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【优化探究】2017届高三数学(文)高考二轮复习课件 第一部分 专题七 第一讲坐标系与参数方程(选修4-4)


第一讲 坐标系与参数方程(选修4-4)

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第一讲 坐标系与参数方程(选修4-4)

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试题

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? ?x=3+ 10cos α 1.(2016· 山西四校联考)已知曲线C的参数方程为 ? ? ?y=1+ 10sin α

(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐 标系. (1)求曲线C的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹; 1 (2)若直线的极坐标方程为sin θ-cos θ= ,求直线被曲线C截得的 ρ 弦长.

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试题
?x=3+ 10cos α (1)∵曲线C的参数方程为? (α为参数), ?y=1+ 10sin α ∴曲线C的普通方程为 (x-3)2+(y-1)2=10,① 曲线C表示以(3,1)为圆心, 10为半径的圆. ?x=ρcos θ 将? 代入①并化简,得ρ=6cos θ+2sin θ, y = ρ sin θ ? 即曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ+2sin θ. (2)∵直线的直角坐标方程为y-x=1, ∴圆心C到直线的距离为d= ∴弦长为2 9 10- = 22. 2 3 2 , 2

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试题

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2.(2016· 高考全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
? ?x= 3cos α, ? ? ?y=sin α

(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极

? π? 轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin?θ+4 ?=2 2. ? ?

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

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试题

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x2 2 (1)C1的普通方程为 +y =1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0. 3 (2)由题意,可设点P的直角坐标为( 3cos α,sin α). 因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值, | 3cos α+sin α-4| ? ? ? π? d(α)= = 2?sin?α+ 3 ?-2?, ? ? ? ? 2 π 当且仅当α=2kπ+ (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 2 ,此时 6
?3 1? P的直角坐标为?2,2?. ? ?

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试题

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3.(2016· 天津模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
?x=t ? 2 ?y=t +1

(t为参数),以坐标原点为极点,以 x轴正半轴为极轴建立极

坐标系. (1)写出曲线C的极坐标方程和普通方程; (2)过点A(m,0)作曲线C的两切线AP,AQ,切点分别为P,Q,求证:直 线PQ过定点.

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试题
2 2

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?x=ρcos θ (1)将x=t代入到y=t +1中,得曲线 C的普通方程为 y=x +1,将 ? 代入 ?y=ρsin θ 到曲线C的普通方程 y=x2+1中,得曲线 C的极坐标方程为 ρsin θ=ρ2cos2θ+1, 即ρ2sin2θ+ρsin θ=ρ2+1. (2)证明:由已知,两切线的斜率存在,设切点P(xP,yP),Q(xQ,yQ), ∵y′=2x,∴切线AP:y-yP=2xP(x-xP),即2xPx-y-yP+2=0. 切线AQ:y-yQ=2xQ(x-xQ),即2xQx-y-yQ+2=0. 又两切线均过点A(m,0), 因而2xPm-yP+2=0且2xQm-yQ+2=0, ∴直线PQ的方程为2mx-y+2=0,该直线恒过定点(0,2).

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试题

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4.(2016· 高考全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方
?x=acos t, 程为 ? (t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴 ?y=1+asin t

正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cos θ. (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线 C1与C2的公共点都在C3上,求a.

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试题

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(1)消去参数 t得到C1的普通方程为 x2+ (y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心, a为 半径的圆. 将x= ρcos θ, y= ρsin θ代入 C1的普通方程中,得到 C1的极坐标方程为 ρ2- 2ρsin θ+ 1-a2=0.
?ρ2-2ρsin θ+ 1- a2= 0, (2)曲线 C1, C2的公共点的极坐标满足方程组 ? ?ρ= 4cos θ.

若 ρ≠0,由方程组得 16cos2 θ- 8sin θcos θ+ 1-a2=0, 由已知tan θ= 2,可得16cos2 θ- 8sin θcos θ=0, 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去 )或a=1. 当a= 1时,极点也为 C1, C2的公共点,且在 C3上. 所以a=1.

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试题

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?x=-1- 3t ? 2 5.(2016· 张掖一模)已知直线l的参数方程为 ? ?y= 3+1t ? 2
π =4sin(θ- ). 6 (1)求圆C的直角坐标方程;

(t为参数),以

坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C的极坐标方程为ρ

π (2)若P(x,y)是直线l与圆面ρ≤4sin(θ- )的公共点,求 3x+y的取值范围. 6

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试题

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π (1)因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin(θ- ), 6 π 3 1 所以ρ =4ρsin(θ- )=4ρ( sin θ- cos θ). 6 2 2
2

又ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以x2+y2=2 3y-2x, 所以圆C的直角坐标方程为:x2+y2+2x-2 3y=0.

