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吉林一中2013--2014学年度上学期高二期中考试数学理


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绝密★启用前

吉林一中 2013--2014 学年度上学期高二期中考试

数学理测试试卷
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 四 五 总分

?x ? y ? 4 ? 3. P 的坐标 ( x, y ) 满足 ? y ? x ,过点 P 的直线与圆 C : x 2 ? y 2 ? 14 相 ?x ? 1 ?
交于 A、B 两点,则 AB 的最小值是( A. 2 6 B.4 ) C. 2 13 D.3

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

4. 等差数列 ?an ? 的前 5 项的和为 30,前 10 项的和为 100,则它的前 15 的和为( A.30 ) B. 170 C. 210 D.260

第 I 卷(选择题)
请修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、单项选择

, 5. {an } 为等差数列, S n 为其前 n 项和,已知 a7 ? 5,S7 ? 21 则 S10 ?
( ) (A) 40 (B) 35 (C) 30 (D) 28

6. 等比数列 { an } 中 a1 ? 512 , 公比 q ? ?

1 , ?n ? a1 ? a 2 ??? an(即 记 2

? n 表示数列 { an } 的前 n 项之积) ?8 , ?9 , ?10 , ?11 中值为正数的 ,
a2 1. 在等比数列{ an }中,若 a3a5 a7 a9 a11=243 ,则 9 的值为( a11
A.9 2. 在 数 列 ( A. ) 49 B. 50 C. 51 D.52 ( A.
第1页 共6页 ◎



B.1

C.2
+ 1

D.3

?a n ?

2 中 , a1 ? 2 , an

an 2 n ? N * 则 a101 的 值 为 = +1, ,

个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知在正项等比数列{an}中,a1=1, a2a4=16 则|a1-12|+|a2-12| +?+|a8-12|=( ) A .224 B .225 C. 226 D .256 8. 设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, s 7 ? 3 ? a2 ? a12 ? ,则 )

a7 的值为 a4

1 6

B.

1 3

C.

3 5

D.

7 6

第2页 共6页

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S5 S 9. 设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,a6+8a3=0,则. 2 =(
A. 11 B. 5 C -8 D -11 ( 10. 在等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值是 A.15 B.30 C.31 D.64



? an 2 ? (2)求数列 ? n ? 的前 n 项和 S n . ?2 ?
16. 如图,已知平面上直线 l1//l2,A、B 分别是 l1、l2 上的动点,C 是 l1, ) l2 之间一 定点,C 到 l1 的距离 CM = 1, C 到 l2 的距离 CN= 3 ,ΔABC 内 角 A、B、C 所对 边分别为 a、b、c,a > b ,且 b.cosB = a.cosA (1) 判断三角形 ΔABC 的形状;

第 II 卷(非选择题)
请修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

(2)记

?ACM ? ? , f (? ) ?

1 1 ? AC BC ,求 f(θ)的最大值.

11. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2+pn,a7=11.若 ak+ak+1>12,则 正整数 k 的最小值为________. 12. 等差数列 {an } 的前 10 项和为 30 ,则 a1 ? a4 ? a7 ? a10 ? _____. 13. 已知等差数列 ?a n ?的公差为 ?2 , a 3 是 a1 与 a 4 的等比中项,则首项

a1 ? _,前 n 项和 S n ? __.
14. 在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a5 ? a6 ? 450 ,则 a2 ? a8 的值为 .

17. 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

2an 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. an ? 1 3

(1)证明:数列 {
评卷人 得分 三、解答题

1 ? 1} 是等比数列; an

(2)求数列 {
2 2 15. 各项均为正数的数列 {an } ,满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2 ( n ?N* ).

n } 的前 n 项和 S n . an

18. 设 A 是由 n 个有序实数构成的一个数组,记作: A ? (a1 , a2 ,?, ai ,?, an ) . 其中 ai (i ? 1, 2,?, n) 称为数组 A 的“元”, i 称为 ai 的下标. 如果数组

(1)求数列 {an } 的通项公式;
第3页 共6页 ◎

第4页 共6页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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S 中的每个“元”都是来自 数组 A 中不同下标的“元”,则称 S 为 A 的
子数组. 定义两个数组 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,? , bn ) 的关系数为

C ( A, B) ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn .
(Ⅰ)若 A ? (? , ) , B ? (?1,1, 2,3) ,设 S 是 B 的含有两个“元”的子数 组,求 C ( A, S ) 的最大值; (Ⅱ)若 A ? (

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

1 1 2 2

3 3 3 , , ) , B ? (0, a, b, c) ,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 1 , S 为 B 的含 3 3 3

有三个“元”的子数组,求 C ( A, S ) 的最大值. 19. 已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a2,,a3, a4+1 成等比数 列. (I)求数列{an}的通项公式;

bn ?
(II)设

2 n.( a n ? 2) ,求数列{b }的前 n 项和 S
n n

第5页 共6页



第6页 共6页

参考答案 一、单项选择 1.【答案】D 【解析】

根据题意,由于等比数列{ an }中,若

a3 a5 a7 a9 a11=243? a3 a11 =a5 a9 =a7 2 ? a7 5=243

? a7 =3

结合等比中项的性质故可知 2.【答案】D

2 a9 =a7 =3 ,故选 D. a11

【解析】? 2an +1 =2an +1, ? an +1 ? an ?

