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基本初等函数知识点(一轮复习)


高三文数一轮复习系列资料(2013 广东) By Tony

基本初等函数 中学阶段 (初高中) 我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。 什么是基本初等函数? 就是那些:幂函数(一次二次负一次) 、指数、对数、三角等。力求在这些具体函数中,运 用函数的性质(奇偶性、周期、单调等的性质) ,掌握某些函数的特殊技巧。 一、一次函数 初中的一个函数,Primary 基本、简单而又很重要。解析式:y=kx+b 或 y=ax+b,通常 我们会这样设。 那么高中我们在什么地方会用到它呢?解析几何中我们会设直线; 线性 规划会有好多跟直线;也容易在函数里面作为条件表达一下?? 画出以下解析式的图像:要求快 (1) y=x+1; (2)y=x-1 (3)y=-x+1 (4)y=-x-1 (5)x=1(6)y=1 (7)y=2x 根据以下条件,设出一次函数的解析式: (1) 直线经过(1,2)点 (2) 直线的斜率是 2 总结:两个参数主宰斜率和与 y 轴的交点位置。因为两个参数,所以要有两个条件才能解得 解析式。 二、二次函数 二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了, 这里补遗强调一下。 十分重要 的内容, 属于幂函数中最重要的一类。 二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点, 题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现, 主要考查二次函数与一元二次方程及一 元二次不等式三者的综合应用, 幂函数的内容要求较低, 只要求会简单幂函数的图象与 性质. 1、二次函数的三种表示形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c,(a≠0); (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(顶点坐标为(h,k)); (3)双根式:y=a(x-x1)(x-x2)(图象与 x 轴的交点为(x1,0),(x2,0))

求一元二次解析式:将题目有的条件表示一下,没有难度,过场的题目而已 Eg:已知二次函数 f(x)同时满足条件:(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为 15;(3)f(x)= 0 的两根平方和等于 7.求 f(x)的解析式. Ans:f(1+x)=f(1-x)知二次函数对称轴为 x=1. ∴已知最大值和对称轴,用顶点式,设 f(x)=a(x-1) +15=ax -2ax+15+a. ∵x1+x2=7 即(x1+x2) -2x1x2=7
2 2 2 2 2

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2(15+a) ∴4- =7,∴a=-6. a

2、二次函数在特定区间上的最值问题 EX:函数y=x2+4x+3在[-1,0]上的最大值是________,最小值是________. 解析:y=x2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴x=-2,在[-1,0]的左侧,所以在[-1,0]上单调递增.故当x=0 时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0. 答案:3 0 2 进阶 Eg:(建议一做):已知函数 f(x)=-x +2mx+1-m 在 0≤x≤1 时有最大值 2, 求 m 的值 (1)若( x
? ? b 2a

<=0)

(2)若(0< x

? ?

b 2a

<1)

(3)若( x

? ?

b 2a

>=1) key:m=-1 or m=2

解析:每种情况分别画出草图。原草图作法:求根得到与 x 轴的交点,c 与 y 轴的交点,a 看开口, 估计着画。 但是这里 m 为参数解不出根, 也未知。 c 题目的条件是固定区间的最值, 我们只要知道定义域内的增减性(单调性)即可,由于已经知道开口向下,所以只要分类讨 论对称轴的位置即可。123 问分别是分类讨论的三种情况 进阶 Ex:已知 f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若 f(x)的最小值为 h(t),写出 h(t)的表达式. 解析:所求二次函数解析式(所以图像也)固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函 数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.
[ 解 ] 如 图 所 示 ,? 函 数 图 象 的 对 称 轴 为 x ? ? 3 2 ,

? 1 ? 当 t ? 1≤ ? ? 2 ? 当 t≤ ?
?3?当 t
? ?

3 2

, 即 t≤ ?

5

5? 2 ? 2 时 , h ? t ? ? f ? t ? 1 ? ? ? t ? 1 ? ? 3 ? t ? 1 ? ? 5, 即 h ? t ? ? t ? 5 t ? 1 ? t ≤ ? ? . 2 2? ? 5 2
2

3 2
3 2

? t ? 1, 即 ?

? t≤ ?

29 ? 3? 时,h ?t? ? f ? ? ? ? ? . 2 4 ? 2? 3

时 , h ? t ? ? f ? t ? ? t ? 3 t ? 5.

? 2 5? ? ? t ? 5 t ? 1 ? t≤ ? ? , 2? ? ? ? 29 ? 5 3? 综 上 可 得 h (t ) ? ? ? ? ? ? t≤ ? ? , 4 ? 2 2? ? ? 3? ? 2 ? t ? 3t ? 5 ? t ? ? ? . 2? ? ?

