当前位置:首页 >> 数学 >>

2016高考


题组层级快练(六十二)
1.若过抛物线 y=2x2 的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2=( A.-2 C.-4 答案 D 1 1 1 1 1 1 解析 由 y=2x2,得 x2= y.其焦点坐标为 F(0, ),取直线 y= ,则其与 y=2x2 交于 A(- , ),B( , 2 8 8 4 8 4 1 1 1 1 ),∴x1x2=(- )· ( )=- . 8 4 4 16 x2 y2 2.设离心率为 e 的双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,则 a b 直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( A.k2-e2>1 C.e2-k2>1 答案 C c2-a2 b b 解析 l 与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是- <k< ,即 k2< 2 =e2-1,即 e2-k2>1,故 a a a 选 C. 3.已知椭圆 x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( A.3 2 C. 30 3 B.2 3 3 D. 6 2 ) ) 1 B.- 2 1 D.- 16 )

B.k2-e2<1 D.e2-k2<1

答案 C 解析 设 y-1=k(x-1),∴y=kx+1-k. 代入椭圆方程,得 x2+2(kx+1-k)2=4. ∴(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-4=0. 4k?k-1? 1 1 由 x1+x2= 2 =2,得 k=- ,x1x2= . 2 3 2k +1 4 8 ∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4- = . 3 3 ∴|AB|= 12 6 30 1+ · = . 4 3 3

1 4.已知抛物线 y=2x2 上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1x2=- ,那么 m 的 2 值等于( 3 A. 2 C.2 ) 5 B. 2 D.3

答案 A
2 解析 因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 y=2x2 上,所以 y1=2x1 ,y2=2x2 2,两式相减,得 y1-y2

y1-y2 =2(x1-x2)(x1+x2),不妨设 x1<x2.因为直线 AB 与直线 y=x+m 互相垂直,所以 =-1,所以 x1+x2 x1-x2 x1+x2 y1+y2 1 1 1 1 =- .而 x1x2=- ,解得 x1=-1,x2= ,设线段 AB 的中点为 M(x0,y0),则 x0= =- ,y0= 2 2 2 2 4 2 =
2 2x2 5 5 1 3 1+2x2 = .因为中点 M 在直线 y=x+m 上,所以 =- +m,解得 m= . 2 4 4 4 2

y2 5.已知双曲线 x2- =1,过点 A(1,1)的直线 l 与双曲线只有一个公共点,则 l 的条数为( 4 A.4 C.2 答案 A 解析 ①斜率不存在时,方程为 x=1 符合. ②设斜率为 k,y-1=k(x-1),kx-y-k+1=0.
?4x2-y2=4, ? ? ? ?y=kx-k+1,

)

B.3 D.1

(4-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-5=0.

当 4-k2=0,k=± 2 时符合; 当 4-k2≠0,Δ=0,亦有一个答案,∴共 4 条. 6.(2015· 东北三校)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 M(-1,0)的直线在第一象限交抛物线于 A,B, → → 且满足AF· BF=0,则直线 AB 的斜率 k=( A. 2 C. 3 答案 B 解析 ) B. D. 2 2 3 3

依题意,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),代入抛物线方程 y2=4x 并整理,得 k2x2+(2k2-4)x+ k2 = 0. 因为直线与抛物线有两个不同的交点,所以 Δ = (2k2 - 4)2 - 4k4>0. 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,则 4-2k ? → → ?x1+x2= 2 , k 又因为AF· BF=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=0, ? ? ?x1x2=1.
2

4-2k ? ?x1+x2= 2 , 1 2 2 2 2 k (1+k )x1x2+(k -1)(x1+x2)+k +1=0.把? 代入并整理,得 k2= .又 k>0,所以 k= , 2 2 ? ?x1x2=1, 故选 B. 7.已知抛物线 y2=8x,过动点 M(a,0),且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点 A,B,|AB|≤8, 则实数 a 的取值范围是________. 答案 -2<a≤-1 解析 将 l 的方程 y=x-a 代入 y2=8x, 得 x2-2(a+4)x+a2=0. 则|AB|= 2[?x1+x2?2-4x1x2] = 32?4+2a?≤8,又∵|AB|>0, ∴-2<a≤-1. x2 y2 8.(2015· 上海静安一模)已知椭圆 C: + =1,过椭圆 C 上一点 P(1, 2)作倾斜角互补的两条直线 2 4 PA,PB,分别交椭圆 C 于 A,B 两点.则直线 AB 的斜率为________. 答案 2

2

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),同时设 PA 的方程为 y- 2=k(x-1),代入椭圆方程化简得(k2+2)x2 - 2k(k - 2)x + k2 - 2 2 k - 2 = 0 , 显然 1 和 x1 是这个方程的两解 .因此 x1 = k2-2 2k-2 , y1 = k2+2

