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2.2.1对数的运算


对数的运算

复习上节内容 定义: 一般地,如果 的b次幂等于N, 就是

a?a ? 0, a ? 1?
,那么数 b叫做

a ?N
b

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

复习上节内容 有关性质: ⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵ loga 1 ? 0, loga a ? 1 ⑶对数恒等式

a

loga N

?N

复习上节内容 ⑷常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。 ⑸自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。 为了简便,N的自然对数 loge N 简记作lnN。 (6)底数a的取值范围: (0,1) ? (1,??)

真数N的取值范围 : (0,??)

新授内容: 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nloga M(n ? R) (3)
为了证明以上公式,请同学们 回顾一下指数运算法则 : a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R )

(a m ) n ? a mn (m, n ? R ) (ab) n ? a n ? b n (n ? R)

证明:①设 loga M ? p, 由对数的定义可以得:M
p q

loga N ? q,

p?q a ? a ∴MN= ? loga MN ? p ? q ?a

? a , N ? aq
p

即证得

loga (MN) ? loga M ? loga N (1)

证明:②设 loga M ? p, 由对数的定义可以得:M
p

loga N ? q,

? a , N ? aq
p

M ? ∴ N
即证得

a p ?q M ? a ? log a ? p?q q N a
M loga ? loga M ? loga N (2) N

证明:③设 loga M ? p, 由对数的定义可以得:M ∴

?a ,
p

M ?a
n

np

? loga M n ? np

即证得

loga M ? nlog a M(n ? R) (3)
n

上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数 式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形; 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”……

②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是 (0,??) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
loga (MN ) ? loga M ? loga N , loga (M ? N ) ? loga M ? loga N

练习 1.求下列各式的值:

6 (1) log2 6 ? log2 3 ? log 2 ? log2 2 ? 1 3 ? lg(5 ? 2) ? lg10 ? 1 (2) lg 5 ? lg 2

1 (3) log 5 3 ? log 5 3

1 ? log 5 (3 ? ) ? log5 1 ? 0 3 5 ?1 ? log ? ?1 ? log 3 3 3 (4) log3 5 ? log3 15 15

其他重要公式1:

log a m
证明:设

n N ? log a N m
n

logam N n ? p,

由对数的定义可以得: ∴

N ? (a ) ,
n m p
m p n

N ?a
n

mp

?N ?a
n

m ? log a N ? p n

即证得

log a m

n N ? log a N m

其他重要公式2:

logc N loga N ? logc a
证明:设

(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0)

loga N ? p

由对数的定义可以得:
p

N ?a ,
p

? logc N ? logc a , ? logc N ? p logc a,
logc N ? p? 即证得 logc a

这个公式叫做换底公式

logc N loga N ? logc a

其他重要公式3:

1 loga b ? logb a

a, b ? (0,1) ? (1,??)

logc N 证明:由换底公式 loga N ? logc a logb b 取以b为底的对数得: loga b ? logb a 1 ? logb b ? 1, ? loga b ? log a b
还可以变形,得

loga b ? logb a ? 1

讲解范例 例1 计算 (1) log2 (25 ? 47 ) (2) log9 27

讲解范例 例2 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

x2 y xy (1)loga ; (2) loga 3 z z xy 解(1) log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z

解(2) loga

x2 y
3

z

? loga ( x 2 y ) ? loga z
1 2

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 3

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

讲解范例 解法一:

7 例3计算: (1)lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3
解法二:

7 7 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 3 7 7 2 ? lg14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg18 ? lg(2 ? 7) ? 2 lg 3 3 2 ? lg 7 ? lg( 2 ? 3 ) 14? 7 ? lg 7 2 ? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) ?18 3 ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3) ? lg1 ? 0 ?0

讲解范例

lg 243 例3计算: (2) lg 9

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 (3) lg1.2

lg 243 lg 35 ? 5 lg 3 ? 5 解: (2) ? 2 lg 9 lg 32 2 lg 3

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 23 ? 3 lg(10) (3) ? 3 ? 22 lg1.2 lg 10

1 3 2

1 2

3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) ?2 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1

3 ? 2

小结 : 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nloga M(n ? R) (3)
其他重要公式:

log a m

logc N loga N ? logc a
loga b ? logb a ? 1

n N ? log a N m
n

(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) a, b ? (0,1) ? (1,??)


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