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江苏省盐城中学2013-2014学年高二数学上学期期中试卷 理 新人教A版


江苏省盐城中学 2013—2014 学年度第一学期期中考试 高二年级数学(理科)试题(2013.11)
试卷说明:本场考试时间 120 分钟,总分 150 分. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指 定位置上) 1.命题“ ?x ? R , x ? 0 ”的否定是
2

▲ .

.

2.抛物线 x ? 4 y 的焦点坐标是
2



3.已知点 A(3, ?2,1) , B(?2, 4, 0) ,则向量 AB 的坐标为 4.双曲线 x ?
2

??? ?



.

y2 ? 1 的渐近线方程为 4



. ▲ 条件. (填 “充分不必要”、“必

5. “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的

要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个)

b 6. 已知直线 l1,l2 的方向向量分别为 a ? (1, 2, ?2),? (?2,3, k ) , l1 ? l2 , 若 则实数 k =

?

?





?x ? 1 ? 7.设 x , y ? R 且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?y ? x ?
8.设集合 A ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x 2 ? 1 ,则 A ? B ?
2 x





?

?

?

?



.

9. 已 知 动 点 M 到 点 A( 2, 0 ) 距 离 等 于 它 到 直 线 x ? ?1 的 距 离 , 则 点 M 的 轨 迹 方 程 是 的 ▲ .

10. 已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

2 1 ? 的最小值为 x y



.

11. P 为椭圆 是 ▲

x2 y2 ? ? 1 上的点, F1 , F2 是其两个焦点,若 ?F1 PF2 ? 30 ? ,则 ?F1 PF2 的面积 5 4


12.已知 O 为坐标原点,OA ? (1, 2,3) ,OB ? (2,1, 2) ,OC ? (1,1, 2) ,若点 M 在直线 OC 上运动, 则 AM ? BM 的最小值为

??? ?

??? ?

????

???? ???? ? ?



.

x2 y 2 13. 过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B ,且点 B a b

1

在 x 轴上的射影恰为右焦点 F ,若

1 1 ? k ? ,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 3 2



.

14.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R) ,若 b 、 c 满足 c ?
2

b2 ? 1 ,且 f (c) ? f (b) ? M (c 2 ? b2 ) 4

恒成立,则 M 的最小值为



.

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请 把答案写在答题纸的指定区域内) 15.本小题 12 分) ( 已知命题 p : 任意 x ? R , ? 1 ? a , 命题 q : 函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在 (??, ?1] x
2
2

上单调递减. (1)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)若 p 和 q 均为真命题,求实数 a 的取值范围.

16. (本小题 12 分)已知顶点在原点 O ,焦点在 x 轴上的抛物线过点 (3, 6) . (1)求抛物线的标准方程; (2)若抛物线与直线 y ? x ? 2 交于 A 、 B 两点,求证: kOA ? kOB ? ?1 .

17. (本小题 13 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面为正方形,SD⊥平面 ABCD,SD=AD=2,请建立空 间直角坐标系解决下列问题. (1)求证: AC ? SB ; (2)求直线 SB 与平面 ADS 所成角的正弦值.

S

D

C

A

B
2

18. 本小题 13 分) ( 某工厂拟建一座平面图为矩形, 面积为 200m2 的三段式污水处理池, 池高为 1 m , 如果池的四周墙壁的建造费单价为 400 元 /m2 ,池中的每道隔墙厚度不计,面积只计一面,隔墙的 建造费单价为 248 元 /m2 ,池底的建造费单价为 80 元 / m2 ,则水池的长、宽分别为多少米时,污水 池的造价最低?最低造价为多少元?

