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贵州省遵义市航天高中2015届高三下学期第四次模拟数学(理)试卷


贵州省遵义市航天高中 2015 届高考数学四模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题) 1.已知复数 z 满足 A.i =i(i 为虚数单位) ,则 z 的值为( B.﹣i C .1 ) ) D.﹣1

2.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(

A.

B.

C.

D.

3.设 a,b∈R,则“a≥1 且“b≥1”是“a+b≥2”的( )条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

4.若实数 x,y 满足不等式组

,则 y﹣3x 的最大值为(

)

A.﹣6

B.﹣3

C.﹣2

D.﹣1 )

5. 已知两条不同的直线 m, n, 两个不同的平面 α, β, 在下列条件中可以得出 α⊥β 的是( A.m⊥n,n∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=n,m?α C.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 6.若对于任意实数 x,有 x =a0+a1(x﹣2)+a2(x﹣2) +a3(x﹣2) ,则 a2 的值为( A.3 B.6 C .9 D.12
3 2 3

)

7. 已知 f (x) 是定义在 (﹣∞, +∞) 上的偶函数, 且在 (﹣∞, 0]上是增函数, 设 a=f (log47) , 0.6 b=f(log 3) ,c=f(0.2 )则 a,b,c 的大小关系是( ) A.c<a<b B.b<a<c C.b<c<a D.a<b<c

8.在四边形 ABCD 中, 是( A. ) B.

=

=(1,0) ,

+

=

,则四边形 ABCD 的面积

C.
*

D.

9.已知对于正项数列{an}满足 am+n=am?an(m,n∈N ) ,若 a2=9,则 log3a1+log3a2+…+log3a12=( ) A.40 B.66 C.78 D.156 10.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>) ,|φ|< 的图象向右平移 个单位后,得到的图象解析式为( )的部分图象如图示,则将 y=f(x) )

A.y=sin2x

B.y=cos2x

C.y=sin(2x+

) D.y=sin(2x﹣



11.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C )

的左、 右 2 个分支分别交于点 A、 B. 若△ ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D.

12.定义在(0, 成立,则( A. D. f( f( )

)上的函数 f(x) ,f′(x)是它的导函数,且恒有 f(x)<f′(x)tanx

)> )>f(

f( )



B.f(1)>2f(

)?sin1 C.

f (

) >f (



二、填空题(本大题共 4 小题) 13.若(2m+1) >(m +m﹣1)
2

,则实数 m 的取值范围是__________.

14.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何 3 体的体积是__________cm .

15.若将圆 x +y =π 内的正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为 M,则在圆内随机放一粒 豆子,落入 M 的概率__________. 16. 在△ ABC 中, a, b, c 为∠A, ∠B, ∠C 的对边, 若 cos2B+cosB+cos (A﹣C) =1, b= 2 2 则 a +c 的最小值为__________. ,

2

2

2

三、解答题(本大题共 5 小题) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且满足 a1=2,nan+1=Sn+n(n+1) (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 Tn= ,当 n≥3 时,求证:Tn>Tn+1.

18.某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为 1,2,…,8,其中 ξ≥5 为标 准 A,ξ≥3 为标准 B,产品的等级系数越大表明产品的质量越好,已知某厂执行标准 B 生产 该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准.从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应 的等级系数组成一个样本,数据如下:

ξ

3

4

5

6

7

8

件数 9 6 6 3 3 3 该行业规定产品的等级系数 ξ≥7 的为一等品,等级系数 5≤ξ<7 的为二等品,等级系数 3≤ξ <5 的为三等品. (1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)已知该厂生产一件一等品的利润为 10 元,生产一件二等品或三等品的利润为 2 元. 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,从该厂生产的产品中任取三件,其 总利润记为 Y,求 Y 的平均值. 19.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是半圆 O 上除 A、B 外的一个动点,DC 垂直于半圆 O 所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB= . (1)证明:平面 ADE⊥平面 ACD; (2)当三棱锥 C﹣ADE 体积最大时,求二面角 D﹣AE﹣B 的余弦值.

