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【解析】上海市黄浦区2013届高三上学期期末考试数学文试题


黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(文科) (一模)
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答一律 无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 【答案】 ? 【解析】因为 ? ? 2 ,所以函数的最小正周期为 T ? . 2013 年 1 月 17 日

2?

?

?

2? ?? 。 2


2.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 3} , B ? {x | x 2 ? 4} ,则 A ? B ? 【答案】 (2,3)

【解析】因为 B ? {x | x 2 ? 4} ? {x x ? 2或x ? ?2} ,所以 A ? B ? {x 2 ? x ? 3} ? (2,3) 。 3.若 z ? (1 ? 2i)(a ? i) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 【答案】2 【解析】因为 z ? (1 ? 2i)(a ? i) ? a ? 2 ? (1 ? 2a)i 为纯虚数,所以 a ? 2 ? 0, ?(1 ? 2a) ? 0 ,解得 a ? 2 。 4.若数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? 3 (n ? N*) ,则 lim
n→?



an ?1 ? an ? 2 ? 4n



【答案】

1 2

【 解 析 】 因 为 an ? n ? 3 (n ? N*) , 所 以 an ?1 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 4 , an ?1 ? n ? 5 , 所 以

lim
n→?

an ?1 ? an ? 2 n?4?n?5 2n ? 9 1 ? lim ?? lim ?? 。 n→? n→? 4n 4n 4n 2 2 2 x y 5.若双曲线 ? 2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线过点 P(1, 2),则 b 的值为_________. 4 b

【答案】4 【解析】 双曲线的渐近线方程为 y ? ? 所以有 2 ?

b b 因为点 P(1, 2)在第一象限, 所以点 P(1, 2)在渐近线 y ? x 上, x, 2 2

b ,所以 b ? 4 。 2
1

6.已知 tan ? = 【答案】 ?1 【 解 析

1 1 , tan( ? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) 的值为 2 3









tan(b - 2a )= tan[( - a ) a = b ]

tan(b - a )- tana 1 + tan(b - a ) tana





1 1 3 2 = - 1。 tan(b - 2a )= = 1 1 1 + (- ) ( ) 3 2 7.已知直线 l1 : x ? ay ? 2 ? 0 和 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 6a ? 0 ,则 l1 ∥ l2 的充要条件是 a = 【答案】3 【解析】因为 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 6a ? 0 的斜截式方程为 y ? .

2?a 2?a ,所以直线 x ? 2a ,斜率存在为 k ? 3 3

l1 : x ? ay ? 2 ? 0 的 斜 率 也 存 在 所 以 a ? 0 , 即

1 2 l1 : y ? ? x ? a a , 所 以 要 使 l1 ∥ l2 , 则 有

2?a 1 2 ? ? , ?2a ? ? ,解得 a ? ?1 或 a ? 3 且 a ? ?1 ,所以 a ? 3 。 3 a a
8. ( x ? )9 的展开式中 x 5 的系数是 【答案】36
k k 2 【解析】展开式的通项为 Tk ?1 ? C9 x 9? k ( ) k ? C9 x 9? 2 k ,由 9 ? 2k ? 5 ,得 k ? 2 ,所以 T3 ? C9 x 5 ? 36 x 5 ,

1 x

(用数字作答) .

1 x

所以 x 5 的系数是 36. 9.执行右边的程序框图,若 p ? 10 ,则输出的 S =

2

. 【答案】81 【解析】由程序框图可知该程序是计算 S ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) .当 p ? 10 时,由 n ? 1 ? 10 得 n ? 9 ,所以 所求的 S ? 1 ? 3 ? ? ? (2 ? 9 ? 1) ?

(1 ? 17) ? 9 ? 81 。 2

10.盒中装有形状、大小完全相同的 7 个球,其中红色球 4 个,黄色球 3 个.若从中随机取出 2 个球,则 所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 【答案】 .

