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2.3.2离散型随机变量的方差上课


高二数学 选修2-3

2.3.2离散型随机变 量的方差(一)



一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望

x2 x1 X · · · xi · · · xn p1 p2 · · · pi · · · pn P EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ? ? xi pi ? ?

? xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平

2、数学期望的性质

E (aX ? b) ? aEX ? b


3、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0

P

p

1- p



EX ? p

4、如果随机变量X服从二项分布,即
X~ B(n,p),则

EX ? np
nM EX ? N

5、如果随机变量X服从超几何分布,
即X~ H(n,M,N)则


超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其

中恰有X件次品数,则事件{X=k}发生的概率为

C ? C C ? C P P((X X? ?k k)) ? ? n n C CN N
kk M M

n ? kk n ? N M N? ? M

,, k k? ? 0,1, 0,1,2, 2,? ?,,m m
**

其中 其中m m? ?min{ min{M M,,n n}, },且 且n n? ?N N,,M M? ?N N,,n n,,M M,,N N? ?N N
称分布列为 超几何分布 X P 0 1
0 n?0 1 n ?1 CM CN C C ?M M N ?M n n CN CN

… m n?m CM C N ? M … n
CN

m

记为:x ~ H(n,M,N), 则称随机变量 X 服从超几何分布. 尚

二、探究引入
要从两名同学中挑选出一名,代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录,第一名同学击中目标靶的环数 X 1 的分布列为

X1

P
X2

5 0.03
5 0.01

6 7 0.09 0.20
6 0.05 7 0.20

8 0.31

9 0.27

10 0.10
9 0.33

第二名同学击中目标靶的环数

X 2的分布列为
8 0.41

P

请问应该派哪名同学参赛?

EX1 ? 8 , EX 2 ? 8

发现两个均值相等

因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.


三、新课分析
(一)、随机变量的方差 1、定性分析 除平均中靶环数以外,还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗? (1)分别画出 X 1 , X 2 的分布列图.

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

P

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

P

O 5 6 7 8 9 10 X 1 O 5 6 7 8 9 X2 (2)比较两个分布列图形,哪一名同学的成绩更稳定?
尚 第二名同学的成绩更稳定 .

2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性? (1)样本的稳定性是用哪个量刻画的? 方差 (2)能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢? (3)随机变量 X 的方差



离散型随机变量取值的方差 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X P
则称
n

x1

p1

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · · xn · · · pn

DX ? ( x1 ? EX )2 p1 ? ? ? ( xi ? EX )2 pi ? ? ? ( xn ? EX )2 pn

? ? ( xi ? EX )2 pi 为随机变量X的方差。

称 ?X ?

i ?1

DX 为随机变量X的标准差。

它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离 尚 于均值的平均程度越小,即越集中于均值。

3、对方差的几点说明
(1)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值;方差或标 准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.

(2)随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?
随机变量的方差是常数,而样本的方差是随着样本的不同 而变化的,因此样本的方差是随机变量.

对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来 越接近总体方差,因此常用样本方差来估计总体方差.



四、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

求DX和σX。 解: EX ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2

DX ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? ( 2 ? 2) ? 0.4
2 2 2

? ( 3 ? 2) ? 0.2 ? (4 ? 2) ? 0.1 ? 1.2
2 2

?X ? DX ? 1.2 ? 1.095


2、若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为 常数,求EX和DX。

解: 离散型随机变量X的分布列为:
X P c 1

EX=c×1=c DX=(c-c)2×1=0



五、方差的应用
例1:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数 X1, X2分布列如下: X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解:EX1 ? 9, EX 2 ? 9

DX 1 ? 0.4, DX 2 ? 0.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中 平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多 数得分在9环,而乙得分比较分散,近似平均分布在8 -10环。 尚

X1 P

8 0.2

9 0.6

10 0.2

X2 P

8 0.4

9 0.2

10 0.4

EX1 ? 9, EX 2 ? 9

DX 1 ? 0.4, DX 2 ? 0.8

问题1:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 问题2:如果其他对手的射击成绩都在8环左右, 应派哪一名选手参赛? 问题3:如果其他对手的射击成绩都在9环左右, 应派哪一名选手参赛?


例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能 获得如下信息:
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1

1800 2200 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?


解:EX1 ? 1400, EX 2 ? 1400

DX1 ? 40000, DX 2 ? 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下, 如果认为自己能力很强,应选择工资方差大 的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 就应选择工资方差小的单位,即甲单位。



相关练习:

1 1、已知? ? 3? ? ,且D? ? 13, 则D? ? 117 8

2、已知X~B( n, p ),EX ? 8, DX ? 1.6, 则n ?10 , p ?0.8
3、有一批数量很大的商品,其中次品占 1%,现从中任意地连续取出200件商品, 设其次品数为X,求EX和DX。 2,1.98


4.(07全国)某商场经销某商品,根据以往资料统 计,顾客采用的分起付款期数 ? 的分布列为:

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200 元,分2期或3期付款,其利润为250元,分4期或5 期付款,其利润为300元, ? 表示经销一件该商品的 利润。

(1)求事件A:”购买该商品的3位顾客中,至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A);
(2)求 ? 的分布列及期望E ? 。


5.根据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被盗的 概率为0.01,保险公司开办一年期万元以上家庭财 产保险,参加者需交保险费100元,若在一年以内, 万元以上财产被盗,保险公司赔偿a元(a>100), 问a如何确定,可使保险公司期望获利?



六、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式

D(aX ? b) ? a 2 DX
若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B( n, p),则DX ? np(1 ? p)

若X~H(n,M,N)

nM ( N ? M )( N ? n) 则D(X)= 2 N ( N ? 1) 尚

课后练习:
1、若保险公司的赔偿金为a(a>1000)元,为使保险 公司收益的期望值不低于a的百分之七,则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元?

?
P

1000 0.97

1000-a 0.03

E ? = 1000-0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。


2、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射 击,他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击 次数的期望。(保留三个有效数字)

?
p

1 0.7
E? =1.43

2

3

4

5 0.34

0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7



3.计算随机抛掷一枚质地均匀的骰子, 求向上一面的点数的均值、方差和标准差.

解:抛掷散子所得点数X 的分布列为 X
.

1
1 6
;

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

P

1 1 1 1 2 2 2 DX ? (1 ? 3.5) ? ? (2 ? 3.5) ? ? (3 ? 3.5) ? ? (4 ? 3.5) ? 6 6 6 6 1 1 ? (5 ? 3.5) 2 ? ? (6 ? 3.5) 2 ? ? 2.92 6 6
2

从而 EX ? 1? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 4 ? 1 ? 5 ? 1 ? 6 ? 1 ? 3.5 6 6 6 6 6 6

? X ? DX ? 1.71




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