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第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式


第 2 讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
【2013 年高考会这样考】 考查利用诱导公式与同角三角函数关系化简三角函数式及求三角函数值. 【复习指导】 本节复习时应紧扣住三角函数的定义, 理解同角三角函数关系式和诱导公式; 观察分析 这些公式特征,掌握记忆诀窍;通过基本题型,掌握解题规律.

基础梳理 1.同角三角函数基本关系式 (1)平方关系:

sin2α+cos2α=1,其等价形式为:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. sin α (2)商数关系: ,其等价形式为:sin α=cos α tan α,cos α= . tan α 2.角的对称 相关角的终边 α 与 π+α α 与 π-α α 与-α(或 2π-α) π α 与 -α 2 3.六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 符号看象限 符号看象限 一 2kπ+α (k∈Z) sin α cos α tan α 函数名不变 函数名改变 二 π+α -sin α -cos α tan α 三 -α -sin α cos α -tan α 四 π-α sin α -cos α -tan α 五 π -α 2 cos α sin α 六 π +α 2 cos α -sin α 对称性 关于原点对称 关于 y 轴对称 关于 x 轴对称 关于直线 y=x 对称

一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 三种方法 在求值与化简时,常用方法有:

sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α= 化成正、余弦. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =?. 4 三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数, 其步骤:去负-脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 双基自测 1 1.(北师大版教材习题改编)已知 sin(π+α)= ,则 cos α 的值为( 2 1 A.± 2 1 B. 2 C. 3 2 D.± 3 2 ).

1 解析 ∵sin(π+α)=-sin α= , 2 1 3 ∴sin α=- .∴cos α=± 1-sin2α=± . 2 2 答案 D 2.(2011· 杭州调研)点 A(sin 2 011° ,cos 2 011° )在直角坐标平面上位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ).

解析 2 011° =360° ×5+(180° +31° ), ∴sin 2 011° =sin[360° ×5+(180° +31° )]=-sin 31° <0, cos 2 011° =cos[360° ×5+(180° +31° )]=-cos 31° <0, ∴点 A 位于第三象限. 答案 C 4 3.已知 cos α= ,α∈(0,π),则 tan α 的值等于( 5 4 A. 3 3 B. 4 4 C.± 3 ). 3 D.± 4

3 解析 ∵α∈(0,π),∴sin α= 1-cos2α= , 5 sin α 3 ∴tan α= = . cos α 4 答案 B

17π? ? 17π? 4.cos? ?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是( A. 2 解析 B.- 2

). D. 2 2

C.0

17π? π? 17π π 2 17π ? ? 17π? cos ? ?- 4 ? = cos 4 = cos ?4π+4? = cos 4 = 2 , sin ?- 4 ? = - sin 4 = -

π? π 2 2 2 ? 17π? ? 17π? sin? ?4π+4?=-sin4=- 2 .∴cos?- 4 ?-sin?- 4 ?= 2 + 2 = 2. 答案 A 1 5.已知 α 是第二象限角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 解析 由题意知 cos α<0, 又 sin2α+cos2α=1,tan α= 2 5 ∴cos α=- . 5 2 5 答案 - 5 sin α 1 =- . cos α 2

考向一 利用诱导公式化简、求值 sin?π-α?cos?2π-α? 31π? 【例 1】?已知 f(α)= ,求 f? 3 ?. ? π +α?tan?π+α? sin? ?2 ? [审题视点] 先化简 f(α),再代入求解. 解 sin αcos α f(α)= =cos α, cos αtan α

31π? π? 31 π 1 ? ∴f? ? 3 ?=cos 3 π=cos?10π+3?=cos 3=2. (1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽 可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. (3)化简前,注意分析角的结构特点,选择恰当的公式和化简顺序. π ? cos? ?2+α?sin?-π-α?

【训练 1】 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则

的值为________. 11π ? ?9π -α sin +α? cos? ? 2 ? ?2 ?

?-sin α?sin α y 3 解析 原式= =tan α,根据三角函数的定义,得 tan α= =- . x 4 ?-sin α?cos α 3 答案 - 4

考向二 同角三角函数关系的应用 【例 2】?(2011· 长沙调研)已知 tan α=2. 2sin α-3cos α 求:(1) ; 4sin α-9cos α (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. [审题视点] (1)同除 cos α; (2)利用 1=sin2α+cos2α,把整式变为分式,再同除 cos2α. 解 2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 (1) = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α sin2α+cos2α

(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α= =

4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = =1. tan2α+1 4+1 (1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式

