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2017高考领航高三一轮复习理科数学课时规范训练第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9-1


课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.(2016· 温州模拟)由 0,1,2,3,?,9 十个数字和一个虚数单位 i,可以组成 虚数的个数为( A.100 C.9 ) B.10 D.90

解析:第一步:先确定实部,可从 0,1,2,3,?,9 这 10 个数字中任取一个 共 10 种取法. 第二步:确定虚部,可从 1,2,3,?,9 中任取一个共

9 种取法. 由分步乘法计数原理得共可组成虚数的个数为 10×9=90. 答案:D 2.把 3 封信投到 4 个信箱,所有可能的投法共有(
3 A.A4 种 3 B.C4 种

)

C.43 种

D.34 种

解析:第 1 封信投到信箱中有 4 种投法;第 2 封信投到信箱也有 4 种投法; 第 3 封信投到信箱也有 4 种投法.只要把这 3 封信投完,就做完了这件事情,由 分步计数原理可得共有 43 种方法,故选 C. 答案:C 3.(2014· 高考福建卷)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理 及乘法原理,从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+ b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取,“a”表示取出一 个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依次类推,下列各式中,其展开 式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取 出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) )

解析:由题意可知:5 个无区别的红球取出若干球可表示为 1+a+a2+a3+ a4+a5;5 个无区别的蓝球都取出或都不取出可表示为 1+b5;5 个有区别的黑球 取出若干球可表示为(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)=(1+c)5.由乘法原理可得所 有取法可表示为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)· (1+c)5.故选 A. 答案:A 4.学校的一次运动会上,甲、乙、丙三个同学争夺跳高、跳远二项冠军, 且每一项冠军只能给一人,则冠军不同的得法种数为________. 解析:跳高冠军可以给甲、乙、丙有三种方法,同样,跳远的冠军也有三种 给法,共有 3×3=9. 答案:9 5. (2014· 高考浙江卷)在 8 张奖券中一、 二、 三等奖各 1 张, 其余 5 张无奖. 将 这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有________种(用数字作 答). 解析:将 8 张奖券分 4 组,再分配给 4 个人. 把 8 张奖券分 4 组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、
4 (三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给 4 人有 A4 种分法;另一种是一组两个 2 2 奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有 C2 3种分法,再分给 4 人有 C3A4种分法, 4 2 2 所以不同获奖情况种数为 A4 +C3 A4=24+36=60.

答案:60 6.(2016· 抚顺模拟)已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面 上的点(a,b∈M),P 可表示平面上__________个第二象限的点. 解析:确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定 a,由于 a<0,所以 有 3 种确定方法;第二步确定 b,由于 b>0,所以有 2 种确定方法.由分步乘法 计数原理,得到第二象限的点的个数是 3×2=6(个). 答案:6 7.三个比赛项目,六人报名参加. (1)每人参加一项,有多少种不同的报名方法? (2)每项 1 人且每人至多参加一项,有多少种不同的报名方法? (3)每项 1 人,且每人参加项数不限,有多少种不同的报名方法? 解:(1)每人都可以从三个比赛项目中选一项,有 3 种方法,六个人共有 36

=729 种不同的报名方法. (2)每项 1 人且每人至多参加一项,则第一项有 6 种选人方法,第二项有 5 种选人方法,第三项有 4 种选人方法.由分步乘法计数原理知,共有 6×5×4= 120 种不同的报名方法. (3)每个项目都可以从六个人中选 1 人作为参加者,有 6 种不同的选法,三 个项目共有 63=216 种不同的报名方法. [B 级 能力突破]

1.(2015· 襄阳模拟)只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须 同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( A.6 个 C.18 个 B.9 个 D.36 个 )

解析:由题意,知 1,2,3 中必有某一个数字使用 2 次.第一步确定谁被使用 2 次,有 3 种方法;第二步把这 2 个相同的数放在四位数不相邻的两个位置上, 也有 3 种方法; 第三步将余下的 2 个数放在四位数余下的 2 个位置上,有 2 种方 法,故共可组成 3×3×2=18(个)不同的四位数. 答案:C 2.(2014· 高考大纲全国卷)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医 生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( A.60 种 C.75 种 B.70 种 D.150 种 )

1 解析:由题意知,选 2 名男医生、1 名女医生的方法有 C2 6C5=75(种).