- 2k2-4k+2 2 k2+2 2k-2 - 2k2+4k+2 2 y2-y1 . 由- k 代替 x , y 中的 k ,得 x = , y = ,所以 = 2. 2 2 2 1 1 2 2 k +2 k +2 k +2 x2-x1 x2 y2 9.(2015· 福建福州质检)已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存 a b b 在一点 P 与点 F2 关于直线 y= x 对称,则该双曲线的离心率为________. a 答案 5

bx |PF2| b 解析 由题意可知双曲线左支上存在一点 P 与点 F2 关于直线 y= 对称,则 PF1⊥PF2.又 = ,联 a |PF1| a 立|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|2+|PF1|2=(2c)2,可得 b3+a2b=2c2a.所以 b=2a,e= 5. 10.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. → → (1)若AF=2FB,求直线 AB 的斜率; (2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最小值. 答案 (1)± 2 2 (2)4

解析 (1)依题意知 F(1,0),设直线 AB 的方程为 x=my+1. 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 y1+y2=4m,y1y2=-4.①

→ → 因为AF=2FB,所以 y1=-2y2.② 2 联立①和②,消去 y1,y2,得 m=± . 4 所以直线 AB 的斜率是± 2 2. (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点. 从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等,所以四边形 OACB 的面积等于 2S△AOB. 1 因为 2S△AOB=2× · |OF|· |y1-y2| 2 = ?y1+y2?2-4y1y2=4 1+m2, 所以当 m=0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4. 11.

(2015· 四川成都七中适应性训练)如图所示,设抛物线 C1:y2=4x 的准线与 x 轴交于点 F1,焦点 F2.椭 1 圆 C2 以 F1 和 F2 为焦点,离心率 e= .设 P 是 C1 与 C2 的一个交点. 2 (1)求椭圆 C2 的方程; (2)直线 l 过 C2 的右焦点 F2,交 C1 于 A1,A2 两点,且|A1A2|等于△PF1F2 的周长,求直线 l 的方程. x2 y2 答案 (1) + =1 4 3 (2)y= 2(x-1)或 y=- 2(x-1) 1 解析 (1)由条件,F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C2 的两焦点,故半焦距为 1,再由离心率为 知长半轴长 2 x2 y2 为 2,从而 C2 的方程为 + =1. 4 3 (2)由(1)可知△PF1F2 的周长|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6.又 C1:y2=4x,而 F2(1,0). 若 l 垂直于 x 轴,易得|A1A2|=4,矛盾,故 l 不垂直于 x 轴,可设其方程为 y=k(x-1),与 C1 方程联 ?2k2+4?2-4k4 4?k2+1? 立可得 k x -(2k +4)x+k =0,从而|A1A2|= k +1|x1-x2|= k +1· = .令|A1A2|=6 k2 k2
2 2 2 2 2 2

可解出 k2=2,故 l 的方程为 y= 2(x-1)或 y=- 2(x-1). x2 y2 1 12. (2014· 陕西文)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3), 离心率为 , 左、 右焦点分别为 F1(-c,0), a b 2 F2(c,0).

(1)求椭圆的方程; 1 |AB| (2)若直线 l:y=- x+m 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C,D 两点,且满足 = 2 |CD| 5 3 ,求直线 l 的方程. 4 x2 y2 答案 (1) + =1 4 3 1 3 1 3 (2)y=- x+ 或 y=- x- 2 3 2 3 思路 (1)构造关于 a,b,c 的方程组;(2)利用直线与圆的位置关系得|CD|,直线的方程与椭圆方程联 立得方程组,利用根与系数的关系得|AB|,构造关于 m 的方程求 m,进而得出直线 l 的方程. b= 3, ? ?c 1 (1)由题设知? = , a 2 ? ?b =a -c ,
2 2 2

解析

?a=2, ? 解得?b= 3, ? ?c=1.

x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1, 2|m| ∴圆心到直线 l 的距离 d= . 5 由 d<1,得|m|< 5 .(*) 2 4 2 1- m2= 5-4m2. 5 5

∴|CD|=2 1-d2=2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?y=-2x+m, 由? x y ? 4 + 3 =1,
2 2

1

得 x2-mx+m2-3=0.

