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【南方凤凰台】版高考数学大一轮复习第四章三角函数第课三角变换文-精


第 26 课

三角变换
页)

(本课时对应学生用书第

自主学习 回归教材

1.(必修4P131复习题16改编)若sinα - 3 cosα =m,则实数m的最小值为 【答案】-2

.

π? ? ?? ? ? 3 ? =m≥-2,得实数m的最小值为-2. 【解析】由sin α - 3 cos α =2sin ?
1 ? 2.(必修4P128练习3改编)已知cosα = 3 ,且α ∈(0,π ),那么sin 2 =

.

3 【答案】 3
? π? ? ? 0, ? 【解析】由α ∈(0,π ),得 2 ? 2 ? ,

?

1-cos? 3 ? 2 = 3 . 所以sin 2 =
1 1 3.(必修4P130习题5改编)若tan α = 3 ,tan(α +β )= 2 ,则tan β = 1 【答案】 7

.

1 1 2 3 tan(? ? ? )-tan? 1 1 1 1? ? 2 3 =7 . 【解析】tan β =tan[(α +β )-α ]= 1 ? tan(? ? ? )tan? =

1

tan950 -tan350 - 3 0 0 4.(必修4P117习题1改编)化简: tan95 tan35 =
【答案】 3

.

tan950 -tan350 0 0 【解析】因为tan(95°-35°)= 1 ? tan95 tan35 = 3 ,所以原式

3(1 ? tan950 tan350 )- 3 tan950 tan350 = = 3.

? 5.(必修4P131复习题13改编)若sinα =m,cosα =n,则tan 2 =
m ? 1-n ? ? 或写成 ? m? 【答案】 1 ? n ?

.(用m,n 表示)

1.在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中,要注意将不同名的三角函数化成同名 的三角函数,如遇到正切、正弦、余弦并存的情况,一般要将正切化为正弦或余弦.

2.要注意对“1”的代换,如1=sin α +cos α =tan

2

2

? π 4 ;还有1+cos α =2cos2 2 ,1-cos

α =2sin

? 2 2

.

3.对于 sin α cos α 与sin α ±cos α 同时存在的试题,可通过换元完成.如设t=sin

t 2 -1 α ±cos α ,则sin α cos α =± 2 .
4.常见的“变角”方法有:2α =(α +β )+(α -β );α =(α +β )-β =(α -β )+β .

2

【要点导学】 要点导学 各个击破

倍角公式的拓展 例1 求sin 50°(1+ 3 tan 10°)的值. 【解答】sin 50°(1+ 3 tan 10°)

? 3sin100 ? ? ?1 ? cos100 ? ? ? =sin 50° ?

?1 ? 3 2 ? ? cos100 ? sin100 ? 2 ?2 ? 0 cos10 =sin 50°?
2cos40 0 sin40 0 cos10 0 = sin80 0 cos100 0 0 = cos10 = cos10 =1.

变式 计算:tan 70°cos10°( 3 tan 20°-1).

? 3sin200 -cos200 sin70 0 ? ? 0 cos200 ? cos70 【解答】原式= ?cos 10°

? ? ? ?

? 3 ? 1 cos100 ? 2 ? sin200 - cos200 ? 0 0 0 2 ? 2 ? -2cos10 sin10 -sin20 0 cos70 0 cos700 = = = cos70 =-1.

3

角的变换

? π? ? π 3π ? 2 ? x- ? ? , ? 例2 已知cos ? 4 ? = 10 ,x∈ ? 2 4 ? .
(1)求sin x的值;

π? ? ? 2x ? ? 3 ? 的值. (2)求sin ? π? π ? ?x? ? 4 ? + 4 ;(2)利用两角和的正弦公式求值. 【思维引导】(1)x= ?
? π 3π ? ? , ? 【解答】(1)方法一:因为x∈ ? 2 4 ? , π ?π π? ?? , ? 所以x- 4 ? 4 2 ? ,
? ? ? π ? 1-cos2 ? x- π ? 1- ? 2 ? 7 2 ? 10 ? ? ? ? x- ? ? ? = 10 . ? 4? = 故sin ? 4 ? =
2

