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沛县高二年级数学(理科)试题(2013.12)


沛县高二年级数学(理科)试题(2013.12)
一、填空题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共计 40 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 1 ”的 “既不充分也不必要”之一) 2. 已知椭圆中心在原点,一个焦点为( 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 ▲ . ▲
2



条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、

3. 底面边长为 2,侧棱与底面成 60?的正四棱锥的侧面积为 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 y ? 3 x 是双曲线 离心率为 ▲ .
2



x y ? 2 ? 1 的一条渐近线方程,则此双曲线的 2 a b

5.已知空间四边形 OABC 中, OA ? a , OB ? b, OC ? c, 点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的 中点,则 MN ?
2

??? ?

??? ?

????

???? ?





6. 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分 别是 p 、 q ,则

1 1 ? ? p q



.

7. 已知 A,B,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点 P 的坐标是 ( x, 0, y ) , 若 PA ? 平面ABC ,则点 P 的坐标是 ▲ . 点 G,

8. 如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于 已知△A?DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形 (点 A? ? 平面 ABC),则下列命题中正确的是 ▲ .

①动点 A? 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A?DE;③三棱锥 A??FED 的体积有最大值. x2 y2 9. 设椭圆 2+ 2 = 1(a>b>0)恒过定点 A(1, 则椭圆的中心到准线 2), a b 距离的最小值是 ▲ .

A

D

10. 一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中,底面如图所示, 其中三棱柱的底面 AEF 是一个直角三角形,∠AEF = 90?,AE = a, EF = b,三棱柱的高与正四棱柱的高均为 1,则此正四棱柱的体积为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 60 分.请在答题卡指定区域内 .......

F B E C

作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11. (本题满分 8 分)
2 2 抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,它与圆 x ? y ? 9 相交,公共弦 MN 的长为 2 5 ,求该抛

物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程.

12. (本题满分 8 分) 已知 a ?

1 且 a ? 1 .条件 p :函数 f ( x) ? log 2a ? 1) x 在其定义域上是减函数;条件 q :函数 ( 2
x ? x ? a ? 2 的定义域为 R .如果 p ? q 为真,试求 a 的取值范围.

g ( x) ?

13. (本题满分 10 分) 已 知 a ? 0 , 命 题 p:?x ? 0, x ?

a ? 2恒 成 立 ; 命 题 q : ?k ? R, 直 线 kx ? y ? 2 ? 0 与 椭 圆 x

x2 ?

y2 ? 1有公共点.是否存在正数 a ,使得 p ? q 为真命题,若存在,请求出 a 的范围,若不存 a2

在,请说明理由.

14. (本题满分 10 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD, ∠DAB=60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值.

15.(本题满分 12 分) 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? AC ? AA1 ? 3a, BC ? 2a,D 是 BC 的中点,E,F 分别是 A1A, C1C 上一点,且 AE ? CF ? 2a. (1)求证:B1F⊥平面 ADF; (2)求三棱锥 B1 ? ADF 的体积; (3)求证:BE∥平面 ADF. . A1 E
1

C1

1

B1 F

1

C A 16. (本题满分 12 分) 已知椭圆 E: 最小值为 2. (1)求椭圆 E 的方程;

D

B

1 x2 y 2 + 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,右焦点为 F,且椭圆 E 上的点到点 F 距离的 2 2 a b

(2)设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A、B,过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 x ? 8 分别相交于点 M、N. ① 当过 A、F、N 三点的圆半径最小时,求这个圆的方程; ② 若 cos ?AMB ? ?

65 ,求 △ABM 的面积. 65

2013 年 12 月高二数学理科试题参考答案
1.充分不必要 2.

x2 ? y 2 ? 1 3.4 7 4
a4 a ? ( a ? b) 2
2

4.2

5.?

2 1 1 a? b? c 3 2 2

6.4a

7.(?1, 0, 2)

8.①②③ 9. 2+ 5. 10.

11 . 解 : 由 题 意 , 抛 物 线 方 程 为 x ? 2 a y a 0 )设 公 共 弦 MN 交 y 轴 于 点 A , 则 ( ? .
2

MA=AN=

5 . ?ON ? 3 , ? OA ? 32 ? ( 5) 2 ? 2,? N ( 5, ?2). ? N 点 在 抛 物 线 上 ,

?5 ? 2a ? (?2), 即 2a ? ?

5 5 5 2 2 ,故抛物线的方程为 x ? y 或 x ? ? y. ?????4 分 2 2 2 5 5 5 5 5 2 2 抛物线 x ? y 的焦点坐标为 (0, ), 准线方程为 y ? ? . 抛物线 x ? ? y 的焦点坐标为 (0, ? ), 2 8 8 8 2 5 准线方程为 y ? .?????8 分 8 1 12.解:若 p 为真,则 0 ? 2a ?1 ? 1 ,得 ? a ? 1 .?????2分 2
? 若 q 为 真 , 则 x ? x ? a ? 2 ? 0 对 ?x ? R 恒 成 立 . 记 f ( x) x ? x ? a?, 则 2

?2 x ? a ? 2x ,? a , f ( x) ? ? 所 以 f ( x) 的 最 小 值 为 a ? 2 , 故 q 为 真 即 为 a ? 2 ? 0 , 即 ?a ? 2, x ? a,

a ? 2 .?????6分
1 1 ? a ? 1 或 a ? 2 ”故 a 的取值范围为 ( ,1) ? ? 2, ??) .??8分 2 2 a a 13 . 解 : 对 ?x ? 0 , ? x ? ? 2 a , a ? 0 ) 所 以 要 使 x ? ? 2 恒 成 立 , 应 有 ( , x x
于是 p ? q 为真,即为“

2 a ? 2,? a ? 1. ?????4分
2 ,要使直线 kx ? y ? 2 ? 0 与椭圆 x ? ?k ? R ,直线 kx ? y ? 2 ? 0 恒过定点(0,2)

y2 ? 1 有公共 a2

?a ? 1 22 2 , 所以 点,应有 2 ? 0 ? 1 ,解得 a ? 2. 若 p ? q 为真命题,则 p 与 q 都为真命题,因此 ? a ?a ? 2

a ? 2. ?????8分
综上,存在 a ? 2. 使得 p ? q 为真命题.?????10分 14.解析:(Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,

180 ? ?DAB) ? 3CD , 由余弦定理可知 BD ? CD ? CB ? 2CD ? CB ? cos(
2 2 2 0 2

即 BD ?