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试题

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(2)设z= 3 x+y,由圆C的方程x2+y2+2x-2 3 y=0?(x+1)2+(y- 3)2= 4,所以圆C的圆心是(-1, 3),半径是2.

?x=-1- 3t ? 2 将? ?y= 3+1t ? 2

代入z= 3x+y,得z=-t.

又直线l过点C(-1, 3),圆C的半径是2,由题意有-2≤t≤2, 所以-2≤-t≤2,即 3x+y的取值范围是[-2,2].

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试题

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π π 6.在极坐标系中,已知三点O(0,0),A(2, ),B(2 2, ). 2 4 (1)求经过点O,A,B的圆C1的极坐标方程; (2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标
?x=-1+acos θ 系,圆C2的参数方程为 ? (θ是参数),若圆C1与圆 y =- 1 + a sin θ ?

C2外切,求实数a的值.

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试题

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π π (1)O(0,0), A(2, ), B(2 2, )对应的直角坐标分别为 O(0,0), A(0,2), B(2,2), 2 4
?x= ρcos θ 则过点O, A, B的圆的普通方程为 x +y -2x-2y=0,又 ? ,代入可 y = ρ sin θ ?
2 2

π 求得经过点 O, A, B的圆C1的极坐标方程为 ρ=2 2cos(θ- ). 4
?x=- 1+acos θ (2)圆 C2: ? ?y=- 1+asin θ

(θ是参数 )对应的普通方程为 (x+ 1)2+ (y+ 1)2=a2,

当圆C1与圆 C2外切时,有 2+ |a|=2 2,解得a=± 2.

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试题

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7.(2016· 高考全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2 +y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C的极 坐标方程;
?x=tcos α, (2)直线l的参数方程是 ? ?y=tsin α

(t为参数),l与C交于A,B两

点,|AB|= 10,求l的斜率.

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试题
(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为 ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)解法一
? ?x=tcos α, 由直线 l的参数方程? ? ?y=tsin α

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(t为参数),

消去参数得 y=x· tan α. 设直线l的斜率为 k,则直线 l的方程为 kx-y=0. 由圆C的方程(x+6)2+y2=25知,圆心坐标为 (-6,0),半径为 5. |-6k| 又|AB|= 10,由垂径定理及点到直线的距离公式得 = 1+k2 5 15 整理得k2= ,解得k=± , 3 3 即l的斜率为 ± 15 . 3
? 25-? ? ?

36k2 90 10? ?2 ,即 = , 1+k2 4 2 ? ?

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试题

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解法二 在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R). 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程 得ρ2+12ρcos α+11=0, 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. |AB|=|ρ1-ρ2|= ?ρ1+p2?2-4ρ1ρ2= 144cos2 α-44. 3 15 由|AB|= 10得cos2 α= ,tan α=± . 8 3 15 15 所以l的斜率为 或- . 3 3

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试题

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8.(2016· 沈阳质检)在以直角坐标原点O为极点,x轴的非负半轴 为极轴的极坐标系下,曲线C1的方程是ρ=1,将C1向上平移1个 单位得到曲线C2. (1)求曲线C2的极坐标方程; (2)若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M,N,切点为T.求 |TM|· |TN|的取值范围.

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试题

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(1)依题,因为ρ2=x2+y2,所以曲线 C1的直角坐标方程为x2+y2=1, 所以曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1, 又y= ρsin θ,所以ρ2-2ρsin θ=0, 即曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ. (2)解法一 由题令 T(x0,y0),y0∈(0,1],切线MN的倾斜角为θ,所以切线MN的
?x=x0+tcos θ 参数方程为? (t为参数). ?y=y0+tsin θ

联立C2的直角坐标方程得,t2+2(x0cos θ+y0sin θ- sin θ)t+1-2y0=0, 即由直线参数方程中t的几何意义可知, |TM|· |TN|=|1-2y0|,因为1-2y0∈[-1,1),所以|TM|· |TN|∈[0,1].

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解法二

设点 T(cos α, sin α),则由题意可知当 α∈ (0, π)时,切线与曲线 C2 相交,

π π 由对称性可知,当 α∈ (0, ]时切线的倾斜角为 α+ ,则切线 MN 的参数方程为 2 2 π ? x = cos α + t cos ? α + ?= cos α- tsin α ? 2 ? π ? y= sin α+ tsin?α+ ?= sin α+ tcos α ? 2

(t 为参数),

与 C2 的直角坐标方程联立,得 t2-2tcos α+ 1-2sin α= 0, 则 |TM|· |TN|= |t1t2|= |1-2sin α|, π 因为 α∈ (0, ],所以 |TM|· |TN|∈ [0,1]. 2


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