3、方法技巧:待定系数法,恒成立问题之分离变量 Eg/Ex:已知二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2x+m 的上方,求实数 m 的取值范围.
【 解 析 】? 1 ? 设 函 数 f
2

? x ?= a x

2

+ b x+ 1( a ? 0 ), ∵ f ( x + 1 ) - f ( x ) = 2 x 带 入 假 设 的 解 析 式

则 a ( x+ 1) + b ( x+ 1)+ 1 = a x + b x+ 1 + 2 x, ?2a ? b ? b ? 2 ?a ? 1 整理得 ? ,解得 ? .所 以 f ?a ? b ? 1 ? 1 ?b ? ?1

2

? x ?= x
2

2

- x+ 1.
2

? 2 ? 当 x ? [-1,1]时 , 由 x

2

- x+ 1 ? 2 x+ m , 得 x - 3 x ? m - 1.当 x=1 时 ,x - 3 x ) m in = - 2 , (

所 以 m - 1 ? - 2 , 则 m ? - 1.故 实 数 m 的 取 值 范 围 是 (- ? , - 1).

Ex:若函数 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=4x+3,且 f(1)=3。X^2+m+2>f(x)在 R 上恒成立
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(1)求 f(x)的解析式; (2)求 m 的取值。 Key:f(x)=2x+1;m>0 三、幂函数 解析式
1
f (x) ? x
a

,当 a=1 时,一次函数;当 a=2 时,二次函数;当 a=-1 时,反比例函
x

数;当 a= 时,y=
2

。幂函数只要求掌握 a 为某些特殊值的时候的图象即可。

幂函数性质的推广 (1)一般地,当α >0 时,幂函数 y=xα 有下列性质: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随 x 的增大而增大【也就是 x>0 单调递增咯】 ③在第一象限内,α >1 时,图象是向下凹的;0<α <1 时,图象是向上凸的; ④在第一象限内,过(1,1)点后,图象向右上方无限伸展. (2)当α <0 时,幂函数 y=xα 有下列性质: ①图象都通过点(1,1) ②在第一象限内,函数值随 x 的增大而减小,图象是向下凹的;【也就是 x>0 单调递减咯】 ③在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近,向右与 x 轴无限地接近; ④在第一象限内,过(1,1)点后,|α |越大,图象下落的速度越快.

1、看指数判断图象 前人归纳的结论:幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限,是否在 第二、三象限内出现,要看奇偶性;在(0,1)上幂函数中指数愈大,函数图象愈靠近 x 轴(简 记“指大图低”)在(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴. Eg:如上图,为幂函数 y=x^n 在第一象限的图象,则 C1、C2、C3、C4 的大小关系为( ) A.C1>C2>C3>C4 B.C2>C1>C4>C3 C.C1>C2>C4>C3 D.C1>C4>C3>C2 【解析】 观察图形可知,C1>0,C2>0,且 C1>1,而 0<C2<1,C3<0,C4<0,且 C3<C4. 【答案】 C Ex:如上图是幂函数 y=xm 和 y=xn 在第一象限内的图象,则( ) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 key:A 2、比较大小---利用幂函数的单调性比较大小要注意以下几点:
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(1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形式. (2)构造的幂函数,要分析其单调性. (3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到. (4)若直接不易比较大小,可构造中间值,间接比较其大小. (中间值通常选用 0、1)

3、幂函数的概念(补加的)
已知f

? x ?= (m

2

+ 2m ) x

m + m- 1

2

, 实 数 m为 何 值 时 , f

?x?是:

? 1 ? 正 比 例 函 数 ;2 ? 反 比 例 函 数 ;3 ? 二 次 函 数 ;4 ? 幂 函 数 . ? ? ?
?1 ? 若 f ? x ? 是 正 比 例 函 数 , 则 ? ?2?若 f
?m ? 2m ? 0 ?
2

?m ? m ? 1 ? 1 ?
2 2

, 解 得 m=1;

?m ? 2m ? 0 ? , 解 得 m = -1; ?x?是反比例函数,则 ? 2 ?m ? m ? 1 ? ?1 ?
?m ? 2m ? 0 ?
2

?3? 若 f ? x ? 是 二 次 函 数 , 则 ? ?4?若 f ? x?是 幂 函 数 , 则 m
Ex :已 知 函 数 f
2

?m ? m ? 1 ? 2 ?
2

, 解 得 m=

?1 ? 2 2.

13



+ 2 m = 1, 解 得 m = - 1 ?
2

? x ?= ( m
2

2

+ 2 m +1) x

m + m- 1

是 幂 函 数 且 其 图 象 过 坐 标 原 点 , 则 实 数 m= _ _ _ _

? m ? 2 m ? 1 ? 1( 幂 函 数 前 面 的 系 数 是 1 ) ? 【解析】由题设知 ? , 解 得 m = - 2. 2 ? m ? m ? 1 ? 0 (过 原 点 就 是 a ? 0 ) ?