3CD ? 3 AD ,在 ?ABD 中,∠DAB=60°, BD ? 3 AD ,则 ?ABD 为直角三角形,

且 AD ? DB .又 AE⊥BD, AD ? 平面 AED, AE ? 平面 AED,且 AD ? AE ? A ,故 BD⊥平 面 AED;?????5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 AC ? CB ,设 CB ? 1 ,则 CA ? BD ?

3 ,建立如图所示的空间直角坐标系,

F (0,01), B(0,1,0), D(

3 1 ,? ,0) ,向量 n ? (0,0,1) 为平面 BDC 的一个法向量. 2 2

设向量 m ? ( x, y, z ) 为平面 BDF 的法向量,则 ?

? ? ? m ?BD ? 0 ? 3 x ? 3 y ? 0 ,即 ? 2 , 2 ?m ? FB ? 0 ? y ? z ? 0 ? ?

取 y ? 1 ,则 x ?

3, z ? 1 ,则 m ? ( 3 ,1,1) 为平面 BDF 的一个法向量.

cos ? m, n ??

m ?n mn

?

1 5

?

5 ,而二面角 F-BD-C 的平面角为锐角,则 5

二面角 F-BD-C 的余弦值为

5 .?????10分 5

15.(1)证明:∵AB ? AC,D 为 BC 中点,∴AD⊥BC. 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ∵B1B⊥底面 ABC,AD ? 底面 ABC,∴AD⊥B1B. ∵BC ? B1B ? B,∴AD⊥平面 B1BCC1. ∵B1F ? 平面 B1BCC1,∴AD⊥B1F. 在矩形 B1BCC1 中,∵C1F ? CD ? a,B1C1 ? CF ? 2a, ∴Rt△ DCF ≌ Rt△ FC1B1. ∴?CFD ? ?C1B1F.∴?B1FD ? 90° .∴B1F⊥FD. ∵AD ? FD ? D,∴B1F⊥平面 AFD.?????6分 (2)∵B1F⊥平面 AFD,
1 1 5 2a 1 ∴ VB1 ? ADF ? ? S△ ADF ? B1F = ? ? AD ? DF ? B1F ? . 3 2 3 3 (3)连 EF,EC,设 EC ? AF ? M ,连 DM ,
3

C1 A1
1

1

B1 F

1

E M

C A D B

? AE ? CF ? 2a ,∴四边形 AEFC 为矩形,? M 为 EC 中点. ? D 为 BC 中点,? MD / / BE . ? MD ? 平面 ADF ,. BE ? 平面 ADF ,? BE / / 平面 ADF ?????12分 c 1 16.解:⑴由已知, ? ,且 a ? c ? 2 ,所以 a ? 4 , c ? 2 ,所以 b2 ? a2 ? c2 ? 12 , a 2 x2 y 2 所以椭圆 E 的方程为 + ? 1 .?????????4分 16 12 ⑵(ⅰ)由⑴, A(?4,0) , F (2,0) ,设 N (8, t ) .
设圆的方程为 x2 + y 2 + dx + ey + f ? 0 ,将点 A, F , N 的坐标代入,得

? d ? 2, ?16 ? 4d + f ? 0, ? 72 ? ? 4 + 2d + f ? 0, 解得 ?e ? ?t ? , ??????????6分 ? t ? ? 2 ?64 + t + 8d + et + f ? 0, ? f ? ?8, ? 72 所以圆的方程为 x 2 + y 2 + 2 x ? (t + ) y ? 8 ? 0 , t 1 72 1 72 即 ( x + 1)2 + [ y ? (t + )]2 ? 9 + (t + )2 , 2 t 4 t 72 2 72 因为 (t + ) ≥ (2 72)2 ,当且仅当 t + ? ?12 2 时,圆的半径最小, t t 故所求圆的方程为 x 2 + y 2 + 2 x ? 12 2 y ? 8 ? 0 .???????????8分 (ⅱ)由对称性不妨设直线 l 的方程为 y ? k ( x + 4)(k ? 0) .
? y ? k ( x + 4), 12 ? 16k 2 24k ? 由 ? x2 y 2 得M( , ) ,???????????9 分 3 + 4k 2 3 + 4k 2 ? 1, ? + ?16 12 ???? ???? ?24 ?24k 32k 2 ?24k 所以 MA ? ( , ), , ) , MB ? ( 2 2 2 3 + 4k 3 + 4 k 2 3 + 4k 3 + 4k ???? ???? MA?MB ?8 ? 24k 65 ?? 所以 cos ?AMB ? ???? ???? ? , 2 2 2 65 MA MB 24 1 + k ? (32k ) + 24
化简,得 16k 4 ? 40k 2 ? 9 ? 0 ,??????????????10分 1 9 1 3 解得 k 2 ? ,或 k 2 ? ,即 k ? ,或 k ? , 4 4 2 2 1 此时总有 yM ? 3 ,所以 △ABM 的面积为 ? 8 ? 3 ? 12 .??????????12 分 2


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