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3.4.1 基本不等式的证明(1)


问题情境
把一个物体放在天平的一个盘子上,在天平的另一盘子 上放法码,称得物体的质量为a,如果天平制造得不精确, 即天平的两臂长略有不同,那么a并非物体的实际质量。有 人用下列办法得出的数据是否是物体的实际质量呢?

他的方法是:把物体交换到另一个盘子上再称一次得 b,求 a,b的平均数。

a?b ? 2

ab

高中数学 必修5

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标 是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看 上去象一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图案中 找出一些相等关系或不等关系吗?

1. 重要不等式 :一般地,对于任意实数a , b ,我们 有 a 2 ? b 2 ? 2ab,当且仅当 a ? b 时,等号成立.

a?b ? ab , 2. 基本不等式:对任意正数 a , b,有 2 当且仅当 a ? b 时等号成立.
两个正数的 几何平均数

两个正数的 算术平均数

1. 重要不等式 :一般地,对于任意实数a , b ,我们 有 a 2 ? b 2 ? 2ab,当且仅当 a ? b 时,等号成立. 主要用于:两个数的平方和与积的互化 例1 已知 a, b, c 为两两不相等的实数, 求证:a 2 变式练习: (1)求证: x 2 ? 1 ? 2 x
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

9 (2)求函数 y ? 4 x ? 2的最小值,并求函数取得最小值时x的值。 x

(3)求函数 y ? 1 ? 2x ? 2x ?的最大值,并求函数取得最小值时 x的值。 9

a?b ? ab , 2. 基本不等式:对任意正数 a , b,有 2 a ? b 当且仅当 时等号成立.
计算下列两个正数的算术平均数和几何平均数:
(1)2,8 (2)3,12 (3) p,9 p( p ? 0)

(4)2 p 2 ,8 p 2 ( p ? 0)

主要用于:两个正数的和与积的互化 例2 设 a , b 为正数,证明下列不等式成立:

b a (1) a ? b ? 2

1 ;(2) a ? a ? 2

练习1 已知 a, b, c, d都是正数,求证:

(ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd

练习2
2 2 3 3 3 3 x , y ( x ? y )( x ? y )( x ? y ) ? 8 x y (1)已知 都是正数,求证:

(a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 8abc (2)已知 a, b, c 都是正数,求证:
1 (3)思考题:若 x ? 0 ,求 x ? 的最大值. x

思考题: 请问: (1)当x取何值时函数 y ? x ? 并求此最小值。
16 ( x ? ?1) 取得最小值, x?2

5 (2)当x取何值时函数 y ? (5 ? 2 x)( 2 x ? 10)( ?5 ? x ? 2 )取得 最大值,并求此最大值。


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