子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α;(2)关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. sin α+3cos α 【训练 2】 (2011· 潍坊质检)已知 =5.则 sin2α-sin αcos α=________. 3cos α-sin α tan α+3 解析 依题意得: =5,∴tan α=2. 3-tan α sin2α-sin αcos α ∴sin2α-sin αcos α= sin2α+cos2α tan2α-tan α 22-2 2 = = 2 = . tan2α+1 2 +1 5 答案 2 5 考向三 三角恒等式的证明 1 ? 1 1 【例 3】?求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ? ?1+tan θ?=sin θ+cos θ. [审题视点] 证明三角恒等式的原则是由繁到简,常用的方法有: ①从一边开始证明等于另一边,即化简左边,使左边=右边; ②证明左、右等于同一个式子; ③变更论证,即通过化除为乘、左右相减等转化成与原结论等价的式子. sin θ ? ? cos θ? 证明 左边=sin θ? ?1+cos θ?+cos θ?1+ sin θ ? sin2 θ cos2θ =sin θ+ +cos θ+ cos θ sin θ

cos2θ? ? sin2θ ? sin θ+ cos θ+ =? + sin θ ? ? cos θ? ? = = sin2 θ+cos2θ cos2θ+sin2 θ + sin θ cos θ 1 1 + =右边. sin θ cos θ 证明三角恒等式离不开三角函数的变换,在变换过程中,把正切函数化成正 弦或余弦函数,减少函数种类,往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化.要细心观察 等式两边的差异,灵活运用学过的知识,使证明简便. 【训练 3】 已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0. π 证明 ∵sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+ (k∈Z), 2 π ∴α=2kπ+ -β, 2 π ? ? ? ∴tan(2α+β)+tan β=tan? ?2?2kπ+2-β?+β?+tan β =tan(4kπ+π-2β+β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0, ∴tan(2α+β)+tan β=0 得证. 考向四 三角形中的诱导公式 【例 4】?在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个 内角. [审题视点] 要求三角形的内角,需求得某一内角的某一三角函数值,故结合条件 sin A +cos A= 2知先求角 A,进而求其他角. 解 π A+ ?= 2, 由已知可得 2sin? ? 4?

π 因为 0<A<π,所以 A= . 4 π 3 π 由已知可得 3cos A= 2cos B,把 A= 代入可得 cos B= ,又 0<B<π,从而 B= , 4 2 6 π π 7π 所以 C=π- - = . 4 6 12 在△ABC 中常用到以下结论: sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, cos(A+B)=cos(π -C)=-cos C, tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C, A B? C ?π C? sin? ? 2 + 2 ?=sin?2- 2 ?=cos 2 ,

A B? C ?π C? cos? ? 2 + 2?=cos?2- 2 ?=sin 2 . 【训练 4】 若将例 4 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π-A)=- 2sin(π- B)”其余条件不变,求△ABC 的三个内角. 解 由条件得:-sin A=- 2sin B,即 sin A= 2sin B,

3cos A= 2cos B,平方相加得: 2 sin2 A+3cos2 A=2?2cos2 A=1,cos A=± . 2 若 cos A=- 2 3 2 3 ,则 cos B=- ,A,B 均为钝角不可能.故 cos A= ,cos B= , 2 2 2 2

π π 7π 故 A= ,B= ,C= . 4 6 12 阅卷报告 3——忽视题设的隐含条件致误 【问题诊断】 涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时,应深挖隐含条件,处理 好开方、平方关系,避免出现增解与漏解的错误. 【防范措施】 一要考虑题设中的角的范围;二要考虑题设中的隐含条件. 【示例】?若 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 5x2-x+a=0(a 是常数)的两根,θ∈(0,π), 求 cos 2θ 的值. 7 1 错因 产生了增解 .实录 由题意知:sin θ+cos θ= , 25 5 1 24 ∴(sin θ+cos θ)2= ,∴sin 2θ=- ,∵θ∈(0,π), 25 25 7 ∴2θ∈(0,2π),∴cos 2θ=± 1-2sin2 2θ=± . 25 1 正解 由题意知:sin θ+cos θ= . 5 1 ∴(sin θ+cos θ)2= . 25 24 ∴sin 2θ=- . 25 24 即 2sin θcos θ=- <0, 25 则 sin θ 与 cos θ 异号, 1 又 sin θ+cos θ= >0, 5 π 3π 3π ∴ <θ< ,∴π<2θ< . 2 4 2 7 故 cos 2θ=- 1-sin22θ=- . 25

7 【试一试】 已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),求 tan θ. 13 [尝试解答] ∵sin θ+cos θ= 7 ,θ∈(0,π). 13

49 ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= . 169 60 ∴sin θcos θ=- . 169 7 60 12 5 由根与系数的关系知 sin θ, cos θ 是方程 x2- x- =0 的两根, ∴x1= , x =- , 13 169 13 2 13 60 又 sin θcos θ=- <0,∴sin θ>0,cos θ<0, 169 12 5 ∴sin θ= ,cos θ=- . 13 13 sin θ 12 ∴tan θ= =- . cos θ 5


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