?? π ? π ? ?? x- 4 ? ? 4 ? ? ? sin x=sin ??
? π? ? π? π π ? x- ? ? x- ? 4 4 ? cos 4 +cos ? ? sin 4 =sin ? 7 2 2 2 2 4 = 10 ? 2 + 10 ? 2 = 5 . 2 2 2 方法二:由题设得 2 cos x+ 2 sin x= 10 ,
1 即sin x+cos x= 5 .
又因为sin x+cos x=1, 所以25sin x-5sin x-12=0,
2 2 2

4 3 解得sin x= 5 或sin x=- 5 ,

4

? π 3π ? 4 ? , ? 因为x∈ ? 2 4 ? ,所以sin x= 5 .

? π 3π ? ? , ? (2)因为x∈ ? 2 4 ? ,
3 所以cos x=- 1-sin x =- 5 ,
2

24 所以sin 2x=2sin xcos x=- 25 , 7 2 cos 2x=2cos x-1=- 25 ,

π? ? π π 24 ? 7 3 ? 2x ? ? 3 ? =sin 2xcos 3 +cos 2xsin 3 =50 所以sin ? . π? π ? π? π ? ?? ? ? ?? - ? 4 ? - 4 = ? 4 ? + 4 ,α =(α +β )-β , 【精要点评】角的变换非常灵活,如θ = ?

? ? ? ? -?
α =

2

+ 2 等,需要在平时的训练中细心体会.

?π ? 3 sin2 x ? 2sin 2 x 17 π 7π ? x ? ? ? = 5 ,且 12 <x< 4 ,求 1-tanx 变式 已知cos ? 4 的值.
17 π 7π 【解答】因为 12 <x< 4 , 5π π 所以 3 <x+ 4 <2π .

?π ? 3 ? ? x? ?=5 , 又因为cos ? 4 ?π ? 4 ? ? x? ? =- 5 . 所以sin ? 4

?? π ? π? ?? 4 ? x ? - 4 ? ? ? cos x=cos ??

5

?π ? ?π ? 2 π π ? ? x? ? ? x? ? cos 4 +sin ? 4 ? sin 4 =- 10 , =cos ? 4

7 2 从而sin x=- 10 ,tan x=7.
2sinxcosx ? 2sin 2 x 1-tanx 故原式=

? 7 2? ? 2? ? 7 2? 2? ??? ?? ? ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? 1-7 =
28 =- 75 .

2

三角恒等变换公式的综合应用 微课6 ● 典型示例 例3 (2015?苏州调查)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C均在单位圆上,已

3 知点A在第一象限且横坐标为 5 ,点B在第二象限,点C(1,0).
(1)设∠COA=θ ,求sin 2θ 的值; (2)若△AOB为正三角形,求点B的坐标.

(例3)

【思维导图】

6

3 【规范解答】(1)由题设得cos θ = 5 . 4 因为点A在单位圆上且在第一象限,所以sin θ = 5 . 24 从而sin 2θ =2sin θ cos θ = 25 .
(2)因为△AOB为正三角形,所以∠BOC=∠AOC+60°=θ +60°.

3-4 3 所以cos ∠BOC=cos(θ +60°)=cos θ cos 60°-sin θ sin 60°= 10 , 4?3 3 sin ∠BOC=sin(θ +60°)=sin θ cos 60°+cos θ sin 60°= 10 .
? 3-4 3 4 ? 3 3 ? ? ? 10 , 10 ? ? ?. 因此,点B的坐标为 ?

● 总结归纳 若题目所给条件中含有角及角所在边上的点的坐标,这时优先考虑应用三角函数的定义

? x ? rcos? , ? ? y ? rsin? 求解.
● 题组强化

2cos 2? -1 ?π ? ?π ? 2tan ? -? ? ? sin 2 ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?= 1.计算:
【答案】1

.