20.已知 A,B 分别为 x 轴,y 轴上的两个动点,且|AB|=3,动点 P 满足

=

(1)求点 P 的轨迹 E 的方程; (2)已知点 M(1,0) ,直线 y=kx+m(k≠0)与曲线 E 交于点 C、D 两个不同的点,以 MC, MD 为邻边的四边形是菱形,求 k 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=xe +ax ﹣x,a∈R (1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若对 x≥0 时,恒有 f′(x)﹣f(x)≥(4a+1)x 成立,求实数 a 的取值范围.
x 2

四、选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB, 直线 MD 与圆 O 相交于点 M、T(不与 A、B 重合) ,DN 与圆 O 相切于点 N,连接 MC, MB,OT. (Ⅰ)求证:DT?DM=DO?DC; (Ⅱ)若∠DOT=60°,试求∠BMC 的大小.

五选修 4-4:坐标系与参数方程

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ4cos(θ﹣ (1)判断直线与圆的位置关系; (2)若点 P(x,y)在圆 C 上,求

) .

x+y 的取值范围.

六、选修 4-5:不等式选讲 24.设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: (1) (2) ; .

贵州省遵义市航天高中 2015 届高考数学四模试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题) 1.已知复数 z 满足 A.i =i(i 为虚数单位) ,则 z 的值为( B.﹣i C .1 ) D.﹣1

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据复数的四则运算,进行化简即可得到结论. 解答: 解:由 即(1+i)z=i﹣1, =i 得 1+z=i(1﹣z)=i﹣zi,

∴z=



故选:A. 点评:本题主要考查复数的四则运算,比较基础. 2.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

A.

B.

C.

D.

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,当 n=8 时,不满足条件,输出 S 的 值. 解答: 解:S=0,n=2 第 1 次循环: 第 2 次循环: 第 3 次循环: 不成立.

输出 D. 点评:本题主要考察了程序框图和算法,属于基本知识的考查. 3.设 a,b∈R,则“a≥1 且“b≥1”是“a+b≥2”的( A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 )条件.

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:根据不等式的性质可加性得:a+b≥2,反之举例 a=3,b=0,即可判断. 解答: 解:∵设 a,b∈R,则“a≥1 且“b≥1”, ∴根据不等式的性质可加性得:设 a,b∈R,则“a≥1 且“b≥1”,

即 a+b≥2, ∵a+b≥2, ∴有 a+b≥2,但是不满足 a≥1 且“b≥1” ∴根据充分必要条件的定义可判断:设 a,b∈R,则“a≥1 且“b≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条 件. 故选:A 点评:本题考查了不等式的性质,充分必要条件的定义,属于容易题.

4.若实数 x,y 满足不等式组

,则 y﹣3x 的最大值为(

)

A.﹣6

B.﹣3

C.﹣2

D.﹣1

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,设 z=y﹣3x,利用 z 的几何意义,利用数形结合即可 得到结论. 解答: 解:不等式组对应的平面区域如图: 设 z=y﹣3x 得 y=3x+z, 平移直线 y=3x+z,由图象可知当直线 y=3x+z 经过点 B 时,直线 y=3x+z 的截距最大,此时 z 最大, 由 ,解得 ,

即 B(2,5) , 此时 zmax=5﹣3×2=﹣1, 故选:D

点评:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法,利用 z 的几何意义是解决本题的关键.

5. 已知两条不同的直线 m, n, 两个不同的平面 α, β, 在下列条件中可以得出 α⊥β 的是( A.m⊥n,n∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=n,m?α C.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β

)

考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:根据面面垂直的判定定理解答. 解答: 解:对于选项 A,平面 α,β 可能平行或者相交但是不一定垂直;故 A 错误; 对于 B,m⊥n,α∩β=n,m?α 由此无法得到 m⊥β,因此 α,β 不一定垂直;故 B 错误; 对于 C,由 m∥n,n⊥β,可得 m⊥β,又 m?α,所以 α⊥β;故 C 正确; 对于 D,由 m∥n,m⊥α 得到 n⊥α,又 n⊥β,所以 α∥β,得不到 α⊥β;故 D 错误; 故选 C. 点评:本题考查了面面垂直的判定,可以首先得到线面垂直,然后利用面面垂直的判定定理 判断. 6.若对于任意实数 x,有 x =a0+a1(x﹣2)+a2(x﹣2) +a3(x﹣2) ,则 a2 的值为( A.3 B.6 C .9 D.12
3 2 3

)