4 7

2 1 1 【解析】从 7 个球中取 2 个有 C7 种,颜色不同的有 C4C3 ,所以取出的 2 个球颜色不同的概率等于

1 1 C4C3 12 4 ? ? 。 C72 21 7

?log 2 x ( x ? 0) 11.已知 f ( x) ? ? x ,且函数 F ( x) ? f ( x) ? x ? a 有且仅有两个零点,则实数 a 的取值范围 ( x ? 0) ?3

是 【答案】 (??,1]



3

?log x ( x ? 0) f ( x) ? ? x 2 ( x ? 0) ?3 【解析】 F ( x) ? f ( x) ? x ? a ? 0 得 f ( x) ? ? x ? a , y ? f ( x ), y ? ? x ? a 。 由 设 做出函数

的图象,

当 y ? ? x ? 1 时,直线 y ? ? x ? 1 与 y ? f ( x) 有两个交点,所以

要使 F ( x) ? f ( x) ? x ? a 有且仅有两个零点,则有 a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 (??,1] 。 12.已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (2) ? f (3) ,若 f ?1 ( x) 是 f ( x) 的反函数,则关于 x 的不等式

f ?1 (1 ? x) ? 1 的解集是
【答案】 (1 ? a,1)



【解析】因为 f (2) ? f (3) ,所以 a 2 ? a 3 ,解得 0 ? a ? 1 。因为 y ? f ?1 ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数,所以

y ? f ?1 ( x) ? log a x , 0 ? a ? 1 。所以由 f ?1 (1 ? x) ? 1 得 log a (1 ? x) ? 1 ,即 0 ? 1 ? x ? a ,解得 1 ? a ? x ? 1 ,
即不等式 f ?1 (1 ? x) ? 1 的解集是 (1 ? a,1) 。 13.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m) (m>0)到其焦点 F 的距离为 5,该抛物线的顶点在直线 MF 上的射影为点 P,则点 P 的坐标为 【答案】 ( .

64 48 , ) 25 25

【解析】抛物线的焦点坐标 F (

p p p , 0) ,准线方程为 x ? ? 。因为 MF ? 1 ? (? ) ? 5 ,所以解得 p ? 8 。 2 2 2

所以抛物线方程为 y 2 ? 16 x ,即 m 2 ? 16 ,所以 m ? 4 。即 M (1, 4) ,则直线 MF 的方程为 4 x ? 3 y ? 16 ? 0 , 斜率为 ?

4 3 3 。因为 OP ? MF ,所以 OP 的斜率为 ,即直线 OP 的方程为 y ? x ,即 3 x ? 4 y ? 0 所以由 3 4 4
? 64 64 48 25 ,即点 P 的坐标为 ( , ) 。 48 25 25 y? ? 25 ? x?

? ?4 x ? 3 y ? 16 ? 0 ? 解得 ? ? ?3 x ? 4 y ? 0 ?

14.已知命题“若 f ( x) ? m 2 x 2 , g ( x) ? mx 2 ? 2m ,则集合 {x | f ( x) ? g ( x), 是假命题,则实数 m 的取值范围是 【答案】 (?7,0)
4

1 ? x ?1 } ? ? ” 2



【解析】题意即不等式 f ( x) ? g ( x) 在 令 x 2 ? t ,则

1 ? x ? 1 时有解. m 2 x 2 ? mx 2 ? 2m ? (m 2 ? m) x 2 ? 2m ? 0 2

1 ? t ? 1 ,又令 h(t ) ? (m 2 ? m)t ? 2m ,则 h(t ) 的图像是直线,不等式 h(t ) ? 0 有解的 4

充要条件是 h( ) ? 0 ,或 h(1) ? 0 ?

1 4

m2 ?m 4

? 2m ? 0 ,或 (m 2 ? m) ? 2m ? 0

? m 2 ? 7 m ? 0 ,或 m 2 ? m ? 0 ?-7<m<0,或-1<m<0?-7<m<0. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编 号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
? ??? ???? ? ???? ??? 15.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 AC ·BD =0,则四边形 ABCD 是

( D.等腰梯形



A.菱形 【答案】A

B.矩形

C.直角梯形

? ??? ???? ? ???? ??? ???? ??? ? 【解析】由 AB ? DC 可知四边形 ABCD 为平行四边形,又 AC ·BD =0,所以 AC ? BD ,即对角线垂直,

