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用二分法求方程的近似解1


课题:3.1.2 用二分法求方程的近似解

教学目标:1.了解二分法是求方程近 似解的常用方法; 2.掌握用二分法求函数零点近似值的 步骤,通过二分法求方程的近似解使 学生体会方程与函数之间的关系; 3.培养学生动手操作的能力。

复习旧知
复习提问:什么叫函数的零点?零点的 等价性什么?零点存在性定理是什么?
零点概念:对于函数y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

方程f(x)有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴有交点?函数y=f(x)有零点 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么, 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在 c∈(a,b),使得f(c )=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根.

提出问题
一元二次方程可以用公式求根,但是没有公 式可以用来求方程lnx+2x-6=0的根,能否 利用函数的有关知识来求它的根呢?

研讨新知
我们已经知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内有零点;进一步的问题是,如何找到这个 零点呢?
如果能够将零点的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下,我们 我要说 可以得到零点的近似值. 我要问
我来说

研讨新知
取区间(2,3)的中点2.5,用计算器 算得f(2.5)≈-0.084,因为f(2.5)×f(3)<0,所以 零点在区间(2.5,3)内;再取区间(2.5,3)的中 点2.75,算得f(2.75)≈0.512,因为 f(2.5)×f(2.75)<0,所以零点在(2.5,2.75) 内 ;… 在有限次重复相同的步骤后,在一定的精度 下,可以将所得到的零点所在区间上任意的 一点(如:端点)作为零点的近似值。
做一做

例 根据下表计算函数f (x) ? lnx ? 2x ? 6 在区 间(2,3)内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b)
(2 ,3 ) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875)

中点值m
2.5 2.75 2.625 2.562 5 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5

f(m)的近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.01

精确度|a-b|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625

(2.531 25,2.539 062 5)

2.535 156 25

0.001

0.007813

解:观察上表知:0.007813<0.01, 所以x=2.53515625≈2.54为函数 f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。

给这种方法取个名字?

定义: 对于在区间[a,b]上连续不断、且 f(a)· f(b)<0的函数y=f(x),通过不断把函数f(x)的零 点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼 近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。 想一想:你能归纳出用二分法求函数零点近似值 的步骤吗?
1、确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点x1 3、计算f(x1);(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 (2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) (3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b)) 4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b);否则得复2~4

想一想

为什么由|a-b|<ε便可判断零 点的近似值为a或b?

答:设函数零点为x0,则a<x0<b, 则:0<x0-a<b-a,a-b<x0-b<0; 由于|a-b|<ε,所以|x0-a|<b-a<ε, |x0-b|<|a-b|<ε,即a或b作为零点x0的近似 值都达到了给定的精确度ε。

巩固深化
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程

2 ? 3x ? 7
x

的近似解(精确到0.1)

分析思考:原方程 的近似解和哪个函数的零点是 等价的? x 解:原方程即 2 ? 3x ? 7 ? 0 , x 令 f ( x) ? 2 ? 3x ? 7 ,用计算器或计算机 x 作出函数 f ( x) ? 2 ? 3x ? 7 的对应值表与图 象(如下): x 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x)=2x+3x-7 -6 -2

3

10 21 40 75 142

4

3

f? x? = ?2x+3? x?-7

2

1

-2 -1

0

1

2

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

观察上图和表格,可知f(1)· f(2)<0,说明在区 间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点 x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33.因为 f(1)· f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),再取(1,1.5)的 中点x2=1.25,用计算器求得 f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)· f(1.5)<0,所以 x0∈(1.25,1.5),同理可得x0∈(1.375,1.5), x0∈(1.375,1.4375), 由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,此时区间 (1.375,1.4375)的两个端点,精确到0.1的近 似值都是1.4,所以原方程精确到0.1的近似 解为1.4.

例2.求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点, 并画出它的图象. 3 2 略解: y ? x ? 2x ? x ? 2 ? ( x ? 2)( x ?1)( x ? 1) 所以零点为-1,1,2;3个零点把横轴分成4个 区间,然后列表描点画出它的图象.
3 2

y

2 ·

-1

·

0 1 2

· ·

x

例3.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象 如图所示,则( ). · · A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) 0 1 2
3 2

C.b∈(1,2)

D.b∈(2,+∞)

略解:由题意f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(-1)<0. 得:d=0,a+b+c=0,8a+4b+2c=0,-a+b-c<0.求 得b<0.选A.

例4.已知函数 f ( x) ? mx ? (m ? 3) x ? 1 的图象 与x轴的交点至少有一个在原点右侧,则实 数m的取值范围是( ). A. (0,1] B. (0,1) C. (-∞,1) D. (-∞,1]
2

略解:m=0时,f(x)=-3x+1 符合题意,故可排 2 除A和B;m=1时,二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 与x的交点(1,0)在原点右侧,符合题意, 故选D.

用二分法求解方程的近似解:
1、确定区间[a,b],验证f(a)*f(b)<0,给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点x1 3、计算f(x1); (1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 (2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) (3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b)) 4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b);否则得复2~4

作业
P92习题3.1A组:

3 ,4, 5 题


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