答案:C 3.(2016· 汕头模拟)如图,用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D 四块区域 分开,若相邻区域不能涂同一颜色,则不同的涂法共有( )

A.400 种 C.480 种

B.460 种 D.496 种

解析:涂 A 有 6 种方法,涂 B 有 5 种方法,涂 C 有 4 种方法,涂 D 有 4 种 方法,共有 6×5×4×4=480. 答案:C 4.从集合 U={a,b,c,d}的子集中选出 4 个不同的子集,需同时满足以 下两个条件: (1)?,U 都不要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A?B 或 A?B.那么,共有________ 种不同的选法. 解析:将选法分成两类.第一类:其中一个是单元素集合,则另一集合为两 个或三个元素且含有单元素集合中的元素,有 C1 4×6=24(种). 第二类: 其中一个是两个元素集合,则另一个是含有这两个元素的三元素集 合,有 C2 4×2=12(种). 综上共有 24+12=36(种). 答案:36 5.(2016· 石家庄市模拟)为举办校园文化节,某班推荐 2 名男生、3 名女生 参加文艺技能培训,培训项目及人数分别为:乐器 1 人,舞蹈 2 人,演唱 2 人, 每人只参加一个项目, 并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加,则不同的推荐方案 的种数为________.(用数字作答) 解析:若参加乐器培训的是女生,则各有 1 名男生及 1 名女生分别参加舞蹈 和演唱培训,共有 3×2×2=12 种方案;若参加乐器培训的是男生,则各有 1 名男生、1 名女生及 2 名女生分别参加舞蹈和演唱培训,共有 2×3×2=12 种方 案,所以共有 24 种推荐方案. 答案:24 6.(2016· 黄冈模拟)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、 “立定跳远”、 “肺活量”、 “握力”、 “台阶”五个项目的测试, 每位同学上、 下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶” 项目,其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有____________ 种(用数字作答). 解析:记 4 位同学分别为:A、B、C、D.则上午共有 4×3×2×1=24 种安 排方式.不妨先假定上午如表格所示安排方式,

项目 上午 下午

身高与体重 A

立定跳远 B

肺活量 C

握力 D

台阶

则下午可如下安排:BADC、BCAD、BCDA、BDAC、CABD、CADB,CDAB、 CDBA,DABC、DCAB、DCBA,共 11 种安排方式.因此,全天共有 24×11= 264(种)安排方式. 答案:264 7.已知集合 A={a1,a2,a3,a4},B={0,1,2,3},f 是从 A 到 B 的映射. (1)若 B 中每一元素都有原像,这样不同的 f 有多少个? (2)若 B 中的元素 0 必无原像,这样的 f 有多少个? (3)若 f 满足 f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的 f 又有多少个? 解:(1)显然对应是一一对应的,即为 a1 找像有 4 种方法,a2 找像有 3 种方 法,a3 找像有 2 种方法,a4 找像有 1 种方法,所以不同的 f 共有 4×3×2×1= 24(个). (2)0 必无原像,1,2,3 有无原像不限,所以为 A 中每一元素找像时都有 3 种 方法.所以不同的 f 共有 34=81(个). (3)分为如下四类: 第一类:A 中每一元素都与 1 对应,有 1 种方法; 第二类:A 中有两个元素对应 1,一个元素对应 2,另一个元素与 0 对应, 有 C2 C1 4· 2=12 种方法; 第三类:A 中有两个元素对应 2,另两个元素对应 0,有 C2 C2 4· 2=6 种方法; 第四类:A 中有一个元素对应 1,一个元素对应 3,另两个元素与 0 对应, 有 C1 C1 4· 3=12 种方法. 所以不同的 f 共有 1+12+6+12=31(个).


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