求弦 AB 的
2

中点 M 的轨迹方程.

轨迹方程导学案答案
例1
2 2 【解答】∵|PA|= ( x ? 3) ? y , | PB |?

( x ? 3) 2 ? y 2

( x ? 3) 2 ? y 2 | PA | ? 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4( x ? 3) 2 ? 4 y 2 代入 ? 2得 2 2 | PB | ( x ? 3) ? y
化简得(x-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4 为半径的圆.

例 2 【解析】由 sin B ? sin A ?

5 5 sin C , 可知 b ? a ? c ? 10 ,即 | AC | ? | BC |? 10 ,满 4 4
'2

足椭圆的定义。令椭圆方程为

x2 a

?

y2 b
'2

? 1 ,则 a ' ? 5, c ' ? 4 ? b ' ? 3 ,则轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?5) ,图形为椭圆(不含左,右顶点) 。 25 9
【变式 1】: 1:已知圆 的圆心为 M1,圆 圆与这两个圆外切,求动圆圆心 P 的轨迹方程。 解:设动圆的半径为 R,由两圆外切的条件可得: 。 ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b =12。
2

的圆心为 M2,一动





故所求轨迹方程为 例 4【解析】 分析 1:从运动的角度观察发现,点 M 的运动是由直线 l1 引发的,可设出 l1 的斜率 k 作为参数,建立动点 M 坐标(x,y)满足的参数方程。 解法 1:设 M(x,y) ,设直线 l1 的方程为 y-4=k(x-2) , (k≠0)

1 由l1 ? l 2, 则直线 l 2的方程为 y ? 4 ? ? ( x ? 2) k 4 ? l1与x轴交点 A的坐标为 (2 ? , 0), k 2 l 2 与y轴交点 B的坐标为 (0, 4 ? ), k
∵M 为 AB 的中点,

4 ? 2? ? k ? 1? 2 ?x ? ? 2 k ?? (k为参数) 2 ? 4? ? k ? 2? 1 y? ? 2 k ?
消去 k,得 x+2y-5=0。 另外,当 k=0 时,AB 中点为 M(1,2) ,满足上述轨迹方程; 当 k 不存在时,AB 中点为 M(1,2) ,也满足上述轨迹方程。 综上所述,M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。 分析 2:解法 1 中在利用 k1k2=-1 时,需注意 k1、k2 是否存在,故而分情形讨论,能 否避开讨论呢?只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性:

| MP |?

1 | AB | 2

解法 2:设 M(x,y) ,连结 MP,则 A(2x,0) ,B(0,2y) , ∵l1⊥l2,∴△PAB 为直角三角形

由直角三角形的性质 ,| MP |?

1 | AB | 2

1 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? · (2 x) 2 ? (2 y ) 2 2
化简,得 x+2y-5=0,此即 M 的轨迹方程。 分析 3: :设 M(x,y) ,由已知 l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k2=-1,即 可列出轨迹方程,关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上,由 M 为 AB 的中点, 易找出它们的坐标之间的联系。 解法 3:设 M(x,y) ,∵M 为 AB 中点,∴A(2x,0) ,B(0,2y) 。 又 l1,l2 过点 P(2,4) ,且 l1⊥l2 ∴PA⊥PB,从而 kPA·kPB=-1,

4?0 4 ? 2y ,k PB ? 2 ? 2x 2?0 4 4 ? 2y ? · ? ?1,化简,得 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 ? 2x 2 而k PA ?
注意到 l1⊥x 轴时,l2⊥y 轴,此时 A(2,0) ,B(0,4) 中点 M(1,2) ,经检验,它也满足方程 x+2y-5=0 综上可知,点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。 【点评】 1) 解法 1 用了参数法,消参时应注意取值范围。解法 2,3 为直译法,运用了 kPA·kPB= -1, | MP |?

1 | AB | 这些等量关系。 。 2

用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角 度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。也可以没有具体的意义,选定参变 量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响

配套训练 1.解: PA ? (?2 ? x,? y), PB ? (3 ? x,? y) ,? PA? PB ? (?2 ? x)(3 ? x) ? y 2

? x 2 ? x ? 6 ? y 2 . 由条件, x 2 ? x ? 6 ? y 2 ? x 2 ,整理得 y 2 ? x ? 6 ,此即点 P 的轨迹
方程,所以 P 的轨迹为抛物线,选 D.

.解析:由 sinC-sinB= 2.

1 1 sinA,得 c-b= a, 2 2
16 x 2 16 y 2 a a ? 1( x ? ) . ,故方程为 2 ? 2 4 a 3a 2

∴应为双曲线一支,且实轴长为

16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a

3、 【 解 答 】 : 令 M 点 的 坐 标 为 ( x, y ) , 则 A 的 坐 标 为 (2 x,2 y) , 代 入 圆 的 方 程 里 面 得: ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

1 ( x ? 0) 4

4、当参数 m 随意变化时,则抛物线 y ? x 2 ? ?2m ? 1?x ? m2 ? 1 的顶点的轨迹方程为 【分析】 : 把所求轨迹上的动点坐标 x, y 分别用已有的参数 m 来表示, 然后消去参数 m,

1? 5? ? ? 便可得到动点的轨迹方程。 【解答】 :抛物线方程可化为 ? x ? m ? ? ? y ? ? m ? ? ? ? 2? 4?
它的顶点坐标为 x ? ? m ? 消去参数 m 得: y ? x ?

2

1 5 ,y ? ?m ? 2 4

3 4

故所求动点的轨迹方程为 4 x ? 4 y ? 3 ? 0 。 5. 解:设 P( x, y),Q ( x1 , y1 ) ,则 N (2 x ? x1 ,2 y ? y1 ) .? N 在直线 l 上,

? 2x ? x1 ? 2 y ? y1 ? 2. ① 又 PN ? l 得

y ? y1 ? 1, 即 x ? y ? y1 ? x1 ? 0 .② x ? x1
. 又 点

联 解 ① ② 得

3x ? y ? 2 ? x1 ? ? ? 2 ? 3 y ? x?2 ?y ? 1 ? 2 ?

Q

在 双 曲 线

C

上 ,

?(

3x ? y ? 2 2 3 y ? x ? 2 2 ) ?( ) ? 1 ,化简整理得: 2x 2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ,此即动 2 2 点 P 的轨迹方程 1 6.解:设 M ( x, y ) ,直线 OA 的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 OB 的斜率为 ? .直线 OA 的 k

? y ? kx 2p 2p ?x ? k 2 ) ,同理可得 B(2 pk 2 ,?2 pk) . 方程为 y ? kx ,由 ? 2 解得 ? ,即 A( 2 , ? k k ? y ? 2 px ?y ? 2 p
? ? k

?

2p

? ?x ? 由中点坐标公式,得 ? ? ?y ? ? ?

p ? pk 2 2 k ,消去 k ,得 y 2 ? p( x ? 2 p) ,此即点 M 的轨迹方程 p ? pk k


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