考点:二项式定理的应用. 分析:由等式右边可以看出是按照 x﹣2 的升幂排列,故可将 x 写为 2+x﹣2,利用二项式定 理的通项公式可求出 a2 的值. 3 3 2 解答: 解:x =(2+x﹣2) ,故 a2=C3 2=6 故选 B 点评:本题考查二项式定理及通项公式的运用,观察等式右侧的特点,将 x =(2+x﹣2) 是解题的关键.
3 3

7. 已知 f (x) 是定义在 (﹣∞, +∞) 上的偶函数, 且在 (﹣∞, 0]上是增函数, 设 a=f (log47) , 0.6 b=f(log 3) ,c=f(0.2 )则 a,b,c 的大小关系是( ) A.c<a<b B.b<a<c C.b<c<a D.a<b<c

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用对数和指数幂的运算性质,结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键. 解答: 解:∵f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数, ∴b=f(log 3)=f(﹣log23)=f(log23) ,
1.6

∵log23=log49>log47>1,0<0.2 <1, 1.6 ∴0.2 <log47<log49, ∵在(﹣∞,0]上是增函数, ∴在[0,+∞)上为减函数, 1.6 则 f(0.2 )>f(log47)>f(log49) , 即 b<a<c,

故选:B 点评: 本题主要考查函数值的大小比较, 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系以及对数的 运算性质是解决本题的关键.

8.在四边形 ABCD 中, 是( A. ) B.

=

=(1,0) ,

+

=

,则四边形 ABCD 的面积

C.

D.

考点:向量加减混合运算及其几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析:根据题意,先判断四边形 ABCD 是平行四边形,再判断平行四边形 ABCD 是菱形, 求出它的面积即可. 解答: 解:在四边形 ABCD 中, 又∵ + = , = =(1,0) ,∴四边形 ABCD 是平行四边形;

∴平行四边形 ABCD 的角平分线 BD 平分∠ABC,四边形 ABCD 是菱形,其边长为 1,对 角线 BD 等于 1,

∴cos∠ABC=cos120°=﹣ ,如图所示; ∴sin∠ABC= SABCD=2× | , |?| |?sin∠ABC=2× ×1×1× = .

故选:A. 点评:本题考查了平面向量的应用问题,解题时应先判断四边形的形状,是基础题. 9.已知对于正项数列{an}满足 am+n=am?an(m,n∈N ) ,若 a2=9,则 log3a1+log3a2+…+log3a12=( ) A.40 B.66 C.78 D.156 考点:等比数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. * 分析:利用正项数列{an}满足 am+n=am?an(m,n∈N ) ,a2=9,确定数列{an}是以 3 为首项, 3 为公比的等比数列,求出通项,然后利用对数的运算性质,即可得出结论. * 解答: 解:∵正项数列{an}满足 am+n=am?an(m,n∈N ) ,a2=9, ∴a1=3,
*

∴a1+n=a1?an=3an, ∴数列{an}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, n ∴an=3 , ∴log3a1+log3a2+…+log3a12=log3a1a2?…?a12= =78.

故选:C. 点评:本题考查等比数列的通项公式,涉及对数的运算性质,属基础题.

10.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>) ,|φ|< 的图象向右平移 个单位后,得到的图象解析式为(

)的部分图象如图示,则将 y=f(x) )

A.y=sin2x

B.y=cos2x

C.y=sin(2x+

) D.y=sin(2x﹣



考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:计算题. 分析:通过函数的图象求出 A,求出函数的周期,利用周期公式求出 ω,函数过( 结合 φ 的范围,求出 φ,推出函数的解析式,通过函数图象的平移推出结果. 解答: 解:由图象知 A=1, T= 由 sin(2× ?φ= ?f(x)=sin(2x+ 则图象向右平移 ) , 个单位后得到的图象解析式为 y=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x﹣ ) , +φ)=1,|φ|< 得 ﹣ +φ= = ,T=π?ω=2, ) ,

故选 D. 点评:本题考查学生的视图能力,函数的解析式的求法,图象的变换,考查计算能力.

11.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C )

的左、 右 2 个分支分别交于点 A、 B. 若△ ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为(

A.4

B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF2|﹣|BF1|=2a,利用等边三角形的定 义可得:|AB|=|AF2|=|BF2|, : = ﹣ .在△ AF1F2 中使用余弦定理可得 ,再利用离心率的计算公

式即可得出. 解答: 解:∵△ABF2 为等边三角形,∴|AB|=|AF2|=|BF2|, 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴|BF1|=2a. 又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴|BF2|=4a. ∴|AF2|=4a,|AF1|=6a. 在△ AF1F2 中,由余弦定理可得: , ∴ ,化为 c =7a ,
2 2



=





=



故选 B. 点评:熟练掌握双曲线的定义、余弦定理、离心率的计算公式是解题的关键.

12.定义在(0, 成立,则( A. D. f( f( )

)上的函数 f(x) ,f′(x)是它的导函数,且恒有 f(x)<f′(x)tanx

)> )>f(

f( )



B.f(1)>2f(

)?sin1 C.

f (

) >f (



考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析:把给出的等式变形得到 f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0,由此联想构造辅助函数 g(x) = ,由其导函数的符号得到其在(0, )上为增函数,对选项一一加以判断,即可

得到答案. 解答: 解:因为 x∈(0, ) ,所以 sinx>0,cosx>0.

由 f(x)<f′(x)tanx,得 f(x)cosx<f′(x)sinx. 即 f′(x)sinx﹣f(x)cosx>0. 令 g(x)= ,x∈(0, ) ,则 g′(x)= >0.

所以函数 g(x)=

在 x∈(0,

)上为增函数,

对于 A,由于 g(

)<g(

) ,即

,化简即可判断 A 错;

对于 B,由于 g(1)>g(

) ,即

,化简即可判断 B 正确;

对于 C,由于 g(

)<g(

) ,即

,化简即可判断 C 错误;

对于 D,由于 g(

)<g(

) ,即



,所以







f(

)<f(

) .故 D 错误.

故选 B. 点评:本题考查了导数的运算法则,考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性,考查 了函数构造法,属中档题型. 二、填空题(本大题共 4 小题) 13.若(2m+1) >(m +m﹣1)
2

,则实数 m 的取值范围是[

,2) .

考点:有理数指数幂的化简求值. 专题:不等式的解法及应用.

分析:由(2m+1) m 的取值范围.

>(m +m﹣1)

2

,可得: (2m+1)>(m +m﹣1)>0,解得实数

2

解答: 解:∵(2m+1) ∴(2m+1)
2

>(m +m﹣1) ,

2



>(m +m﹣1)
2

∴(2m+1)>(m +m﹣1)>0, 解得:m∈[ 故答案为:[ ,2 ) , ,2)

点评:本题考查的知识点是有理数指数幂的化简求值,根式不等式的解法,难度中档. 14.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何 体的体积是 cm .
3

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:由三视图知几何体是一个三棱锥,三棱锥的底面是一个底边是 2,高是 2 的三角形, 做出面积是 ,三棱锥的高是 2,根据三棱锥的体积公式得到结果.

解答: 解:由三视图知几何体是一个三棱锥, 三棱锥的底面是一个底边是 2,高是 2 的三角形, 面积是 =2

三棱锥的高是 2, ∴三棱锥的体积是 故答案为: 点评: 本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度, 本题解题的关键是要 求体积需要求出几何体的底面面积和高.本题是一个基础题. =

15.若将圆 x +y =π 内的正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为 M,则在圆内随机放一粒 豆子,落入 M 的概率 .

2

2

2

考点:定积分在求面积中的应用;正弦函数的图象. 专题:计算题;概率与统计. 分析: 先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积, 再利用积分知识可得正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成的区域记为 M 的面积,代入几何概率的计算公式可求. 3 解答: 解:构成试验的全部区域为圆内的区域,面积为 π ,正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围成 的区域记为 M, 根据图形的对称性得:面积为 S=2∫0 sinxdx=﹣2cosx|0 =4, 由几何概率的计算公式可得,随机往圆 O 内投一个点 A,则点 A 落在区域 M 内的概率 P= , .
π π

故答案为:

点评:本题主要考查了利用积分求解曲面的面积,几何概率的计算公式的运用,要求熟练掌 握函数的积分公式和几何概型的概率公式. 16. 在△ ABC 中, a, b, c 为∠A, ∠B, ∠C 的对边, 若 cos2B+cosB+cos (A﹣C) =1, b= 2 2 则 a +c 的最小值为 14. 考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析:根据正弦定理,结合等差数列和等比数列的定义即可得到结论. 解答: 解:∵cos2B+cosB+cos(A﹣C)=1, ∴cos2B﹣cos(A+C)+cos(A﹣C)=1, 即 1﹣2sin B﹣cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC=1, 2 即 sinAsinC=sin B, 2 由正弦定理得 ac=b , (a,b,c>0) , 2 2 2 ∴a +c ≥2ac=2b =14. 故答案为:14. 点评:本题主要考查等差数列的判断以及正弦定理的应用,要求熟练掌握相应的公式,属于 基本知识的考查. 三、解答题(本大题共 5 小题)
2



17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且满足 a1=2,nan+1=Sn+n(n+1) (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 Tn= ,当 n≥3 时,求证:Tn>Tn+1.

考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件推导出 nSn+1﹣(n+1)Sn=n(n+1) ,两边同时除以 n(n+1) ,得: ,从而得到 Sn=n(n+1) ,由此能求出 an=2n.

(2)由 Tn=

=

,得到 Tn﹣Tn+1=



=



由此能证明当 n≥3 时,Tn>Tn+1. 解答: (1)解:∵nan+1=Sn+n(n+1) ,an+1=Sn+1﹣Sn, ∴nSn+1﹣(n+1)Sn=n(n+1) , 两边同时除以 n(n+1) ,得: ∵ ∴{ ∴ , }为等差数列,公差 d=1,首项 2, =2+n﹣1=n+1,∴Sn=n(n+1) ,

∴an=Sn﹣Sn﹣1=[n(n+1)]﹣( (n﹣1)n]=2n, 把 n=1 代入验证,满足,∴an=2n. (2)证明:∵Tn= = ,

∴Tn﹣Tn+1=



=



=

=
2



由(n﹣ ) ﹣ ≥0,得 n≥2.

∴当 n≥2 时,Tn>Tn+1. 点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意作差 法比较大小的合理运用. 18.某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为 1,2,…,8,其中 ξ≥5 为标 准 A,ξ≥3 为标准 B,产品的等级系数越大表明产品的质量越好,已知某厂执行标准 B 生产 该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准.从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应 的等级系数组成一个样本,数据如下: ξ 3 4 5 6 7 8 件数 9 6 6 3 3 3 该行业规定产品的等级系数 ξ≥7 的为一等品,等级系数 5≤ξ<7 的为二等品,等级系数 3≤ξ <5 的为三等品. (1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)已知该厂生产一件一等品的利润为 10 元,生产一件二等品或三等品的利润为 2 元. 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,从该厂生产的产品中任取三件,其 总利润记为 Y,求 Y 的平均值. 考点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题:概率与统计. 分析: (1)由样本数据知,30 件产品中一等品有 6 件,二等品有 9 件,三等品有 15 件,由 此能分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率. (2)设取得一等品件数为 X,则有 Y=10x+2(3﹣x)=8X+6,由 X~B(3,0.2) ,能求出 E(x)=0.6,从而求出 E(Y)=8E(x)+6=10.8 元. 解答: 解: (1)由样本数据知,30 件产品中等级系数 ξ≥7,有 6 件, 即一等品有 6 件,二等品有 9 件,三等品有 15 件 ∴一等品的频率为 二等品的频率为 三等品的频率为 ,故估计该厂生产的产品的一等品率为 0.2. ,故估计该厂生产的产品的二等品率为 0.3; =0.5,故估计该厂生产的产品的三等品的频率为 0.5.

(2)设取得一等品件数为 X,则有 Y=10x+2(3﹣x)=8X+6. X~B(3,0.2) ∴X 的分布列为 x 0 1 2 3 P(x) 0.512 0.384 0.096 0.008 ∵X~B(3,0.2)∴E(x)=0.6. E(Y)=8E(x)+6=10.8 元. 点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用,是中 档题,在历年 2015 届高考中都是必考题型. 19.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是半圆 O 上除 A、B 外的一个动点,DC 垂直于半圆 O 所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB= .

(1)证明:平面 ADE⊥平面 ACD; (2)当三棱锥 C﹣ADE 体积最大时,求二面角 D﹣AE﹣B 的余弦值.

