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【全程复习方略】2014版高考数学 6.6直接证明与间接证明课时提升作业 理 北师大版


【全程复习方略】2014 版高考数学 6.6 直接证明与间接证明课时提升作业 理 北师大版
一、选择题 1.在证明命题“对于任意角θ ,cos θ -sin θ =cos2θ ”的过程:“cos θ -sin θ =(cos θ +sin θ )·(cos θ -sin θ )=cos θ -sin θ =cos2θ ”中应用了 ( (A)分析法 (B)综合法 (C)分

析法和综合法综合使用 (D)间接证法 2.要证明 a +b -1-a b ≤0,只要证明 ( (A)2ab-1-a b ≤0 (C) -1-a b ≤0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2

)

) ≤0
2

(B)a +b -12

2

2

(D)(a -1)(b -1)≥0 )

3.(2013·西安模拟)若 a,b∈R,ab>0,则下列不等式中恒成立的是 ( (A)a +b >2ab (C) + >
2 2

(B)a+b≥2 (D) + ≥2

4.(2013·宿州模拟)用反证法证明命题“a,b∈N,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 5 整除”, 则假设的内容是 ( (A)a,b 都能被 5 整除 (B)a,b 都不能被 5 整除 (C)a 不能被 5 整除 (D)a,b 有一个不能被 5 整除 5.(2013· 洛阳模拟)在不等边三角形 ABC 中,a 为最大边,要想得到 A 为钝角的结论,三边 a,b,c 应满足的条 件是 ( (A)a <b +c (C)a >b +c
2 2 2 2 2

)

) (B)a =b +c
2 2 2 2 2

2

(D)a ≤b +c

2

-1-

6.(2013·郑州模拟)若|loga |=loga ,|logba|=-logba,则 a,b 满足的条件是 ( ) (B)0<a<1,b>1 (D)0<a<1,0<b<1

(A)a>1,b>1 (C)a>1,0<b<1

7.(2013·杭州模拟) 已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数 ,数列{an}是等差数列,a3>0,则 f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( ) (A)恒为正数 (B)恒为负数 (C)恒为 0 (D)可正可负 8.已知 a,b,c 都是负数,则三数 a+ ,b+ ,c+ (A)都不大于-2 (C)至少有一个不大于-2 二、填空题 9.如果 a +b >a +b ,则 a, b 应满足的条件是 . ( )

(B)都不小于-2 (D)至少有一 个不小于-2

10.(2013· 九江模拟)完成反证法证题的全过程. 已知:a1,a2,?,a7 是 1,2,?,7 的一个排列. 求证:乘积 P=(a1-1)(a2-2)?(a7-7)为偶数. 证明:假设 P 为奇数,则 得出矛盾,所以 P 为偶数. 11.已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N+(m,n∈N+),且对任意的 m,n∈N+都有: (1)f(m,n+1)=f(m,n)+2. (2)f(m+1,1)=2f(m,1). 给出以下三个结论:①f(1,5)=9;②f(5,1)=16; ③f(5,6)=26.其中正确结论的序号有 三、解答题 12.(2013·安庆模拟)若 x,y 都是实数,且 x+y>2.求证: <2 与 <2 中至少有一个成立. . 均为奇数,因为奇数个奇数之和为奇数,故有奇数= = =0,

13.(2 012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. (1)sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°.
-22 2

(2)sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°. (3)sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°. (4)sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°. (5)sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. ①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数. ②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 14.(1)求证:当 a>1 时,不等式 a +
3 2 2 2 2 2 2

2

2

1 2 1 >a + 2 成立. a3 a

(2)要使上述不等式成立,能否将条件“a>1”适当放宽?若能,请放宽条件,并简述理由;若不能,也请 说明理由. (3)请你根据(1)(2)的结果,写出一个更为一般的结论,且予以证明. 答案解析 1.【解析】选 B.从已知条件出发,推出要证的结论,满足综合法. 2.【解析】选 D.a +b -1-a b ≤0 ?(a -1)(b -1)≥0. 3.【解析】选 D.A 中 a +b ≥2ab,B,C 中,若 a<0,b<0 时不成立. 4.【解析】选 B.该命题意思是说“a,b 有能被 5 整除的”,所以反设应是“a,b 都不能被 5 整除”. 5.【解析】选 C.当 A 为钝角时,cosA<0, 因此 <0,于是 a >b +c .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6.【思路点拨】先利用|m|=m,则 m≥0,|m|=-m,则 m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可 求出 a 和 b 的范围. 【解析】选 B.∵|loga |=loga , ∴loga ≥0=loga1,根据对数函数的单调性可知 0<a<1. ∵|logba|=-logba, ∴logba≤0=logb1,但 b≠1,所以根据对数函数的单调性可知 b>1. 7.【思路点拨】利用奇函数的性质 f(0)=0 以及等差数列的性质 a1+a5=2a3,关键判断 f(a1)+f(a5)>0. 【解析】选 A.由于 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数,且 a3>0,所以 f(a3)>f(0)=0. 而 a1+a5=2a3,所以 a1+a5>0,则 a1>-a5, 于是 f(a1)>f(-a5),即 f(a1)>-f(a5),
-3-