1 1 ,{an } 是首项为 2,公差为 的等差数列,所以 2 2

a101 ? 2 ? 100 ?
3.【答案】B 【解析】 4.【答案】C

1 ? 52 . 2

根 据 等 差 数 列 的 性 质 可 知 S5 , S10 ? S5 , S15 ? S10 构 成 等 差 数 列 , 30, 70, S15 ? 100 即 成等差数列,所以 140 ? 30 ? S15 ? 100,? S15 ? 210 . 【解析】 5.【答案】A 【解析】设公差为 d ,则由 a7 ? 5,S7 ? 21 得 S7 ?

7(a1 ? a7 ) 7(a1 ? 5) ,即 21 ? ,解得 2 2

a1 ? 1 ,所以 a7 ? a1 ? 6d ,所以 d ?
选 A. 6.【答案】B 【解析】 7.【答案】B 【解析】 8.【答案】D 【解析】 9.【答案】D 【解析】 10.【答案】A 【解析】 二、填空题 11.【答案】6

10 ? 9 10 ? 9 2 2 d ? 10 ? ? ? 40 , 。所以 S10 ? 10a1 ? 2 2 3 3

答案第 1 页,总 5 页

【解析】因为 a7=S7-S6=2×72+7p-2×62-6p=26+p=11,所以 p=-15,Sn=2n2 -15n,an=Sn-Sn-1=4n-17(n≥2),当 n=1 时也满足.于是由 ak+ak+1=8k-30>12, 得 又 k∈N*,所以 k≥6,即 kmin=6.

12.【答案】12 【解析】 13.【答案】 8; ? n 2 ? 9n n ?N?

【解析】 14.【答案】300

? ? 因 为 等 差 数 列 {an } 中 , 若 a4 ? a5 ? a6 4 5 0 ? 3a5 ? 4 5 0 a5 a2 ? a8 ? 2a5 ? 300
【解析】
三、解答题 15.【答案】

? 1则 0 , 5

【解析】(1)因为 a n ?1 ? a n ? 2 ,
2 2
2 所以数列 an 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.

? ?

2 所以 a n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .

因为 a n ? 0 ,所以 an ? 2n ? 1 n ? N* . (2)由(1)知, an ? 2n ? 1 ,所以 所以 Sn ?

?

?

an 2 2n ? 1 ? n . 2n 2

1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 ① ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n , 2 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 则 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ② ? n ?1 , 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 ①-②得, Sn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2
? 1 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? ? n ?1 2 2 ? 2 ?2 2 2

1? 1 ? ?1 ? n ?1 ? 2n ? 1 1 4 2 ? ? ? 2? ? ? n ?1 1 2 2 1? 2

答案第 2 页,总 5 页

3 2n ? 3 . ? 2 2n ?1 2n ? 3 所以 Sn ? 3 ? . 2n ?
16.【答案】

【解析】 17. 【 答 案 】 解 : 1 ) ? (

an ?1 ?

2an ,? an ? 1

a ?1 1 1 1 1 , ? ? n ? ? ? an ?1 2an 2 2 an

1 1 1 1 1 1 2 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , ?数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公 an ?1 2 an a1 2 an 3 2 2
比的等比数列. (2)由(1)知

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? n ?1 ? n ,即 ? n ? 1 , an ?1 2 2 2 an 2


?

n n 1 2 3 n ? n ? n . 设 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , an 2 2 2 2 2

则 Tn ?

1 2

1 2 n ?1 n ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2

答案第 3 页,总 5 页

1 1 (1 ? n ) 1 n 1 1 1 2 ? n ? 1? 1 ? n , 由① ? ②得 Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n(n ? 1) . ? Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? ? ?n ? 2 2 2

【解析】 18.【答案】(Ⅰ)依据题意,当 S ? (?1,3) 时, C ( A, S ) 取得最大值为 2. (Ⅱ)①当 0 是 S 中的“元”时,由于 A 的三个“元”都相等,及 B 中 a, b, c 三个“元” 的对称性,可以只计算 C ( A, S ) ?

3 (a ? b) 的最大值,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1. 3

由 (a ? b)2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? 2(a 2 ? b2 ) ? 2(a 2 ? b2 ? c2 ) ? 2 , 得 ? 2 ? a?b ? 2. 当且仅当 c ? 0 ,且 a ? b ? 于是 C ( A, S ) ?
2 时, a ? b 达到最大值 2 , 2

3 6 . ( a ? b) ? 3 3 3 (a ? b ? c) 的最大值, 3

②当 0 不是 S 中的“元”时,计算 C ( A, S ) ? 由于 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1,

所以 (a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc .

? 3(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 3 ,
当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立. 即当 a ? b ? c ?

3 3 时, a ? b ? c 取得最大值 3 ,此时 C ( A, S ) ? (a ? b ? c) ? 1 . 3 3

综上所述, C ( A, S ) 的最大值为 1. 【解析】 19.【答案】解:(Ⅰ)设数列 ?a n ?的公差为 d ,由 a1 ? 2 和 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列,得

(2 ? 2d ) 2 ? ?2 ? d ??3 ? 3d ? ,

解得 d ? 2 ,或 d ? ?1 ,
答案第 4 页,总 5 页

当 d ? ?1 时, a3 ? 0 ,与 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列矛盾,舍去.

?d ? 2 ,
? a n ? a1 ? ?n ? 1?d ? 2 ? 2?n ? 1? ? 2n, 即数列 ?a n ?的通项公式 a n ? 2n.
(Ⅱ) bn ?

2 1 1 1 2 = , ? ? ? n ? (a n ? 2) n(2n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? 1? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1

S n ? a1 ? a2 ? ? ? a n ? 1 ?
【解析】

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