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§15.1两角和与差的正弦、余弦公式


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授课 日期 班级
15 对口 2

课题:

§15.1 两角和与差的正弦、余弦公式 推导并掌握两角和与差的正弦、余弦公式,懂

教学目的要求:

得运用这些公式解决实际问题 教学重点、难点: 的三角函数的推导 授课方法: 讲授法 教学参考及教具(含多媒体教学设备) : 三角板,圆规,PPT 授课执行情况及分析: 两角和与差的三角函数的运用;两角和与差

板书设计或授课提纲
1、两点间的距离公式 2、和角公式. PPT 演示 3、差角公式. 4、课堂练习


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容、方 法


和 过





附 记





引入新课: 在研究三角函数时,我们还常常遇到这样的问题:已知任意角α , 复 习 提 β 的三角函数值,如何求出α +β ,α -β 或 2α 的三角函数值?下面我 问 们先引出平面内两点间的距离公式,并从两角和的余弦公式谈起: 我们在初中已经求过数轴上两点间的距离, 知道这实际上就是求数 轴上这两点所表示的两个数的差的绝对值. 现在考虑坐标平面内的任意 两点 P1(x1, y1), P2(x2,y2)(图 4-17),从点 P1, P2 分别作 x 轴的垂线 P1M1, P2M2,与 x 轴交于点 M1(x1,0),M2(x2,0);再从点 P1,P2 分别作 y 轴的 垂线 P1N1,P2N2,与 y 轴交于点 N1(0,y1),N2(0,y2).直线 P1N1 与 P2M2 相 交于点 Q.那么

P1Q=M1M2=|x2-x1|, QP2=N1N2=|y2-y1|. 于是由勾股定理,可得

板书

板书

=|x2-x1|2+|y2-y1|2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2. 由此得到平面内 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式 导出新 课


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学生思 考

接下来,我们继续考虑如何运用两点间的距离公式,把两角和的余 弦 cos(α +β )用α ,β 的三角函数来表示的问题.

如图 4-18,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角α ,β 与β ,使角α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角β 的始 板 书 画 边为 OP2, 终边交⊙O 于点 P3, 角-β 的始边为 OP1, 终边交⊙O 于点 P4. 这 法 时点 P1,P2,P3,P4 的坐标分别是 P1(1,0), P2(cosα ,sinα ), P3(cos(α +β ),sin(α +β )), P4(cos(-β ),sin(-β )). 由 P1P3=P2P4 及两点间距离公式,得 [cos(α +β )-1]2+sin2(α +β ) =[cos(-β )-cosα ]2+[sin(-β )-sinα ]2. 展开并整理,得 2-2cos(α +β ) =2-2(cosα cosβ -sinα sinβ ), 所以 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sin 学生思 考片刻 后 回 首先复 习四个 象限


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答,教 师适时 予以纠 正

β . 这个公式对于任意的角α 、β 都成立. 在公式 C(α +β )中用-β 代替β ,就得到

(C(α +β ) )

cos(α -β )=cosα cos(-β )-sinα sin(-β ), 即 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sin β . 运用公式 C(α -β ),又可得到

(C(α -β ))

=sinα ;

重点
这就是说,诱导公式 板书

当α 为任意角时仍然成立. 再运用 C(α +β )和上述诱导公式,便可得到

学生思 考,教 师板演


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=sinα cosβ +cosα sinβ ,即 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sin β . 在公式 S(α +β )中用-β 代替β ,又可得到 sin(α -β )=sinα cos(-β )+cosα sin(-β ), 即 sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sin β . 板书 (S(α -β )) (S(α +β ))

当 cos(α +β )≠0 时,将公式 S(α +β ),C(α +β )的两边分别相除,即

如果 cosα cosβ ≠0,我们可以将分子、分母都除以 cosα cosβ , 从而得到

因为

所以在公式 T(α +β )中用-β 代替β ,又可得到


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重点
板书 公式 S(α +β ),C(α +β ),T(α +β )给出了任意角α ,β 的三角函数值(这里指 正弦、余弦或正切)与其和角α +β 的三角函数值之间的关系.为方便起 见,我们把这三个公式都叫做和角公式. 类似地,公式 S(α -β ),C(α -β ),T(α -β )都叫做差角公式. 例1 利用和(差)角公式求 75°,15°的正弦、余弦、正切值. 举例引 发学生 思考此 结论。

解:sin75°=sin(45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30°


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分析: 观察公式 S(α -β ), C(α +β )和本题的已知条件, 要计算 sin(α -β ), cos(α +β ),应先算出 cosα ,sinβ .

所以


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分析:因为 tan45°=1,所以 原式可以看成

这样,我们就可以运用正切的和角公式,把原式化为 tan(45°+15°), 从而求得原式的值. 解:因为 tan45°=1,所以

布置作业:

2.求证:


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