四、指数函数
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指数函数是高中新学的, 反应相同的底数 a 被自乘 x 次的结果。同时它也是理解对数函 数的基础。 1、指数运算能力
n * 根 式 的 性 质 : (n a) ? a ; 当 n 为 奇 数 时 ,

n

a

n

? a ;当

n 为偶数时,

n

a

n

?a ? | a |? ? ??a

(a ? 0 ) (a ? 0 )


(2)分数指数幂的概念
m n

①正数的正分数指数幂的意义是: a 指数幂等于 0.
? m n

?

n

a ( a ? 0 , m , n ? N ? , 且 n ? 1) .0 的正分数
m

②正数的负分数指数幂: a

? ( )n ? a

1

m n

1 m ( ) (a ? 0, m , n ? N ? , 且 n a

? 1) .0 的

负分数指数幂没有意义.注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

?a ? a
s
r s rs

r?s

( a ? 0, r , s ? R )

如果是除法就相减咯。

② (a

) ? a ( a ? 0, r , s ? R )
r

③ (ab)

? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? R )
r r

解决此类问题的关键是利用幂指式的运算性质,将根式与指数幂互化.一般地,进行指数幂的 运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,便于利用幂的运算性质,化繁为简.
? ?5 ? ?2 ?1 ?3 E G : ? a 3 b ? ?( ? 3 a 2 b ) ? ( 4 a 3 b ) 2 ? 6 ? ? 1 1 2 1

ab ;

? 5 ? ?3 ? 1 3 5 ? ? 5 ?1 5 原 式 ? ? ? a 6 b ? ? (2a b ? ) ? a 2 b 2 ? ? a 2 b 2 ? a 2 b 2 ? ? b ? ? . 3 2 4 4 4b ? 2 ?
1 1 1 1 3 1 1

?

1 3

e x : ( 0 .0 2 7 )

?1? ?? ? ?7?
? 1 3

?2

1

? 7 ?2 0 ? ? 2 ? ? ( 2 ? 1) ; ? 9?
1

? 27 ? 原式 ? ? ? ? 1000 ?

10 5 ? 25 ? 2 ? 72 ? ? ? 49 ? ? 1 ? ?45. ? ?1 ? 3 3 ? 9 ?

2、图像性质:

f (x) ? a

x

自变量在指数的位置,注意跟幂函数

f (x) ? x

a

区别

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(1) 指 数 函 数 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 的 图 象 的 相 对 位 置 与 底 数 大 小 的 关 系 如 图 所 示 , 则 0<c<d<1<a<b. 在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变 小; 即无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数随逆时针方向变大. *另记,作 x=1,从下往上,底数从小到大 3、比较大小 比较 0.7a 与 0.8a 的大小。利用上述的图象性质

设函数 y=0.7x 与 y=0.8x,则两个函数的图象关系如图. 当 x=a≥0 时,0.8a≥0.7a;当 x=a<0 时,0.8a<0.7a. [方法与技巧]对于不同底而同指数的指数值的大小的比较,利用图象法求解快捷而准确. *若底数与指数均不同,则可用中间值 1 Eg:比较 30.4 与 0.43 的大小. [解]因为 y=3x 是增函数,所以 30.4>30=1,又 y=0.4x 是减函数,所以 0.43<0.40=1,故 30.4>0.43.
e x : 设 y1 ? 4
0 .9

, y2 ? 8

0 .4 8

?1? , y3 ? ? ? ?2?

? 1 .5

,则( C .y 1 ? y 2 ? y 3
? 1 .5

) D .y1 ? y 3 ? y 2

A .y 3 ? y 1 ? y 2

B .y 2 ? y 1 ? y 3

解 析 : y1 ? 4

0 .9

? 2

1.8

, y2 ? 8
x

0 .4 8

? 2

1.4 4

?1? , y3 ? ? ? ?2?

? 2 .
1 .5

由 于 指 数 函 数 f ? x ? ? 2 在 R 上 是 增 函 数 , 且 1.8 ? 1.5 ? 1.4 4 , 所 以 y 1 ? y 3 ? y 2 , 选 D .
1 1

Ex:比 较 下 列 各 组 实 数 的 大 小 .

0 ? 1 ? 0 .8 2 ,.9 3 ;

? 2 ? 1.7

0 .3

,.9 ; 0

3 .1

?3? 4

0 .9

, 8

0 .4 8

1 - 1.5 , ) ( . 2

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1 1 1 1 1 1 1

【 解 析 】 1 ? 由 函 数 y= x 2 的 单 调 性 得 0 . 8 2 ? 0 .9 2 ; 由 指 数 函 数 的 单 调 性 得 0 .9 2 ? 0 .9 3 , 所 以 0 .8 2 ? 0 .9 3 . ?