7

【解析】原式

cos2? ?π ? 2sin ? -? ? cos2? cos2? ? 4 ? ? cos 2 ? π -? ? ? ? ?π ? ? 4 ? 2sin ? π -? ? ? cos ? π -? ? sin ? π -2? ? cos2? cos ? -? ? ? ? ? ? ? ? ?4 ? ?4 ? ?4 ?= ?2 ? = cos2? =1. = =

2.已知向量a=(sin θ ,cos θ ),b=(3,-4),若a∥b,则tan 2θ =

.

24 【答案】- 7 3 【解析】因为a∥b,所以-4sin θ -3cos θ =0,所以tan θ =- 4 ,从而tan

? 3? 2?? - ? ? 4? 2 2tan? 1- ? - 3 ? 24 ? ? 2 2θ = 1-tan ? = ? 4 ? =- 7 .
4 5 3.在△ABC中,若cos A= 5 ,cos B= 13 ,则cos C= 16 【答案】 65 4 5 π π 【解析】在△ABC中,0<A<π ,0<B<π ,cos A= 5 >0,cos B= 13 >0,得0<A< 2 ,0<B< 2 ,从 3 12 而sin A= 5 ,sin B= 13 , 3 12 4 5 16 所以cos C=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B= 5 ? 13 - 5 ? 13 = 65 .

.

cos20 0 0 4.计算: sin20 ?cos 10°+ 3 sin 10°tan70°-2cos 40°=
【答案】2

.

8

3sin100 sin700 cos20 0 cos10 0 sin20 0 cos700 【解析】原式= + -2cos 40°

cos200 cos100 ? 3sin100 cos200 sin200 = -2cos 40° cos200 (cos100 ? 3sin100 ) sin200 = -2cos 40°
2cos200 (cos100 sin30 0 ? sin10 0 cos30 0 ) sin200 = -2cos 40° 2cos20 0 sin40 0 -2sin20 0 cos40 0 sin20 0 = =2.

? π? ? 0, ? 5.如图,已知OA=6,AB=3,AB⊥AO,∠xOA=θ ,θ ∈ ? 2 ? .
(1)用θ 表示点B的纵坐标y; (2)求y的最大值.

(第5题) 【解答】(1)分别过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,过A作AE⊥BD于点E,

? π? ? 0, ? 则∠ABE=∠xOA=θ ,且y=BE+ED=BE+AC=3cos θ +6sin θ ,其中θ ∈ ? 2 ? .
1 (2)由(1)知y=6sin θ +3cos θ =3 5 sin(θ +φ ),其中φ 为锐角且tan φ = 2 ,故y的最大值
为3 5 .

9

1 2 1.已知cos 2α = 4 ,那么sin α = 3 【答案】 8

.

1 3 2 【解析】因为cos 2α =1-2sin α = 4 ,所以sin α = 8 .
2

3 2.已知sin α = 5 ,α 是第二象限角,且tan(α +β )=1,则tan 2β = 7 【答案】- 24

.

3 3 【解析】由sin α = 5 且α 是第二象限角,得tan α =- 4 ,因为(α +β )-α =β ,所以tan

tan(? ? ? )-tan? 2tan? 7 2 1 ? tan( ? ? ? )tan ? 1-tan ? β =tan[(α +β )-α ]= =7,所以tan 2β = =- 24 .
3.(2015?四川卷)已知sin α +2cos α =0,则2sin α cos α -cos α 的值为 【答案】-1 【解析】由已知可得sin α =-2cos α ,
2

.

2sin? cos? -cos 2? 2tan? -1 -4-1 2 2 2 2 即tan α =-2.2sin α cos α -cos α = sin ? ? cos ? = tan ? ? 1 = 4 ? 1 =-1.

π? ? π? 1 ? ?? - ? ? 2? - ? 3 ? = 3 ,则sin ? 6 ? 的值是 4.(2015?宿迁一模)若cos ?
7 【答案】- 9 π 1 π 【解析】令β =α - 3 ,则cos β = 3 ,α =β + 3 , π π 从而2α - 6 =2β + 2 ,

.

10

π? ? ?π ? 1 7 ? 2? - ? ? ? 2? ? 6 ? =sin ? 2 ? =cos 2β =2cos2β -1=2? 9 -1=- 9 . 所以sin ?
5.(2015?广东卷)已知tan α =2.

π? ? ?? ? ? 4 ? 的值; (1)求tan ?
sin2? (2)求 sin ? ? sin? cos? -cos2? -1 的值.
2

π 4 π? ? tan? ? 1 2 ? 1 π ? ? ? ? 1-tan? tan 4 ?= 4 = 1-tan? = 1-2 =-3. 【解答】(1)tan ? tan? ? tan
sin2? (2) sin ? ? sin? cos? -cos2? -1
2

2sin? cos? 2 = sin ? ? sin? cos? -(2cos ? -1)-1
2

2sin? cos? 2 = sin ? ? sin? cos? -2cos ?
2

2tan? = tan ? ? tan? -2
2

2? 2 = 2 ? 2-2
2

=1.

【融会贯通】 融会贯通 能力提升

11

如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角α ,β ,它们的终边分别交单

2 2 5 位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别为 10 和 5 .
(1)求sin α ,sin β 的值; (2)求sin(α +2β )的值.

【思维引导】

2 【 规 范 解 答 】 (1) 由 单 位 圆 上 三 角 函 数 的 定 义 , 可 得 cos α = 10 , cos 2 5 β = 5 .????3分 7 2 由于α ,β 为锐角,所以sin α = 1-cos ? = 10 ,
2

sin

5 1-cos ? 5 β = = .
2

?????????????????7分 (1) 知 sin 2β =2sin β cos

(2)



5 2 5 4 β =2? 5 ? 5 = 5 , ???????????????9分

12

cos

2β =2cos β -1=2?

2

?2 5? ? ? 5 ? ? ? ?

2

-

3 1= 5 , ????????????????????11分
所以sin(α +2β )=sin α cos 2β +cos α sin 2β

7 2 3 2 4 2 = 10 ? 5 + 10 ? 5 = 2 . ??????????????????
14分

【精要点评】高考题增加了三角函数的定义,以单位圆上的三角定义给出相应函数值.从 实际考查的情况来看,这个题给那些注重单纯训练解题而忽视概念的学生以沉重地打击,相当 多的学生在这个问题上失分.事实上,新课标重视从概念出发解决数学问题,关注数学概念的 本质.通过这道题,其实也在提醒我们在备考的时候要善于回头,重视一些基本概念.

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第51~52页.

【检测与评估】 第26课 三角变换 一、 填空题

?π ? 3 ? -? ? ? = 5 ,则cos(π -2α )= 1.若sin ? 2

.

4 ? 2.已知cos θ = 5 ,且270°<θ <360°,则cos 2 =

.

13

?π ? 2 ? ?? ? ? = 10 ,θ ∈[0,π ],则cos 2θ = 3.若sin ? 4

.

4 4.已知θ 为锐角,sin(θ +15°)= 5 ,则cos(2θ -15°)=
? π? 1 ? 0, ? 4 ? ,sin 2θ = 16 ,则cos θ -sin θ 的值为 5.若θ ∈ ?

.

.

? 5π 3π ? ? , ? 1x 6.已知函数f(x)= ,当α ∈ ? 4 2 ? 时,式子f(sin 2α )-f(-sin 2α )可化简
为 .

1 1 1 1 ? 3π ? ? ? cos2? ? π, ? 2 2 2 2 2 ? ? 7.若α ∈ ,化简 =

.

5 ? 1 8.设α ,β ∈(0,π ),且sin(α +β )= 13 ,tan 2 = 2 ,则cos β =

.