由根与系数的关系可得 x1+x2=m,x1x2=m2-3. ∴|AB|= 由

?1+?-1?2?[m2-4?m2-3?]= 15 4-m2. ? ? 2? ? 2
4-m2 3 =1,解得 m=± ,满足(*). 3 5-4m2

|AB| 5 3 = ,得 |CD| 4

1 3 1 3 ∴直线 l 的方程为 y=- x+ 或 y=- x- . 2 3 2 3 13.(2014· 辽宁理)

圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为 P(如 x2 y2 图).双曲线 C1: 2- 2=1 过点 P 且离心率为 3. a b (1)求 C1 的方程; (2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以线段 AB 为直径的圆过点 P,求 l 的方程. y2 答案 (1)x2- =1 2 3 6 6 (2)x-( -1)y- 3=0 或 x+( -1)y- 3=0 2 2 思路 (1)先求切线方程,再利用条件列出方程组求解字母的值;(2)利用关系设出椭圆方程,再利用直 线与椭圆的位置关系求解. 解析 (1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0), x0 x0 则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- (x-x0), y0 y0 1 4 4 8 即 x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为 S= · · = . 2 x0 y0 x0y0
2 由 x2 0+y0=4≥2x0y0 知当且仅当 x0=y0= 2时,x0y0 有最大值,即 S 有最小值,

因此点 P 的坐标为( 2, 2). 2 2 ? ?a2=1, ?a2-b2=1, ? 由题意知? 解得? 2 ? ?b =2. ? ?a2+b2=3a2, y2 故 C1 的方程为 x2- =1. 2 (2)由(1)知 C2 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0), x2 y2 由此设 C2 的方程为 2+ 2=1,其中 b1>0. b1 3+b1 由 P( 2, 2)在 C2 上,得 2 2 + 2=1. b 3+b2 1 1

x2 y2 解得 b2 = 3 ,因此 C 的方程为 + =1. 1 2 6 3 显然,l 不是直线 y=0.

设 l 的方程为 x=my+ 3,点 A(x1,y1),B(x2,y2),

? ?x=my+ 3, 由?x2 y2 得(m2+2)y2+2 3my-3=0. ? ? 6 + 3 =1,
2 3m ? ?y +y =-m +2, 又 y ,y 是方程的根,因此? 3 y y =- . ② ? ? m +2
1 2 2 1 2 1 2 2



由 x1=my1+ 3,x2=my2+ 3,得 4 3 ? ?x +x =m?y +y ?+2 3=m +2, ③ ? 6-6m x x =m y y + 3m?y +y ?+3= . ? ? m +2
1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2



→ → 因为AP=( 2-x1, 2-y1),BP=( 2-x2, 2-y2), → → 由题意知AP· BP=0, 所以 x1x2- 2(x1+x2)+y1y2- 2(y1+y2)+4=0.⑤ 将①②③④代入⑤整理,得 2m2-2 6m+4 6-11=0. 3 6 6 解得 m= -1 或 m=- +1. 2 2 3 6 6 因此直线 l 的方程为 x-( -1)y- 3=0 或 x+( -1)y- 3=0. 2 2


赞助商链接
相关文章:
2016年高考生物试题及解析(共10套)
97 第 1 页共 119 页 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 2016高考全国课标乙( Ⅰ )卷(安徽、河南、河北、山西、山东、湖南、湖北、江西、广东、福建) ...
2016高考英语新课标1卷及答案
2016高考英语新课标1卷及答案 - 绝密★启封前 2016 普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I) 英语 试卷类型 A 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号...
2016年全国1卷高考文数试题含答案_图文
2016年全国1卷高考文数试题含答案_高考_高中教育_教育专区。绝密★启封并使用完毕前 试题类型: 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学第Ⅰ卷一. 选择题:...
2016高考数学(理)试题分析报告
2016高考数学(理)试题分析报告_高考_高中教育_教育专区。准确分析2016年高考数学试题特征,精准定位2017年高考动向 2016 年高考数学(理科)试题分析及备考反思汉台中学...
2016 高考真题 特殊句型
2016 高考真题 特殊句型 考点 1 倒装句 1.(2016· 天津高考)Then ___ (come)the final awards ceremony at the end of the year. 2.(2016· 天津高考...
2016高考真题——复数
2016高考真题——复数_数学_高中教育_教育专区。德华盛——做塑造人的教育 (2016 北京理数) 9、设 a ? R ,若复数 (1 ? i)(a ? i) 在复平面内对应的...
2016高考理数及答案
2016高考理数及答案_高考_高中教育_教育专区。2016高考理数及答案 绝密★启封并使用完毕前 试题类型:A 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学注意事项: 1...
2016高考佳句
2016高考佳句。■ The two things that change books you read. your life ...2016 全国 The study suggests that the cultures we grow up in influence ...
2014--2016高考题分类汇编
2014--2016高考题分类汇编_高考_高中教育_教育专区。2014-2016 年三年高考历史解析分类汇编(精编版)专题 01 古代中国政治制度 考点一:商周时期的政治制度 2016 年...
2016高考语文上海卷(含答案)
2016高考语文上海卷(含答案)_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2016高考语文上海卷(含答案)_高考_高中教育_教育专区。绝密★启封并使用...
更多相关文章: