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高二数学理科第二学期期中考试试卷1


高二数学(理)第二学期期中考试试卷 1
时间:120 分钟 姓名: 一、选择题(共 8 题,每题 5 分) 1.复数 z ? (2 ? i )i 在复平面内的对应点在( A.第一象限 2.定积分 B.第二象限 ) 分数:100 分 班级:

) C.第三象限 D.第四象限

1 1 ? 01 ? x dx 的值为(
B.

ln2

A.1

C.

2 1 ? 2 2

D.

1 1 ln 2 ? 2 2


3 3.曲线 y ? x 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴、直线 x ? 2 所围成的三角形的面积为(

A.

8 3

B.

7 3

C.

5 3


D.

4 3

4. 已知 a ? 1? 7, b ? 3 ? 5, c ? 4 则 a,b,c 的大小关系为( A.a>b>c 5.曲线 y ? A. [ B.c>a>b C.c>b>a

D.b>c>a ) D. [? 3, ??) )

x3 ? 3x ? 2 上的任意一点 P 处切线的斜率的取值范围是(
B. (

3 , ??) 3

3 , ??) 3

C. (? 3, ??)

6. 设 1, a ? bi, b ? ai 是一等比数列的连续三项,则 a , b 的值分别为(

A. a ? ?

3 1 ,b ? ? 2 2 3 1 ,b ? 2 2

B.

1 3 a ? ? ,b ? 2 2 1 3 a ? ? ,b ? ? 2 2

C. a ? ?

D. )

7. 函数 f ( x) ? x ln x 的大致图像为( y y

y

y

o A

1

o x B

1

x o C 1 x

o

1

x

D

1

8. ABCD-A1B1C1D1 是单位正方体,黑白两只蚂蚁从点 A 出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完 一段” . 白蚂蚁爬行的路线是 AA1 →A1D1 ,?,黑蚂蚁爬行的路线是 AB→ D1 BB1,?,它们都遵循如下规则:所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在直线必须是 C1 * 异面直线(i∈N ) ,设黑白蚂蚁都爬完 2007 段后各自停止在正方体的某个顶 A1 B1 点处,则此时黑白蚂蚁的距离是( ) A. 2 B.1 C.0 D. 3 A D B

二、填空题(共 4 题,16 分)

C

? ?) 上是增函数, 9. 已知 f ( x) ? ln( x 2 ? ax ? 2a ? 2)(a ? 0) ,若 f ( x) 在 [1,
则 a 的取值范围是 10. 若复数 z ? . .

1? i 1? i ? ,则复数 z= 1? i 1? i
2

11.质点运动的速度 v ? (18t ? 3t ) m/ s ,则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是 . 12. 若 a,b ? R ,且 (a ? i)2 ? (1 ? b i)2 ? 3 ? 2i ,则 三、解答题(共 5 题,44 分,6*8*8*10*12) 13.已知复数 z ? (m2 ? 8m ? 15) ? (m2 ? 9m ? 18)i 在复平面内表示的点为 A,实数 m 取什么值时, (1)z 为实数?z 为纯虚数? (2)A 位于第三象限?

a 的值等于 b



14. 观察给出的下列各式: (1) tan10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan10 ? 1 ; (2) tan 5 tan15 ? tan15 tan 70 ? tan 70 tan 5 ? 1 . 由以上两式成立,你能得到一个什么样的推广?证明你的结论.

15. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? ?1 时,函数取极 ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 值 1. (1)求 a,b,c 的值;

, 1?,均有 (2)若对任意的 x1,x2 ? ?? 1

f (x1 ) ?f (x2 )? s 成立,求 s 的最小值

2

16.已知各项为正的数列 {an } 的首项为 a1 ? 2sin ?( ? 为锐角) , 4 ? an ? an ?1 ? 2 , 数列 {bn } 满
2 2

足 bn ? 2n?1 an . (1)求证:当 x ? (0,

?
2

) 时, sin x ? x

(2)求 an ,并证明:若 ? ?

?
4

,则 a1 ? a2 ?

? an ? ?

(3)是否存在最大正整数 m,使得 bn ? m sin ? 对任意正整数 n 恒成立?若存在,求出 m;若不存在, 请说明理由.

17.若 xi ? 0(i ? 1,2,3,?, n) ,观察下列不等式:

( x1 ? x2 )(

1 1 ? )?4 x1 x2



( x1 ? x2 ? x3 )(

1 1 1 ? ? )?9 x1 x2 x3



?











( x1 ? x2 ? ? ? xn )(

1 1 1 ? ? ? ? ) 将满足的不等式,并用数学归纳法加以证明。 x1 x2 xn

3

答案:

14、解:可以观察到: 10 ? 20 ? 60 ? 90 , 5 ? 15 ? 70 ? 90 ,故可以猜想此推广式为: 若

? ? ? ?? ?

π 2





?, , ?

? 都







kπ ?

π (k ? Z) 2







t a ? n

? ?t a n ?

?t ? a n

?. t? a ? n

t a n

t a n

1

证明如下:由 ? ? ? ? ? ? 所以 tan(? ? ? ) ? tan ?

π π ,得 ? ? ? ? ? ? , 2 2

?π ? ? ? ? ? cot ? , ?2 ?

又因为 tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? , 1 ? tan ? tan ?

所以 tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? cot ? (1 ? tan ? tan ? ) , 所以 tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? (tan ? ? tan ? )

? tan ? tan ? ? tan ? cot ? (1 ? tan ? tan ? ) ? 1 .
15、(1)函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, ? ax ? bx ? cx(a ? 0)
3 2
2 ? f( ? x) ? ? f(x), 即 bx ? 0 对于 x ? R 恒成立,? b ? 0 .

f(x) ? ax3 ? cx , f ? (x) ? 3ax2 ? c
1 3 ? a ? c ? 1 ,解得: a ? ,c ? ? . ? x ? ?1 时,函数取极值 1. ∴3a ? c ? 0, 2 2
4

c?? 故 a ? ,b= 0, ? (2) f(x)

1 2

3 2

1 3 3 3 3 3 x ? x , f ?( x) ? x 2 ? ? ( x ? 1)( x ? 1) , 2 2 2 2 2

? x) ? 0 ,? f ( x)在x ? ?? 1,1? 上是减函数, x ? ?? 1, 1? 时 f (
故? f ( x)在x ? ?? 1,1? 上最小值为 f (1) =-1,最大值为 f (?1) ? 1 , 因 此 当

x1,x2 ? ?? 1, 1?

时, f (x1 ) ?f (x2 )? f Max ( x) ? fmin ( x) ? 2 . f (x1 ) ?f (x2 )? s ? f Max ( x) ? fmin ( x) ? s ,故 s 的最小值为 2 16、解: (1)令 f ( x) ? sin x ? x?(0 ? x ? ∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 sinx<x (2)由 4 ? an ? an ?1 ? 2 得 an?1 ?
2 2

?
2

) ,则 f ?( x) ? cos x ? 1?? 0(0 ? x ?

?
2

) 故 f ( x)



2 2 ? 4 ? an (an ? 0) 又 a1 ? 2sin ? ,

∴a2 ?

2 ? 4 ? a12 ? 2 ? 2 cos ? ? 2sin

?
2

, a3 ?

2 2 ? 4 ? a2 ? 2 ? 2cos

?
2

? 2sin

?
4



猜想: an ? 2 sin

?
2 n ?1

下面用数学归纳法证明: ①n=1 时, a1 ? 2sin ? ,成立, ②假设 n=k 时命题成立,即 ak ? 2 sin

?
2 k ?1

,则 n=k+1 时,

2 ak ?1 ? 2 ? 4 ? ak ? 2 ? 4 ? (2sin

?
2
k ?1

) 2 ? 2 ? 2 cos

?
2
k ?1

= 2sin

?
2k



即 n=k+1 时命题成立.由①②知 an ? 2 sin 由(1)知 an ? 2sin

?
2 n ?1

对 n ?N*成立.

?
2
n ?1

?

?
2n ? 2

, n ?N*

故 a1 ? a2 ?

? an ?

?
2
?1

?? ?

?
2

?

1 2? [1 ? ( ) n ] ? 2 ? 4? [1 ? ( 1 ) n ] ? 4? ? n?2 ? 1 2 2 1? 2

因此 ? ?

?
4

时, a1 ? a2 ?

? an ? ?

5

(3) bn ? 2

n ?1

an ? 2n ? 2 sin

?
2n ?1

2sin n 2sin n b 1 2 ? 2 ,故 n ?1 ? ? ? 1 ,{bn } 为递 ? ? ? ? bn sin n ?1 2sin n cos n cos n 2 2 2 2

?

?

增数列,因此要使 bn ? m sin ? 对任意正整数 n 恒成立,只需 b1 ? m sin ? 成立,而 b1 ? 8sin ? , 因此 m ? 8 ,故存在最大自然数 m=8 满足条件。 另 证: 由于 b1 ? m sin ? , 可得 m ? 8 , 因此 可猜想 m 的 最 大值 m ? 8 , 下面 证明

bn ? 8sin ? ,即证 2n sin

?
2n ?1

? 2sin ? 恒成立.

①n=1 时, b1 ? 2sin ? ? 2sin ? ,成立, ②假设 n=k 时命题成立,即 2 sin
k

?
2k ?1

? 2sin ? ,则 n=k+1 时,

2k ?1 sin

?
2k

? 2k 2sin

?
2k

? 2k

2sin

?
2
k

cos

?
2 ? 2k
k

sin

cos
n

?
2k

2k ?1 ? 2sin ? ? 2sin? , ? ? cos k cos k 2 2

?

即 n=k+1 时命题成立.由①②知 2 sin

?
2n ?1

? 2sin ? 对 n ?N*成立.

即 bn ? 8sin ? 对 n ?N*成立,由 m ? 8 知正整数 m 的最大值为 8

17、解:将满足的不等式为 ( x1 ? x 2 ? ? ? x n )(

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n 2 (n ? 2) ,证明如下: x1 x2 xn

1 0 当 n ? 2 时,结论成立; 2 0 假设 n ? k 时,结论成立,即 ( x1 ? x2 ? ? ? xk )(

1 1 1 ? ??? ) ? k 2 x1 x2 xk

那么,当 n ? k ? 1 时, ( x1 ? x2 ? ? ? xk ? xk ?1 )(

1 1 1 1 ? ??? ? )? x1 x2 xk xk ?1

( x1 ? x2 ? ? ? xk )(

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) ? ? xk ?1 ( ? ?? x1 x2 xk xk ?1 x1 x2

?

1 1 1 1 ) ? 1 ? k 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ? ? ? x k )( ? ? ? ? ) ? 1 ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1) 2 xk x1 x 2 xk
显然,当 n ? k ? 1 时,结论成立。 由 1 、 2 知对于大于 2 的整数 n , ( x1 ? x 2 ? ? ? xn )(
0 0

1 1 1 ? ? ? ? ) ? n 2 成立。 x1 x2 xn

6

7


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