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淄博市2013届高三期末考各科数文


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试卷类型:A

高三数学(文科)
2013.01 本试卷共 4 页,分第)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每题选择出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后, 再改涂其它答案标号。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.全集 U ? R ,集合 A ?| x | x 2 ? 2 x ? 0 | , CUA= 则 A.[-2,0] C.(-,-2] ? [0,+ ? ) B.(-2,0) D.[0,2]

( 2.已知 ? ? ?, ?) cos ? ? ? ,
A.7 B.

3 2

1 7

4 ? ,则 tan( ? ? ) 等于 5 4 1 C.D.-7 7

3.如果等差数列 {an } 中, a5 ? a6 ? a7 ? 15 ,那么 a3 ? a4 ? ?? a9 等于 A.21 B.30 C.35 D.40

4.要得到函数 y ? sin(3x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 3x 的图象 A.向左平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位 D.向右平移

2 C.向左平移 个单位 3

2 个单位 3

5. m ? ?1 “ ”是“直线 ? (2m ?1) y ? 2 ? 0与直线3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的 mx A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 x ? 1, 则x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1, 则x ? 1 ”
2 2

B.命题“若 ?x ? R, x ? x ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

C.命题“若 x ? y, 则sin x ? sin y ”的逆否命题为假命题 D.若“ p或q ”为真命题,则 p、 q 至少有一个为真命题

7.设 m,n 是两条不同直线, ?、? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 A. m // ? , n // ?且? // ? , 则m // n B. m ? ? , n ? ?且? ? ? , 则m ? n C. m ? ? , n ? ? , m ? n, 则? ? ? D. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ? 8.函数 y ? x sin x在[?? , ? ] 上的图象是

9.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛物线 y 2 ? 4 3x 2 a b

的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 A. 2 B. 3 C.2 D. 2 3

10.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两 个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该 球的表面积是 A.12 ? B.24 ? C.32 ? D.48 ? 11.已知集合 A ?| x | 2 x ? ? x ? 3 ? 0 |, B ?| x | y ? lg

1? x | ,在区间(-3,3)上任取一实数 x ,则 x?3
1 12

“x ? A ? B “的概率的 1 1 A. B. 4 8
12.已知函数 f ( x) ? ? A.1 B.2

C.

1 3

D.

?kx ? 2, x ? 0 ,若 k>0,则函数 y ?| f ( x) | ?1 的零点个数是 ?ln x, x ? 0
C.3 D.4

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)

注意事项: 1.将第Ⅱ卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答应在答题纸的相应位置上。 2.答卷前将密封线的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.已知向量 a ? (1,1), b ? (2,0) ,则向量 a, b 的夹角为
?

。 。

14.已知三角形的一边长为 4,所对角为 60 ,则另两边长之积的最大值等于

?x ? y ? 1 ? 0 ? 15.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

.

16.若函数 f (x) 满足 ?m ? R, m ? 0 ,对定义域内的任意 x ? f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 恒成立,则称

f (x) 为 m 函数,现给出下列函数:
①y?

1 ;② y ? 2 x ;③ y ? sin x ;④ y ? ln x , x

其中为 m 函数的序号是 .(把你认为所有正确的序号都填上) 三、解答题:本大题 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos( ?x ?

?

) ? cos( ?x ? ) ? sin ?x(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 2 ? 。 6 6

?

(Ⅰ)求函数 f (x) 的对称轴方程; (Ⅱ)若 f (? ) ?

? 6 ,求 cos( ? 2? ) 的值. 3 3

18.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 为等差数列, 且 a3 ? 5, a5 ? 9 ;数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? bn ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)若 cn ?

an (n ? N? ) Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求 Tn . , bn

19.(本小题满分 12 分) 如 图 , 五















ABCD









DA ? 面ABEF ,且 DA ? 1,AB // EF , AB ?
AE 、BD、EF 的中点。

1 EF ? 2 2 , AF ? BE ? 2,P、Q、M 分 别 为 2

(Ⅰ)求证: PQ // 平面BCE ; (Ⅱ)求证: AM ? 平面ADF ;

20.(本小题满分 12 分) M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的 测试成绩如茎叶图所示(单位:分) ,公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以 下者到“乙部门”工作。 (Ⅰ)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值; (Ⅱ)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取 5 人,再从这 5 人 中选 2 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F 为圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的圆心, 且椭圆上的点到点 a 2 b2

F 的距离最小值为 2 ? 1 。 (Ⅰ)求椭圆方程 (Ⅱ)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,点 M (? 证明: MA ? MB 为定值。 22.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? x ln x ? ax ? x(a ? R)
2

5 ,0) .K 4

???? ???? ?