二、 解答题

π? ? π 2 ?x? ? 4 ? = 10 . 9.已知- 2 <x<0,sin ?
(1)求sin x-cos x的值.

x x x x -sin 2 -2sin cos ? cos2 2 2 2 2 tanx ? 1 (2)求 的值.

3tan100 ? 1 2 0 0 10.求 (4cos 10 -2)sin10 的值.
14

7 2 11.已知α ,β ∈(0,π ),且tan α =2,cos β =- 10 .
(1)求cos 2α 的值; (2)求2α -β 的值.

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果)

1 1 12.已知tan α = 7 ,tan β = 3 ,并且α ,β 均为锐角,则α +2β =

.

? ? ? 13.已知θ 是第三象限角,|cos θ |=m,且sin 2 +cos 2 >0,则cos 2 =

.

【检测与评估答案】 第26课 三角变换

7 1. 25

?π ? 3 3 ? -? ? ? = 5 ,得cos α = 5 .所以cos(π -2α )=-cos 2α =1【解析】由sin ? 2

7 2 2cos α = 25 .

3 10 2.- 10

? ? 【解析】因为270°<θ <360°,所以135°< 2 <180°,所以cos 2 =1?

1 ? cos? 2 =-

3 10 2 =- 10 .

4 5

15

7 3. - 25

? π 5π ? π ? , ? 【解析】由于θ ∈[0,π ],所以 4 +θ ∈ ? 4 4 ? .又因为

?π ? ?π ? ?π ? 7 2 2 2 π ? ?? ? ? ,π ? ? ?? ? ? = 10 < 2 ,所以 4 +θ ∈ ? 2 ? ,所以cos ? 4 ? =- 10 ,所以cos sin ? 4 ?π ? ?π ? ?π ? 7 ? ? 2? ? ? ?? ? ? ?? ? ? =2sin ? 4 ? ?cos ? 4 ? =- 25 . 2θ =sin ? 2
4 ? 2 3? ?? , ? 5 ? 2 2 ? ? ? ,所以 【解析】因为θ 为锐角,且sin(θ +15°)=

17 2 4. 50

θ +15°∈(45°,60°),2θ +30°∈(90°,120°),所以cos(2θ +30°)=1-

?4? 7 24 2 0 ? ? 1-cos (2? ? 30 ) 25 2 2sin (θ +15°)=1-2? ? 5 ? =- 25 ,从而sin(2θ +30°)= = ,所以
cos(2θ -15°)=cos[(2θ +30°)-45°]=cos(2θ +30°)cos 45°+sin(2θ +30°)sin 45°=-

2

2 24 2 17 2 7 25 ? 2 + 25 ? 2 = 50 .
? π? ? 0, ? 【解析】因为θ ∈ ? 4 ? ,所以cos θ >sin θ ,所以cos θ -sin
= 1-sin2? =

5.

15 4

θ =

(cos? -sin? ) 2

1-

1 15 16 = 4 .

6. 2cos α

(sin? -cos? ) 【解析】f(sin 2α )-f(-sin 2α )= 1-sin2? - 1 ? sin2? = 2

? 5π 3π ? ? , ? (sin? ? cos? ) =|sin α -cos α |-|sin α +cos α |.因为α ∈ ? 4 2 ? ,所以sin
2

α <cos α <0,所以原式=cos α -sin α +sin α +cos α =2cos α .

? 7. sin 2

? 3π ? ? π, ? 【解析】因为α ∈ ? 2 ? ,

16

1 1 1 1 ? ? cos2? 所以 2 2 2 2
1 1 ? cos2? 2 2 =

? 1 1 ? - cos? sin 2 =sin 2 . = 2 2 =
1 2tan 2 2 2 ?1? 4 ? 1 2 ? 1- ? ? 1-tan 2 2 2 【解析】因为tan = ,所以tan α = = ? 2 ? = 3 ,而α ∈(0,π ),所

?