所以四边形 ABCD 是菱形,选 A. 16.已知 z ? 1 且 z ? C,则 | z ? 2 ? 2i | (i 为虚数单位)的最小值是 A. 2 2 【答案】D 【解析】 因为 z ? 1 , 所以 z 的轨迹为圆 x ? y ? 1 。 | z ? 2 ? 2i | ?| z ? (2 ? 2i) | 的几何意义为圆 x ? y ? 1 又
2 2 2 2

( D. 2 2 ? 1



B. 2

C. 2 2 ? 1

上点 Z (cos ? ,sin ? ) 到点 M (2, 2) 距离的最小值。圆心 O (0, 0) 到点 M (2, 2) 的距离为 OM ? 2 2 ,所以

| z ? 2 ? 2i | 的最小值是 2 2 ? 1 ,选 D.
17.若矩阵 ?

? a1 ? b1

a2 b2

a3 b3

a4 ? 每行中的四个数所构成的集合均为 {1, 2,3, 4} ;② 四列中有且 ? 满足下列条件:① b4 ?
( )

只有两列的上下两数是相同的.则这样的不同矩阵的个数为 A.24 【答案】C B.48 C.144

D.288

【解析】因为只有两列的上下两数相同,①取这两列,有 C4 种,②从 1、2、3、4 中取 2 个数排这两列, 有 P4 种,③排另两列,有 P2 种,∴共有 C4 P4 P2 =144 种;.选 C. 1 8 . 若 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x) 在 [0, ??) 上 单 调 递 增 , 则 下 列 结 论 : ①y ?| f ( x) | 是 偶 函 数 ; ②对 任 意 的 x ? R 都 有 f (? x)? | f ( x ) |? 0 ; ③ y ? f (? x) 在 (??,0] 上 单 调 递 增 ;
5
2 2 2 2 2

2

④ ? f ( x) f (? x) 在 (??,0] 上单调递增.其中正确结论的个数为 y A.1 【答案】B B.2 C.3 D.4





【解析】取 f(x)=x3,x=-1,则 f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(-1)|=2≠0,故② 错,又 f(-x)=-x3 在(-?,0]上单调减,故③ 错. 对于① ,设 x?R,则|f(-x)|=|-f(x)|=| f(x)|? y=|f(x)|是偶函数,所以① 对;对于④ ,设 x1<x2≤0,则-x1>-x2≥0, ∵f(x)在[0,+?)上单调递增,∴f(-x1)> f(-x2)≥f(0)=0? f 2(-x1)> f 2 (-x2)? f 2(x1)> f 2 (x2),∴f(x1) f(-x1)=- f 2(x1)<- f
2

(x2)= f(x2) f(-x2)? y=f(x)f(-x)在(-?,0]上单调递增,故④ 对.所以选 B.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为线段 DD1 , BD 的 中点. (1)求三棱锥 E ? ADF 的体积; (2)求异面直线 EF 与 BC 所成的角.
A1 E D1 B1 C1

D A F B

C

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列.

??? ??? ? ? (1)若 AB ? BC ? ?3 ,且 b ? 3 2 ,求 a ? c 的值;
(2)若 M ?

3 sin A ,求 M 的取值范围. 1 cos A

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示, ABCD 是一个矩形花坛,其中 AB= 6 米,AD = 4 米.现将矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大 的矩形花园 AMPN ,要求:B 在 AM 上,D 在 AN 上,对角线 MN 过 C 点, 且矩形 AMPN 的面积小于 150 平方米. (1)设 AN 长为 x 米,矩形 AMPN 的面积为 S 平方米,试用解析式将 S 表示成 x 的函数,并写出该函 数的定义域; (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求最小面积.
6

N

P

D

C

A

B

M

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O、半径是 a 2 ? b 2 的圆为椭圆 C 的 2 a b

“准圆” .已知椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2, 0) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3 . (1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2) 过椭圆 C 的 “准圆” y 轴正半轴的交点 P 作直线 l1 , l2 , 与 使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个交点, l1 , l2 求 的方程; (3)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点, B, D 是椭圆 C 上的两相异点,且 BD ? x 轴,

??? ???? ? 求 AB ? AD 的取值范围.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 对于函数 y ? f ( x) 与常数 a, b , f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立, 若 则称 (a, b) 为函数 f (x) 的一个 数对”设 “P . 函数 f (x) 的定义域为 R ? ,且 f (1) ? 3 . (1)若 (1,1) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (210 ) ; (2) (?2,0) 是 f ( x) 的一个 数对” 且当 x ? [1, 2) 时 f ( x) ? k (2 ? x) , f ( x) 在区间 [1, 22 n ) (n ? N*) 若 “P , 求 上的最大值与最小值; (3)若 f ( x) 是增函数,且 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,试比较下列各组中两个式子的大小,并说 明理由. ①f (2? n ) 与 2? n ? 2 (n ? N*) ;②f ( x) 与 2 x ? 2 ( x ? (2? n , 21? n ], n ? N*) .