? 2 ? 因 为 1.7 ?3?因 为 4

0 .3

? 1, 0 .9
1.8

3.1

? 1 , 所 以 1.7
1.4 4

0 .3

? 0 .9

3.1

.

0 .9

=2 , 8

0 .4 8

=2

1 -1 .5 1 -1 .5 1.5 0 .9 0 .4 8 , ) =2 , 所 以 由 指 数 函 数 的 单 调 性 得 4 ( ? ( ) ?8 . 2 2

五、对数 对数其实是指数的逆过程。指数函数是相同的底数 a 被自乘 x 次之后的结果; 对数就是 知道了这个结果和底数,求一下究竟自乘了多少次。 1、 (1)定义:一般地,对于指数式 ab=N,把数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN,其中 a 叫做对 数的底数,N 叫做真数. (2)对数性质 ①零和负数没有对数,即 N>0; ②1 的对数为 0,即 loga1=0(a>0 且 a≠1); ③底的对数等于 1,即 logaa=1(a>0 且 a≠1). b 对数恒等式: a lo g N ? N (a ? 0 且 a ? 1, N ? 0 ). ②logaa =b(a>0,且 a≠1,b∈R)
a

(4)常用对数:通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数 log10N 简记为 lgN. (5)自然对数:以无理数 e=2.71828…为底的对数称为自然对数,N 的自然对数 logeN 简记作 lnN. 2、对数的运算性质 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么

? 1 ? lo g a ( M ?N ) ? 2 ? lo g a
M N
n

? lo g a M ? lo g a N ;

? lo g a M ? lo g a N ; ? n lo g a M ? n ? R ? . ? n m lo g a b

? 3 ? lo g a M
( 4 ) lo g
a
m

b

n

(5 ) lo g a b ? lo g b a ? 1 ( 6 ) lo g b N ? lo g a N lo g a b

3、运算能力 在对数运算中,要注意以下几个问题: (1)在化简与运算中,一般先用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并. (2)ab=N? b=logaN(a>0,且 a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中要注意 互化.
e g : 求 下 列 式 子 的 值 . ? lo g 4 3 ? lo g 8 3 ? ? lo g 3 2 ? lo g 9 2 ? ? lo g 1
2 4

32 .

[ 解 ]原 式 ? lo g

?

2

2

3 ? lo g

2

3

3

? ? lo g

2 ? lo g 3

3

2

2 ? lo g 1 2 4
2

?

5

1 1 ?1 ?? ? 5 ? ? lo g 2 3 ? lo g 2 3 ? ? lo g 3 2 ? lo g 3 2 ? ? 3 2 ?2 ?? ? 4 ? 5 6 lo g 2 3 ? 3 2 lo g 3 2 ? 5 4 ? 5 4 ? 5 4 ? 5 2 .

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ex:化 简 、 求 值 : 1? 2 lg 2 ? lg 3 1 2 lg 0 .3 6 ? 1 3 lg 8

原式=

2 lg 2 ? lg 3 1 ? lg 0 .6 ? lg 2



2 lg 2 ? lg 3 1 ? lg 2 ? lg 3 ? 1 ? lg 2

=1 .

4、图象性质 f(x)=logax 对数函数的图象:经过点(1,0),且图象都在第一?四象限;都以 y 轴为渐近线(当 0<a<1 时,图象向上无限接近 y 轴;当 a>1 时,图象向下无限接近 y 轴) 无论在 x 轴的上侧还是下侧,底数随顺时针方向变大. *另记,作 y=1,从左往右,底数从小到大。 Eg:已知下图中曲线 C1、C2、C3、C4 是函数 y=logax 的图象,则曲线 C1、C2、C3、C4 对 应的 a 的值依次为( )注意第一象限内最左是 C3,第二是 C4,接着才是 C1、C2 1 1 1 1 1 1 1 1 A.3、2、 、 B.2、3、 、 C.2、3、 、 D.3、2、 、 3 2 3 2 2 3 2 3

5、大小比较 Eg: (如上图)若 loga2<logb2<0,则下列结论正确的是( ) A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1

key:B

Ex:(2010·天津卷)设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( ) A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 【解析】由于 b=(log53)2=log53·log53<log53<a=log54<1<log45=c,故 b<a<c,选 D. 【归纳】比较对数的大小,有三种具体情况: ①同底数,不同真数,利用对数函数的单调性进行判断; ②同真数,不同底数,利用对数换底公式转化为同底的对数; ③不同底数,也不同真数,利用指数、对数互化或寻找中间量进行判断.(1)中是同真不同 底的两个对数,用对数换底公式比较简便;(2)题是函数值大小的比较,一般方法是作差, 寻找自变量的取值范围或临界点,再作判断. 六、总结归纳几种基本初等函数,另外一个资料。

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