19. (本小题 15 分)在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AD ? 1, E 为线段 CD 中点. (1) 求直线 B1 E 与直线 AD1 所成的角的余弦值; (2)若 AB ? 2 ,求二面角 A ? B1 E ? A 1 的大小; (3) 在棱 AA1 上是否存在一点 P ,使得 DP / / 平面 B1 AE ?若存在,求 AP 的长;若不存在,说 明理由.
B1 A1 C1 D1

A E B C

D

x2 y 2 20 . 本 小 题 15 分 ) 已 知 抛 物 线 y ? 8 x 与 椭 圆 2 ? 2 ? 1 有 公 共 焦 点 F , 且 椭 圆 过 点 ( a b
2

D (? 2, 3) .
(1)求椭圆方程;
3

(2)点 A 、 B 是椭圆的上下顶点,点 C 为右顶点,记过点 A 、 B 、 C 的圆为⊙ M ,过点 D 作 ⊙ M 的切线 l ,求直线 l 的方程; (3)过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点 P 、 Q ,试问直线 PQ 是否 经过定点,若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

盐城中学 2013-2014 高二年级期中考试
11 高考资源网 一、填空题(14×5=70 分) 1、 ?x ? R, 使x ? 0
2

数学(理科)答题纸 2013、

2、 (0,1) 4、 y ? ?2 x 6、2 8、 (0,3)

3、 (-5,6,-1) 5、必要不充分 7、3 9、 6 x ? y ? 3 ? 0
2

10、8 12、 ? 14、

11、 8 ? 4 3 13、 ( , )

2 3

1 2 2 3

3 2

二、解答题(共 90 分) 15、 (12 分) 解: (1)当 p 为真命题时有 x ? a ? 1 ,
2

所以 a ? 1 ? 0 , 即实数 a 的取值范围 (??,1] . (2)当 q 为真命题时有 a ? ?1 , 结合(1)取交集有实数 a 的取值范围 [?1,1] .
4

16、 (12 分) 解:设抛物线的标准方程为: y ? 2 px ,
2

因为抛物线过点 (3, 6 ) , 所以 6 ? 2 p ? 3 , 解得 p ? 1 , 所以抛物线的标准方程为: y ? 2 x .
2

(2)设 A 、 B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,由题意知:

y 2 ? 2x

y ? x?2,
消去 y 得: x ? 6 x ? 4 ? 0 ,
2

根据韦达定理知: x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? 4 , 所以,

kOA ? kOB ? ?

y1 y2 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? ? x1 x2 4 4

4 ? 24 ? 16 ? ?1. 4

5

17、 (13 分)

解:建立以 D 为坐标原点, DA,DC,DS 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系, 则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2),

AC ? (?2,2,0) , SB ? (2,2,?2) , ? AC ? SB ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ,

? AC ? SB .
(2)取平面 ADS 的一个法向量为 DC ? (0,2,0) ,则

cos ? SB, DC ??

SB ? DC | SB | | DC |

?

4 2 3?2

?

3 , 3

所以直线 SB 与平面 ADS 所成角的正弦值为

3 . 3

6

18、 (13 分) 解:设污水池的宽为 xm ,则长为

座位号

200 m ,水池的造价为 y 元,则 x

由题意知:定义域为 x ? (0,??) ,

y ? 80 ? 200 ? x ? 400 ? 2 ? 160000 x ? 16000 ? 2 1296 ? 160000 ? 16000 ? 1296 x ? ? 16000 ? 2 ? 36 ? 400 ? 44800
当且仅当 1296 x ? 此时长为 18m,

200 ? 400 ? 2 ? x ? 248 ? 2 x

160000 100 , ,即x ? 时 ,取“=” x 9 100 m 时造价最低,为 44800 元. 9

答:污水池的长宽分别为 18m,

19、 (15 分) 解: (1)则 A(0, 0, 0), D(0,1, 0), D1 (0,1,1), E ( ,1, 0), B1 (a, 0,1) ,

???? ? ???? ???? ??? ? a a ? AD1 ? (0,1,1), B1E ? (? ,1, ?1), AB1 ? (a, 0,1), AE ? ( ,1, 0)

a 2

7

20、 (15 分) 解: F (2, 0) , c=2, 又 (1) 则

2 3 得 ? 2 ? 1 , a 2 ? 8, b 2 ? 4 2 a a ?4

x2 y 2 ? ?1 . ∴所求椭圆方程为 8 4
(2)M (

8

2 2 2 9 , 0) ,⊙M: ( x ? ) ? y2 ? 2 2 2



9


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