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导数概率大题


1. 某校高一年级有四个班,其中一、二班为数学课改班,三、四班为数学非课改班. 在 期末考试中,课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如下表. 优秀 课改班 非课改班 合计 20 非优秀 50 110 总计

210 (1)请完成上面的 2?2 列联表,并判断若按 99%的可靠性要求,能否认为“成绩与课 改 有关”; (2)把全部 210 人进行编号,从编号中有放回抽取 4 次,每次抽取 1 个,记被抽取的 4 人中的优秀人数为?,若每次抽取的结果是相互独立的,求?的分布列及数学期望 E?. 2. 已知函数 f ( x) ? mx ? (m ? 2) ln x ? (1)讨论 f ( x) 的单调区间; (2)是否存在 m ? 0 时,对于任意的 x1 , x2 ? [1,2] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 1 恒成立? 若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 3. 已知 a, b ? R ,函数 f ( x) ? (ax ? 2) ln x , g ( x) ? bx ? 4 x ? 5 ,且曲线 y ? f ( x) 与曲
2

ln( x ? 1) 2 ( m ? R ), g ( x ) ? . x x

线 y ? g ( x) 在 x ? 1 处有相同的切线。 (1)求 a, b 的值;(2)证明:当 x ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 恒在曲线 y ? g ( x) 的下方; (3)当 x ? (0, k ] 时,不等式 (2k ? 1) f ( x) ? (2 x ? 1) g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围。

4.

设函数 f ( x) ? ln | x | ? x2 ? ax 。 (1)求函数 f(x)的导函数 f '( x) ;

(2)若 x1 , x2 为函数 f(x)的两个极值点,且 x1 ? x2 ? ? 区间;

1 ,试求函数 f(x)的单调递增 2

(3)设函数 f(x)的点 C( x0 , f ( x0 ) )( x0 为非零常数)处的切线为 l,若函数 f(x) 图象上的点都不在直线 l 的上方,求 x0 的取值范围。

5. 已知函数 f ( x) ? x x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1,(a ? R) (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? x ? 1 ; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若在区间 (0,1] 上,函数 f ( x ) 的图象总在直线 y ? m(m ? R, m 是常数)的下方, 求 a 的取值范围. 6. 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 4 x ? 2ax ? a .
3

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)证明:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 ? a ? 0 . 7. 已知 t 为常数,且 0 ? t ? 1 ,函数 g ? x ? ?

1 ? 1? t ? ?x? ? ? x ? 0 ? 的最小值和函数 2? x ?

h ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 2 ? t 的最小值都是函数 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? bx (a, b ? R ) 的零点.
(1)用含 a 的式子表示 b ,并求出 a 的取值范围; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上的最大值和最小值. 8. 已知函数 f ? x ? ?

ln ? x ? a ? . x

(Ⅰ) 若 a ? ?1 ,证明:函数 f ? x ? 是 ? 0, ??? 上的减函数; (Ⅱ) 若曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 x ? y ? 0 平行,求 a 的值; (Ⅲ) 若 x ? 0 ,证明:

?

?

ln ? x ? 1? x ? x (其中 e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数). x e ?1

9. 甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连 胜,则判定获胜局数多者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为 局比赛结果相互独立。 (1)求乙在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)若每局比赛胜利方得 1 分,对方得 0 分,求甲最终总得分 X 的分布列及数学期望。 10. 寒假期间,很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动, 下表是今年某个档口某种精品的销售数据. 日期 2 月 14 日 2 月 15 日 2 月 16 日 2 月 17 日 2 月 18 日 天气 小雨 小雨 阴 阴转多云 多云转阴 销售量 白天 39 33 43 41 54 (件) 晚上 42 46 50 51 61

1 2 ,乙获胜的概率为 ,各 3 3

已知摊位租金 900 元/档,精品进货价为 9 元/件,售价为 12 元/件,售余精品可 以以进货价退回厂家. (1) 画出表中 10 个销售数据的茎叶图,并求出这组数据的中位数; (2) 从表中可知:2 月 14、15 日这两个下雨天的平均销售量为 80 件/天,后三 个非雨天平均销售量为 100 件/天,以此数据为依据,除天气外,其它条 1 件不变.假如明年花市 5 天每天下雨的概率为 ,且每天是否下雨相互独 5 立, 你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品,推测花市期间所租 档口大约能售出多少件精品? (3) 若所获利润大于 500 元的概率超过 0.6,则称为“值得投资”,那么在(2) 条件下,你认为“值得投资”吗?

11. 已 知 函 数 f ( x) ? ae ? be
x

?x

? cx(a, b, c ? R) 的 导 函 数 f '( x) 为 偶 函 数 , 且 曲 线

y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 年的切线的斜率为 2-c.
(1)确定 a , b 的值; (2)当 c=1 时,判断 f(x)的单调性; (3)若 f(x)有极值,求 c 的取值范围.
x 2 12. 已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ln a , a ? 1 .

(1)求证函数 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递增;

1 ? 3 有四个零点,求 b 的取值范围; b 2 (3)若对于任意的 x ∈[-1,1]时,都有 f ( x) ? e ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.
(2)若函数 y ? f ( x) ? b ?

[来源:学科网 ZXXK]

13. 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 其中 a , b 为常数.

b 1 ,对任意的 x ? (0 , ? ?) ,满足 f ( x) ? f ( ) ? 0 , x x

(1)若 f ( x) 的图像在 x ? 1 处切线过点 (0 , ? 5) ,求 a 的值;

a2 ) ? 0; 2 (3)当 f ( x) 存在三个不同的零点时,求 a 的取值范围.
(2)已知 0 ? a ? 1 ,求证: f (

14.

深圳市于 2014 年 12 月 29 日起实施小汽车限购政策.根据规定,每年发放 10 万个

小汽车名额,其中电动小汽车占 20%,通过摇号方式发放,其余名额通过摇号和竞价两种方 式各发放一半.政策推出后,某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查,结果如下表所 示: 申请意向 年龄 30 岁以下 (含 30 岁) 30 至 50 岁 (含 50 岁) 50 岁以上 合计 摇号 电动小汽车(人数) 非电动小汽车(人数) 50 50 100 200 100 150 150 400 竞价(人数) 50 300 50 400 合计 200 500 300 1000

(1)采取分层抽样的方式从 30 至 50 岁的人中抽取 10 人,求其中各种意向人数; (2)在(1)中选出的 10 个人中随机抽取 4 人,求其中恰有 2 人有竞价申请意向的概 率; (3)用样本估计总体,在全体市民中任意选取 4 人,其中摇号申请电动小汽车意向的 人数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.


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