因此 f(a1)+f(a5)>0, 所以有 f(a1)+f(a3)+f(a5)>0. 8.【解析】选 C.假设三个数都大于-2, 即 a+ >-2,b+ >-2,c+ >-2,则得到 (a+ )+(b+ )+(c+ )>-6. 而 a,b,c 都 是负数, 所以(a+ )+(b+ )+(c+ ) =(a+ )+(b+ )+(c+ ) ≤-2 2 =-6, 这与(a+ )+(b+ )+(c+ )>-6 矛盾 ,因此三个数中至少有一个不大于-2. 【变式备选】设实数 a,b,c 满足 a+b+c=1,则实数 a,b,c 中至少有一个不小于 【解析】假设 a,b,c 都小于 ,即 a< ,b< ,c< , 则 a+b+c<1,这与 a+b+c=1 矛盾,因此实数 a,b,c 中至少有一个不小于 . 答案: 9.【解析】a ?( )(
2

-2

-

.

+b +

>a

+b

)>0?a≥0,b≥0,且 a≠b.

答案:a≥0,b≥0 且 a≠b 10.【解析】第一个空应填:a1-1,a2-2,?,a7-7. 第二个空应填:(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7). 第三个空应填:(a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7). 答案:a1-1,a2-2,?,a7-7 (a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) 11.【解析】 在(1)式中令 m=1 可得 f(1,n+1)=f(1,n)+2,
-4-

(a1+a2+?+a7)-(1+2+?+7)

则 f(1,5)=f(1,4)+2=?=9; 在(2)式中,由 f(m+1,1)=2f(m,1)得, f(5,1)=2f(4,1)=?=16f(1,1)=16, 从而 f(5,6)=f(5,1)+10=26,故①②③均正确. 答案:①②③ 12.【证明】假设 则 ≥2 且 ≥2, <2 与 < 2 均不成立,

∴1+x≥2y 且 1+y≥2x, ∴2+x+y≥2x+2y, ∴x+y≤2,与已知 x+y>2 矛盾, ∴ <2 与 <2 中至少有一个成立.
2 2

13.【解析】①选择(2)式计算如下 sin 15°+cos 15°sin 15°cos 15°=1- sin 30°= . ②三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α )= . 证明如下:sin α +cos (30°-α )-sinα cos(30°-α ) =sin α +(cos 30°cosα +sin30°sinα ) -sinα (cos30°cosα +sin30°sinα ) =sin α + cos α + sinα cosα + sin α sinα cosα - sin α = sin α + cos α = . 14. 【解析】(1)a +
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1 5 5 -a - 2 = 3 (a-1)(a -1),因为 a>1,所以 3 (a-1)(a -1)>0,故原不等式成立. 3 a a a a
5

(2)能将条件“a>1”适当放宽.理由如下:由于 a-1 与 a -1 对于任意的 a>0 且 a≠1 都保持同号,所以上 述不等式对任何 a>0 且 a≠1 都成立,故条件可以放宽为 a>0 且 a≠1. (3)根据(1)(2)的证明,可推知: 若 a>0 且 a≠1,m>n>0, 则有 a +
m

1 n 1 >a + n . am a
-5-

证 明如下:

a -a + =

m

n

1 1 n m-n 1 m-n - n =a (a -1)- m (a -1) m a a a

1 m-n m+n (a -1)(a -1), m a
m-n m+n

若 a>1,则由 m>n>0 得 a -1>0,a -1>0,知不等式成立; m-n m+n 若 0<a<1,则由 m>n>0 得 a -1<0,a -1<0,知不等式成立.

-6-


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