考点:与二面角有关的立体几何综合题;平面与平面垂直的判定. 专题:空间角. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 BC⊥平面 ACD,BC∥DE,由此证明 DE⊥平面 ACD,从 而得到平面 ADE⊥平面 ACD. (Ⅱ)依题意推导出当且仅当 时三棱锥 C﹣ADE 体积最大,建立空间直角坐标 系,利用向量法能求出二面角 D﹣AE﹣B 的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:∵AB 是直径,∴BC⊥AC…, ∵CD⊥平面 ABC,∴CD⊥BC…, ∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面 ACD… ∵CD∥BE,CD=BE,∴BCDE 是平行四边形,BC∥DE, ∴DE⊥平面 ACD…, ∵DE?平面 ADE,∴平面 ADE⊥平面 ACD… (Ⅱ)依题意, 由(Ⅰ)知 = = , 当且仅当 时等号成立 如图所示,建立空间直角坐标系, 则 D(0,0,1) , ∴ , 设面 DAE 的法向量为 , , , , … … , …,

,即 设面 ABE 的法向量为

,∴ ,

,…

,即

,∴





… 与二面角 D﹣AE﹣B 的平面角互补, . …



∴二面角 D﹣AE﹣B 的余弦值为

点评:本题考查平面与平面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题, 注意向量法的合理运用.

20.已知 A,B 分别为 x 轴,y 轴上的两个动点,且|AB|=3,动点 P 满足

=

(1)求点 P 的轨迹 E 的方程; (2)已知点 M(1,0) ,直线 y=kx+m(k≠0)与曲线 E 交于点 C、D 两个不同的点,以 MC, MD 为邻边的四边形是菱形,求 k 的取值范围. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设 A(x0,0) ,B(0,y0) ,P(x,y)由|AB|=3 利用两点之间的距离公式可得 得 ,由 ,解得 ,再利用“代点法”即可得出;

(2)设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,把直线的方程与椭圆的方程联立可得△ >0 及根与系数 的关系,再利用菱形的性质和中点坐标公式即可得出. 解答: 解: (1)设 A(x0,0) ,B(0,y0) ,P(x,y) 由|AB|=3 得 ,



,解得

,代入上述方程可得



(2)设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) 由
2 2



由△ >0 解得 m <4k +1. ∴ .

设线段 CD 中点为



∵四边形是菱形,∴



代入化简得 解得 ∴k 的取值范围是

,代入 m <4k +1 . ∪ .

2

2

点评: 本题考查了椭圆的标准方程与性质、 直线与椭圆相交问题转化方程联立可得根与系数 的关系、 菱形的性质、 中点坐标公式等基础知识基本技能方法, 考查了推理能力和计算能力, 属于难题. 21.已知函数 f(x)=xe +ax ﹣x,a∈R (1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若对 x≥0 时,恒有 f′(x)﹣f(x)≥(4a+1)x 成立,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)当 a=﹣ 时,由 f′(x)=(x+1) (e ﹣1)>0 可求得函数 f(x)的单调递增区 间,由 f′(x)<0 可求得 f(x)的单调递减区间; x (2)设 g(x)=f′(x)﹣f(x)﹣(4a+1)x,利用导数可求得 g′(x)=e ﹣2ax﹣2a,构造 函数 u(x)=g′(x) ,分 2a≤1 与 2a>1 两种情况讨论,即可求得实数 a 的取值范围. x 解答: 解: (1)f′(x)=(x+1)e +2ax﹣1, 当 a=﹣ 时,f′(x)=(x+1)e ﹣(x+1)=(x+1) (e ﹣1) , 当 x>0 或 x<﹣1 时,f′(x)>0; 当﹣1<x<0 时,f′(x)<0; 函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1) , (0,+∞) ,单调递减区间为(﹣1,0) .
x x x x 2

(2)设 g(x)=f′(x)﹣f(x)﹣(4a+1)x=e ﹣ax ﹣2ax﹣1, x g′(x)=e ﹣2ax﹣2a=u(x) , x u′(x)=e ﹣2a, x x≥0 时,e ≥1. ①当 2a≤1,即 a
x

x

2

时,令 u′(x)≥0,

g′(x)=e ﹣2ax﹣2a 在[0,+∞)上是单调递增的,g′(x)≥1﹣2a≥0,g(x)在[0,+∞)上 单调递增,所以 g(x)≥g(0)=0 恒成立; ②当 2a>1 即 a 时,令 u′(x)=0,则 x=ln2a;
x

当 x∈[0,ln2a]时,u′(x)<0,g′(x)=e ﹣2ax﹣2a 在[0,ln2a)上是单调递减, 所以 g′(x)≤g′(0)=1﹣2a<0, 所以 g(x)在[0,ln2a]上单调递减, 所以 g(x)≤g(0)=0 这与 g(x)≥0 恒成立矛盾. 综上,a 的取值范围是(﹣∞, ]. 点评:本题考查导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上的最值,考查分类讨论思想与 等价转化思想,考查综合运算、求解能力,是难题. 四、选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点,D 是 OB 延长线上一点,且 BD=OB, 直线 MD 与圆 O 相交于点 M、T(不与 A、B 重合) ,DN 与圆 O 相切于点 N,连接 MC, MB,OT. (Ⅰ)求证:DT?DM=DO?DC; (Ⅱ)若∠DOT=60°,试求∠BMC 的大小.