7

黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试

数学试卷(文科)参考答案

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果, 每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1. ? ; 2. (2,3) ; 3.2; 4.

1 ; 5.4 2

6. ?1 ;

7.3;

8.36; 14. (?7,0) .

9.81; 10.

4 ; 7

11. (??,1]

12. (1 ? a,1) ; 13. (

64 48 , ); 25 25

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.A 16.D 17.C 18.B

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写 出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, ∵ F 是 AC 的中点, ∴ S ?CDF ?
A1 E D1 B1 C1

1 1 S ?ADC ? ? 2 ? 1 , 2 2

??????3 分
D A F B C

又 CE ? 平面 ABCD ,即 CE ? 平面 CDF , 故 VE ?CDF

1 1 1 ? S?CDF ? CE ? ? 1 ? 1 ? , 3 3 3 1 3

所以三棱锥 E ? ADF 的体积为 .??????6 分 (2)连 BD1 ,由 E 、 F 分别为线段 DD1 、 BD 的中点, 可得 EF ∥ BD1 ,故 ?D1 BC 即为异面直线 EF 与 BC 所成的角. ∵ BC ? 平面 CDD1C1 , CD1 ? 平面 CDD1C1 ,∴ BC ? CD1 , ? 在 Rt △ BCD1 中, BC ? 2 , D1C ? 2 2 , ∴ tan ?D1 BC ? ??????? 8 分

D1C ? 2 ,∴ ?D1 BC ? arctan 2 . BC
?????????? 12 分
8

所以异面直线 EF 与 BC 所成的角为 arctan 2 .

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)? A、B、C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C , 又 A ? B ? C ? ? ,∴ B ?

? , 3
3


??????????2 分

??? ??? ? ? 2? 由 AB ? BC ? ?3 得, c ? a cos ? ?3 ,∴ ac ? 6
又由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos ∴ 18 ? a 2 ? c 2 ? ac ,∴ a 2 ? c 2 ? 24 由①、②得, a ? c ? 6 (2) M ?

?????????4 分

?
3

,
② ?????????6 分

??????????????8 分

3 sin A ? 3 cos A ? sin A 1 cos A

? 2sin( ? A) 3
由(1)得 B ? 由C ?

?

??????????????11 分

? 2? ,∴ A ? C ? , 3 3

2? 2? ? ? ? ? A ? 0 且 A ? 0 ,可得 0 ? A ? ,故? ? ? A? , 3 3 3 3 3

所以 2sin(

?
3

? A) ? (? 3, 3) ,

即 M 的取值范围为 (? 3, 3) .

??????????14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)由△NDC∽△NAM,可得 ∴

DN DC ? , NA AM

N

P

x?4 6 6x C ? ,即 AM ? ,????????3 分 D x AM x?4 6 x2 故 S ? AN ? AM ? , ?????????5 分 A M B x?4 6 x2 由S ? ? 150 且 x ? 4 ,可得 x 2 ? 25 x ? 100 ? 0 ,解得 5 ? x ? 20 , x?4 6 x2 故所求函数的解析式为 S ? ,定义域为 (5, 20) . ?????????????8 分 x?4
(2)令 x ? 4 ? t ,则由 x ? (5, 20) ,可得 t ? (1,16) , 故S ?

6 x 2 6(t ? 4) 2 16 ? ? 6(t ? ? 8) x?4 t t

??????????10 分

9

? 6(2 t ?

16 ? 8) ? 96 , t

??????????12 分

当且仅当 t ?

16 ,即 t ? 4 时 S ? 96 .又 4 ? (1,16) ,故当 t ? 4 时, S 取最小值 96. t

故当 AN 的长为 8 时,矩形 AMPN 的面积最小,最小面积为 96 (平方米)????14 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)由题意知 c ? 2 ,且 a ? b 2 ? c 2 ? 3 ,可得 b ? 1 , 故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,其“准圆”方程为 x 2 ? y 2 ? 4 . 3

??????4 分

(2)由题意可得 P 点坐标为 (0, 2) ,设直线 l 过 P 且与椭圆 C 只有一个交点, 则直线 l 的方程可设为 y ? kx ? 2 ,将其代入椭圆方程可得 ??????6 分

x 2 ? 3(kx ? 2) 2 ? 3 ,即 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 ,
由 ? ? (12k ) 2 ? 36(3k 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ? ?1 , 所以直线 l1 的方程为 y ? x ? 2 , l2 的方程为 y ? ? x ? 2 , 或直线 l1 的方程为 y ? ? x ? 2 , l2 的方程为 y ? x ? 2 . (3)由题意,可设 B (m, n), D(m, ?n) (? 3 ? m ? 3) ,则有 ??????10 分 ??????8 分

m2 ? n2 ? 1 , 3
??????12 分

??? ? ???? 又 A 点坐标为 (2,0) ,故 AB ? (m ? 2, n), AD ? (m ? 2, ? n) ,
??? ???? ? m2 故 AB ? AD ? (m ? 2) 2 ? n 2 ? m 2 ? 4m ? 4 ? (1 ? ) 3

4 4 3 ? m 2 ? 4m ? 3 ? ( m ? ) 2 , 3 3 2
又 ? 3 ? m ? 3 ,故 (m ? ) 2 ? [0,7 ? 4 3) ,

??????????14 分

4 3

3 2

??? ???? ? 所以 AB ? AD 的取值范围是 [0,7 ? 4 3) .

??????????16 分

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1)由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2k ( k ? N*) , 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ,∴数列 { f (2k )} 是公差为 1 的等差数列, 故 f (210 ) ? f (20 ) ? 10 ,又 f (20 ) ? 3 ,故 f (210 ) ? 13 . ????????????3 分
10

(2)当 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? k (2 ? x) ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ,由 f (1) ? 3 可得 k ? 3 ,即 x ? [1, 2) 时, f ( x) ? 3(2 ? x) , 可知 f ( x) 在 [1, 2) 上的取值范围是 (0,3] . 又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立, 当 x ? [2k ?1 , 2k ) (k ? N*) 时, ?????????????4 分

x 2
k ?1

? [1, 2) ,
?????????????6 分

x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? ? (?2) k ?1 f ( k ?1 ) , 2 4 2
故当 k 为奇数时, f ( x) 的取值范围是 (0,3 ? 2k ?1 ] ; 当 k 为偶数时, f ( x) 的取值范围是 [?3 ? 2k ?1 ,0) .

???????????8 分

由此可得 f ( x) 在 [1, 22 n ) 上的最大值为 3 ? 22 n? 2 ,最小值为 ?3 ? 22 n?1 .??????10 分 (3)由 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,可知 f (2 x) ? 2 f ( x) ? 2 恒成立, 即 f ( x) ? 令x?

1 f (2 x) ? 1 恒成立, 2
???????12 分

1 1 1 1 (k ? N*) ,可得 f ( k ) ? f ( k ?1 ) ? 1 , k 2 2 2 2

即 f(

1 1 1 1 ) ? 2 ? [ f ( k ?1 ) ? 2] (k ? N*) ,又 f ( 0 ) ? 2 ? f (1) ? 2 ? 1 , k 2 2 2 2 1 1 1 ) ? 2} 是一个等比数列,∴ f ( n ) ? 2 ? 1 ? ( ) n , k ?1 2 2 2
?????????????15 分

∴{ f (

所以 f (2? n ) ? 2? n ? 2 .

当 x ? (2? n , 21? n ]( n ? N*) 时,由 f ( x) 是增函数,故 f ( x) ? f (21? n ) ? 21? n ? 2 , 又 2 x ? 2 ? 2 ? 2? n ? 2 ? 21? n ? 2 ,故有 f ( x) ? 2 x ? 2 .?????????????18 分

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上海市黄浦区2013届高三下学期二模数学(理)试题
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