(Ⅰ)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值。求 a 的值。 (Ⅱ)若函数 f (x) 的图象在直线 y ? ? x 图象的下方,求 a 的取值范围;

) (Ⅲ)求证: ln(2 ? 3 ??? 2013 1007 ? 2003

1

高三文数 A 参考答案及评分标准
2013.01 一、选择题(每小题,共 60 分) BBCDA DBABD CD 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 45 14.16 15.2 三、解答题:本大题 6 小题,共 74 分。 17. (本小题满分 12 分) 解: f ( x) ? cos( ?x ?
?

16.②③

?

? cos ?x cos

?
6

) ? cos( ?x ? ) ? sin ?x 6 6

?

? sin ?x sin

?

6

? cos ?x cos

?

6

? sin ?x sin

?
6

? sin ?x

? 3 cos?x ? sin ?x ??????????????????????2 分
? 2 cos( ?x ? ). ????????????????????????4 分 6
因为 f (x) 的最小正周期为 2? , 所以

?

2?

?

? 2? ,即 ? ? 1 .

故 f ( x ) ? 2 cos( x ? (Ⅰ)由 x ?

?
6

) 。?????????????????????6 分

?
6

? k?(k ? Z )得x ? k? ?

?
6

(k ? Z )
(k ? Z ) ??????????9 分

所以 f (x) 图象的对称轴方程为 x ? k? ? (Ⅱ)因为 f (? ) ?

?
6

6 ? 6 ,所以 cos(? ? ) ? . 3 6 6

? ? 6 2 ? cos(2? ? ) ? 2 cos2 (? ? ) ? 1 ? 2 ? ( ) 2 ? 1 ? ? .????????12 分 3 6 6 3
18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)数列 ?an ? 为等差数列,则公差 d ?

1 (a5 ? a3 ) ? 2, a1 ? 1 , 2

? an ? 2n ? 1 , ??????????????????????????2 分
由 Sn ? bn ? 2得Sn ? 2 ? bn , 当 n ? 1 时, S1 ? 2 ? b1 ? b1 ,?b1 ? 1 , 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? 2 ? bn ? (2 ? bn?1 )

? bn ?

1 bn ?1 , 2

1 ?{bn } 是以 1 为首项, 为公比的等比数列。 2 1 1 ? bn ? 1 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?1 . ????????????????????6 分 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ?

an ? (2n ? 1) ? 2n ?1 ,????????????7 分 bn

?Tn ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 2 2 ? ? ? 2n ? 3) ? 2 n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ( 2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 2 2 ? ? ? 2n ? 5) ? 2 n ? 2 ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ????9 分 ( ? ?Tn ? 1 ? 2 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2 n ? 2 ? 2 ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n
? 1? 2 2(1 ? 2 n ?1 ) ? (2n ? 1)2 n 1? 2

? 1 ? 4 ? 3 ? 2n) ? 2n ,????????????????????????11 分 (

?Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .???????????????????????12 分
19.(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)连结 AC,因为四边形 ABCD 是矩形,Q 为 BD 的中点。 ∴Q 为 AC 的中点,???????????????????1 分 又在 ?AEC 中,P 为 AE 的中点,? PQ// EC 。??????3 分

? ? EC ? 面BCE, PQ ? 平面BCE, PQ // 面BCE .??????????????5 分
(Ⅱ)? M 为 EF 的中点,? EM ? AB ? 2 2 , 又? EF // AB , ∴四边形 ABEM 是平行四边形。

? AM // BE, AM ? BE ? 2 .?????????????????????????8 分
又? AF ? 2,MF ? 2 2, ?MAF是Rt?且?MAF ? 90 , ?
?

? MA ? AF . ????????????????????????????????10 分
又? DA ? 面ABEF, MA ? 面ABEF ,

? MA ? DA ,????????????????????????????????11 分
又? DA ? AF ? A,? AM ? 面ADF .?????????????????????12 分 20.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)男生共 14 人,中间两个成绩是 175 和 176,它们的平均数为 175.5. 即男生成绩的中位数是 175.5.?????????????????????????2 分

女生成绩的平均值是 x ?

168 ? 177 ? 178 ? 185 ? 186 ? 192 ? 181 .?????????4 分 6

(Ⅱ)用分层抽样的方法从”甲部门“人选和“乙部门”人选中抽取 5 人,每个人被抽中的概 率是

5 1 ? ,????????????????????????????????6 分 20 4

根据茎叶图, “甲部门”人选有 8 人, “乙部门”人选有 12 人,???????????7 分 所以选中的“甲部门”人选有 8 ?

1 1 ? 2 人, “乙部门”人选有 12 ? ? 3 人。?????8 分 4 4

记选中的“甲部门”的人员为 A,A2 ,选中的“乙部门”人员为 B1 , B2 , B3 ,从这 5 人中选 2 人 1 的所有可能的结果为:

(A1, , A2 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A2 , B2 ), (B1 , B2 ), (B1 , B3 ), (B2 , B3 ) 共 10 种。????10 分
其中至少有一人是“甲部门”人选的结果有 7 种, 因此,至少有一人是“甲部门”人选的概率是 (其他做法,请酌情赋分) 21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的圆心为(-1,0) ,半径 r ? 1 ,所以椭圆的半焦距 c ? 1 。又 椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 2 ? 1 ,所以 a ? c ? 2 ?1,即a ? 2 .

7 .????????????????12 分 10

所以,所求椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .??????????????????????2 分 2

(Ⅱ)①当直线 l 与 x 轴垂直时, l 的方程为 x ? ?1 ,

, ),B(? 1, ? 可求得 A(? 1 ???? ???? ? 5 2 4 2

2 2

2 ) 。 2 5 4 2 7 )? . = 2 16

-1+ , ) ? 1 ? , ( ? ? 此时 MA ? MB=(

) ②直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1

? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 .??????????????6 分 2 ? 2 ? y ?1 ?
4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x2 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则x1 ? x2 ? ? .??????????7 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
因为 MA ? MB = ( x1 ?

???? ???? ?

5 5 5 5 , y1 ) ? ( x2 ? , y2 ) ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 4 4 4 4

5 5 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( ) 2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) 4 4 5 25 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? )(x1 ? x2 ) ? k 2 ? 4 16 2 (2k ? 2) 5 4k 2 25 ? (1 ? k 2 ) ? ? ?(k 2 ? )(? ) ? k2 ? 2 2 1 ? 2k 4 1 ? 2k 16 2 ? 4k ? 2 25 ? ? 1 ? 2k 2 16
25 7 ? ? .????????????????????????????11 分 16 16 ???? ???? ? 7 所以, MA ? MB 为定值,且定值为 ? ??????????????????12 分 16 ? ?2 ?
22.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:函数定义域为(0,+ ? ) ,

f ' ( x) ? ln x ? 2ax ? f (x) 在 x ? 1 处取得极值,

? f ' (1) ? 0,即 ? 2a ? 0,? a ? 0 .????????????????????????2 分 ? f ' ( x) ? ln x,当x ? (0,1)时f ' ( x) ? 0,当x ? (1,??)时,f ' ( x) ? 0 。
f (x) 在 x ? 1 处取得极值。???????????????????????????3 分
2 (Ⅱ)由题意,得: x ln x ? ax ? x ? ? x ,

? x ln x ? ax2 ? 0 ? x ? (0,??),? a ?
设 h( x ) ?

ln x . x

ln x 1 ? ln x , 则h' ( x) ? . x x2

令 h' ( x) ? 0, 得0 ? x ? e,? h( x)在(0,e) 上为增函数; 信 h' ( x) ? 0, 得x ? e,? h( x)在(e, ?) 上为减函数.??????????????7 分 ?

? h( x) max ? h(e) ? ?a ?

1 . e

1 .????????????????????????????????9 分 e

1 h ( x ) ? h (e) ? , e (Ⅲ)由(Ⅱ)知: ln x 1 x ? ? ,? ln x ? ? x x e e

即 ln x ? x ,????????????????????????????????10 分

? ln1 ? 1, ln 2 ? 2, ln 3 ? 3,?, ln 2013? 2013 ?????????????????11 分 .
以上各式相加,得

ln 1 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln 2013 ? 2013 . 2013 (1 ? 2013 ) ? ln(1? 2 ? 3 ? ?? 2013 ) ? ? 2013 ?1007 ????????????13 分 2 1 ? ln( 2 ? 3 ? ?? 2013 ) ? 2013 即 1007

? ln(2 ? 3 ??? 2013 1007 ? 2013.??????????????????????14 分 )

1


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