考点:与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定. 专题:计算题;证明题. 分析: (1)由切割线定理可得 DT?DM=DB?DA,结合题中中点条件利用半径作为中间量进 行代换,即可得证; (2)结合(1)的结论证得△ DTO∽△DCM,得到两个角∠DOT、∠DMC 相等,结合圆周 角定理即可求得∠BMC. 解答: 证明: (1)因 MD 与圆 O 相交于点 T, 2 2 由切割线定理 DN =DT?DM,DN =DB?DA, 得 DT?DM=DB?DA,设半径 OB=r(r>0) , 因 BD=OB,且 BC=OC= ,

则 DB?DA=r?3r=3r ,

2



所以 DT?DM=DO?DC. (2)由(1)可知,DT?DM=DO?DC, 且∠TDO=∠CDM, 故△ DTO∽△DCM,所以∠DOT=∠DMC; 根据圆周角定理得,∠DOT=2∠DMB,则∠BMC=30°. 点评: 本题主要考查与圆有关的比例线段、 圆中的切割线定理以及相似三角形, 属于基础题. 五选修 4-4:坐标系与参数方程

23.已知直线 l 的参数方程为

(t 参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ4cos(θ﹣ (1)判断直线与圆的位置关系; (2)若点 P(x,y)在圆 C 上,求

) .

x+y 的取值范围.

考点:参数方程化成普通方程. 专题:三角函数的图像与性质;坐标系和参数方程. 分析: (1)将直线 l 的参数方程、圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将圆的方程化为标 准方程,再由点到直线的距离公式,求出圆心到直线 l 的距离 d,再比较 d 与 r 的大小关系 判断出直线与圆的位置关系; (2)根据圆 C 的参数方程设出点 P 的坐标,代入 x+y 利用两角和的正弦公式化简,根据 正弦函数的性质求 x+y 的范围.

解答: 解: (1)因为直线 l 的参数方程为

(t 参数) ,

所以直线直角坐标方程为:x+ 由 ρ=4cos(θ﹣ 所以 则圆心到直线的距离 d= (2)令 )得,

y﹣2=0, ,即 , ,

,则圆 C 的方程是: =1<2=r,所以直线与圆相交; (θ 为参数) , +2sinθ

所以 x+y= (1+2cosθ)+ =2(sinθ+ cosθ)+2 =4sin(θ+ )+2 ,

因为﹣1≤sin(θ+

)≤1,所以

≤sin(θ+

)+2





所以 x+y 的取值范围是[ , ]. 点评:本题考查极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程,两角和的正弦公式,正弦函数的 性质,及几何法判断出直线与圆的位置关系,属于中档题. 六、选修 4-5:不等式选讲 24.设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: (1) (2) ; .

考点:不等式的证明. 专题:证明题;不等式的解法及应用. 分析: (1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,a +c ≥2ac,a+b+c=1 即可证得 ab+bc+ac≤ ; (2)由 +b≥2a, +c≥2b,
2 2 2 2 2 2 2 2

+a≥2c,a+b+c=1 即可证得结论.
2 2 2 2

解答: 证明: (1)∵a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,a +c ≥2ac, 2 2 2 ∴a +b +c ≥ab+bc+ac,① 又 a+b+c=1, ∴(a+b+c) =a +b +c +2ab+2bc+2ac=1,② 由①②得:3(ab+bc+ac)≤1, ∴ab+bc+ac≤ ; (2)∵a,b,c 均为正数, ∴ ∴ ∴ ∴ +b≥2a, + + + + + + +c≥2b, +a≥2c,
2 2 2 2

+a+b+c≥2(a+b+c) , ≥a+b+c,a+b+c=1, ≥1.

点评: 本题考查不等式的证明, 着重考查综合法与基本不等式的应用, 考查推理证明的能力, 属于中档题.


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