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高中数学(新课标人教A版)必修4


函数 y ? A sin(?x ? ? )的图象

(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响.

(二)探索?对y ? sin(?x ? ? )的图象的影响.

(三)探索A对y ? A sin(?x ? ? )的图象的影响.

(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响.
? ? y ? sin(x ? ) 与 y ? sinx 的图象关系: 例1、试研究 y ? sin(x ? ) 、 6 3

y
y ? sin (x ?

?
3

)

1
o

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin ? y sin x ? sin ? sin x ? sin x ? sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
y ? sin( x ?

?
6

)
13? 6

?

?
2

?

?
3

? 6

? 2? 2 3

?

3? 5? 2 3

2?

x

-1

一、函数y=sin(x+? ) 图象
函数y=sin(x+? )( ? ≠0)的图象可以看作是把

y=sinx的图象上所有的点向左(当 ? >0时)或向右
(当 ? <0时 )平行移动 ? 个单位而得到的。
? ? y ? 3cos( x ? ) 练习:函数 图像向左平移 个单位所得图像的 3 4

函数表达式为 _____ 思考:函数 y ? sin 2 x 图像向右平移 函数表达式为 _____

?
4

个单位所得图像的

(二)探索?对y ? sin(?x ? ? )的图象的影响.
1.列表: x
2x
sin 2 x
? 4 ? 2
?
3? 4 3? 2

1x y ? sin 例2.作函数 y ? sin 2 x 及 2 的图象。
0 0 0
2

?
2? 0

?

1

0

?1

y 2. 描点: 2 y=sin2x 1 O ?1 ?2

y=sinx
? 2

纵坐标不变 ,横坐标
缩短为原来的1/2倍 2?

y=sin2x

y=sinx

?

3? x

(二)探索?对y ? sin(?x ? ? )的图象的影响.
1.列表:
x
1 sin x 2
1 x 2

1x y ? sin 例2.作函数 y ? sin 2 x 及 2 的图象。
0 0 0

?
? 2

2?

3?

4?

?

3? 2

2? 0

1

0

?1

2. 描点:
y y=sinx 1

y ? sin x

纵坐标不变, 横坐标

1 y ? sin x 2 变为原来的 2 倍
3? y=sin 1 x 2 4? x

2? O ?1 ?

的图象间的变化关系。
y
2

1 y ? sin x 与 y ? sinx 函数 y ? sin2 x 、 2

y ? sin 2 x

1

1 y ? sin x 2
?
2

o

?

4?

3? 2

2?

-1

二、函数y=sin?x(?>0)图象
函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看
作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短

(当?>1时)或伸长(当0<?<1时) 到原来的 1
倍(纵坐标不变) 而得到的。

?

? 练习:函数 y ? 3cos(2 x ? ) 图像是由 y ? 3cos 2 x 怎么变换得到的? 4
? 练习:函数 y ? 3cos( x ? ) 图像纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 4

3倍所得图像的函数表达式为 _____

(三)探索A对y ? A sin(?x ? ? )的图象的影响.
1 例3、作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的简图. 2
解: 1、列表
x
sinx 2sinx
1 2

2、描点作图
?
2

0
0 0 0

π
0 0 0

3? 2



y

2 1
? 2

1 2
1 2

-1 -2
? 1 2

0 0 0

3? 2
0



π

x

sinx

-1

-2

y ? sin x
y=sinx

纵坐标缩短到原来的一半 横坐标不变

y ? 1 sin x 2
y=2sinx

纵坐标扩大到原来的2倍 横坐标不变

1 函数 y ? 2 sinx 、y ? sin x 与 y ? sinx 的图象间的变化关系。 2
y
3

2
1

y=2sinx

y=sinx
? 2

o
-1

1 y= 2
3? 2

sinx

2?

x

-2

三、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图象可以看作

是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1
时 )或缩短(当0<A<1时 )到原来的A倍(横坐 标不变)而得到的。y=Asinx, x∈R的值域是[-A, A],最大值是A,最小值是-A。

例4、如何由

y ? sinx 变换得 ? y ? 3 sin( 2 x ? )的图象? 3

方法1: (按? , ? , A顺序变换 )
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 ? 2 5? 12 3 ? 6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

?

(1)向左平移 3 函数 y=sinx
1 2

? y=sin(x+ ) 的图象 3 ? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3

(2)横坐标缩短到原来的 纵坐标不变



(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍

方法2: (按? , ? , A顺序变换 )
y

3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

y=sinx
?
? 3
5? 6

? ? 6

o
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

(1)横坐标缩短到原来的 函数 y=sinx 纵坐标不变
?

1 2



y=sin2x的图象

(2)向左平移 6

? y=sin(2x+ ) 的图象 3 ? y=3sin(2x+ )的图象 3
?

(3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
?

思考:y ? 3sin(2 x ? ) ? 7与y ? 3sin(2 x ? )的图像有何关系? 3 3 如果函数y ? 3sin(2 x ? ) ? 7要求五点作图,那五个点的坐标分别是什么? 3

?

函数, y ? A sin(?x ? ? )中, A称为振幅
2? T? 称为周期 |? | 1 f ? 称为频率 T

?x ? ? 称为相位

?

称为初相

例3:已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的函数图 y 象,如图所示,求函数的一个解析式。 3
? 3
5? 6

O

x

? 3

练习:已知函数 y ? Asin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 在一个周期内的图象 如图所示,求其表达式。 y

2

? ?

0 ?

?

6

2 ? 3

?

x

-2

练习: 已知函数 y ? A cos(? x ? ? )(A>0,ω>0, 0 ? ? ? ? )
的最小值是 -5 ,图象上相邻两个最高点与最低点的横坐

5 ? 标相差 ,且图象经过点(0, ? ),求这个函数的解析式。 2 4


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