2?

16 8.- 65

?π π? sin? 4 4 3 ? ,? 2 2 以α ∈ ? 4 2 ? .由tan α = cos? = 3 及sin α +cos α =1得sin α = 5 ,cos α = 5 ;又 ? 3π ? 2 5 12 ? ,π ? ? ,cos(α +β )=- 13 . sin(α +β )= 13 < 2 ,所以α +β ∈ ? 4
12 3 5 4 所以cos β =cos[(α +β )-α ]=cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α =- 13 ? 5 + 13 ? 5 =16 65 .

2 π π 1 9. (1) 方法一:由题意得sin xcos 4 +cos xsin 4 = 10 ,所以sin x+cos x= 5 .
π 因为- 2 <x<0,所以sin x<0,cos x>0.



1 ? ?sinx ? cosx ? , 5 ? 2 2 ? sin x ? cos x ? 1, ?

3 ? sinx ? - , ? ? 5 ? ?cosx ? 4 , ? 5 得?

7 所以sin x-cos x=- 5 .

17

1 2 方法二:同方法一知sin x<0,cos x>0,(sin x+cos x) = 25 , 1 所以1+2sin xcos x= 25 , 24 所以2sin xcos x=- 25 . 49 又sin x-cos x<0,(sin x-cos x) =1-2sin xcos x= 25 ,
2

7 所以sin x-cos x=- 5 .

cosx -sinx sinx ?1 (2) 原式= cosx
(cosx-sinx)cosx = sinx ? cosx

7 4 ? 5 5 28 1 = 5 = 5 .

3sin100 ?1 cos100 0 0 10. 原式= 2cos20 sin10

3sin100 ? cos100 0 0 0 = 2cos20 sin10 cos10
? 3 ? 1 2? sin100 ? cos100 ? 2 ? 2 ? 0 0 cos20 sin20 =
4(sin10 0 cos30 0 ? cos10 0 sin30 0 ) 2sin20 0 cos20 0 = 4sin40 0 0 = sin40 =4.

18

sin? 11. (1) 因为tan α =2,所以 cos? =2,
即sin α =2cos α .又sin α +cos α =1,
2 2

4 1 2 解得sin α = 5 ,cos α = 5 .
2

3 所以cos 2α =cos α -sin α =- 5 .
2 2

(2) 因为α ∈(0,π ),且tan α =2,

? π? 3 ? 0, ? 所以α ∈ ? 2 ? .又cos 2α =- 5 <0, ?π ? 4 ? ,π ? ? ,sin 2α = 5 . 故2α ∈ ? 2 ?π ? 7 2 2 ? ,π ? ?. 由cos β =- 10 ,β ∈(0,π ),得sin β = 10 ,β ∈ ? 2
? ? 2 2 4 ?- 7 2 ? ?- 3 ? ? 10 ? ? ? ? - ? 5 ? ? 10 =- 2 . 所以sin(2α -β )=sin 2α cos β -cos 2α sin β = 5 ? ?

? π π? ?- ,? 又2α -β ∈ ? 2 2 ? ,
π 所以2α -β =- 4 . π 12. 4 1 1 π 【解析】因为tan α = 7 <1,tan β = 3 <1,且α ,β 均为锐角,所以0<α < 4 ,

2tan? 3 π 3π 2 0<β < 4 ,所以0<α +2β < 4 .又tan 2β = 1-tan ? = 4 ,所以
1 3 ? 7 4 tan? ? tan2? π 1 3 1- ? 1-tan ? tan2 ? tan(α +2β )= = 7 4 =1,所以α +2β = 4 .

19

1-m 13.- 2

? 【解析】因为θ 为第三象限角,|cos θ |=m,所以 2 为第二或第四象限角,cos

1 ? cos? 1-m ? ? ? ? 2 θ =-m.因为sin 2 +cos 2 >0,所以 2 为第二象限角,所以cos 2 ==- 2 .

20


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