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高中数学苏教版必修5课时作业 1.2余弦定理(一)


1.2
课时目标

余弦定理(一)

1.熟记余弦定理及其推论;2.能够初步运用余弦定理解斜三角形.

1.余弦定理 三角形任何一边的______等于其他两边的________的和减去这两边与它们的______的 2 2 2 余弦的积的______.即 a =________________,b =________________,c = ________________. 2.余弦定理的推论 cos A=______________;cos B=______________;cos C=______________. 3.在△ABC 中: 2 2 2 (1)若 a +b -c =0,则 C=________; 2 2 2 (2)若 c =a +b -ab,则 C=________; 2 2 2 (3)若 c =a +b + 2ab,则 C=________.

一、填空题 2 2 2 1.在△ABC 中,若 a -b -c =bc,则 A=________. 2.在△ABC 中,已知 a=1,b=2,C=60°,则 c=______________. 3.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为________. 4.在△ABC 中,已知 a=2,则 bcos C+ccos B=____________. 5.△ABC 中,已知 a=2,b=4,C=60°,则 A=________. 2 6.在△ABC 中,已知 b =ac 且 c=2a,则 cos B 等于________. c-b 2A 7.在△ABC 中,sin = (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对应边),则△ABC 的形状 2 2c 为________. 2 2 8.三角形三边长为 a,b, a +ab+b (a>0,b>0),则最大角为________. 1 2 2 2 9.在△ABC 中,已知面积 S= (a +b -c ),则角 C 的度数为________. 4 π 10.在△ABC 中,BC=1,B= ,当△ABC 的面积等于 3时,tan C=________. 3 二、解答题 11.在△ABC 中,已知 CB=7,AC=8,AB=9,试求 AC 边上的中线长.

12.在△ABC 中,BC=a,AC=b,且 a,b 是方程 x -2 3x+2=0 的两根,2cos(A+B) =1. (1)求角 C 的度数; (2)求 AB 的长; (3)求△ABC 的面积.

2

1

能力提升 13.在△ABC 中,AB=2,AC= 6,BC=1+ 3,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长是 ____________. 14.在△ABC 中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状.

1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两边和夹角,解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角. 2.余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.

§1.2

余弦定理(一) 答案 c +a -2cacos B a +b -2abcos C
2 2 2 2

知识梳理 2 2 1.平方 平方 夹角 两倍 b +c -2bccos A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c -a c +a -b a +b -c 2. 2bc 2ca 2ab 3.(1)90° (2)60° (3)135° 作业设计 1.120° 2. 3

2

π 6 解析 ∵a>b>c,∴C 为最小角, 2 2 2 2 2 2 a +b -c 7 +?4 3? -? 13? 3 π 由余弦定理 cos C= = = .∴C= . 2ab 2 6 2?7?4 3 3. 4.2 解析 bcos C+ccos B=b? a +b -c c +a -b 2a +c? = =a=2. 2ab 2ac 2a
2 2 2 2 2 2 2

5.30° 2 2 2 2 2 解析 c =a +b -2abcos C=2 +4 -2?2?4?cos 60°=12, ∴c=2 3. a c 1 由正弦定理: = 得 sin A= . sin A sin C 2 ∵a<c,∴A<60°,A=30°. 3 6. 4 解析 ∵b =ac,c=2a,∴b =2a ,b= 2a, 2 2 2 2 2 2 a +c -b a +4a -2a 3 ∴cos B= = = . 2ac 2a?2a 4 7.直角三角形 1-cos A c-b 2A 解析 ∵sin = = , 2 2 2c 2 2 2 b b +c -a 2 2 2 ∴cos A= = ? a +b =c ,符合勾股定理. c 2bc 故△ABC 为直角三角形. 8.120° 2 2 2 2 解析 易知: a +ab+b >a, a +ab+b >b,设最大角为 θ ,则 cos θ = 2 2 2 2 2 a +b -? a +ab+b ? 1 =- ,∴θ =120°. 2ab 2 9.45° 1 2 1 2 2 解析 ∵S= (a +b -c )= absin C, 4 2 2 2 2 2 2 2 ∴a +b -c =2absin C,∴c =a +b -2absin C. 2 2 2 由余弦定理得:c =a +b -2abcos C,∴sin C=cos C, ∴C=45° . 10.-2 3 1 2 2 2 解析 S△ABC= acsin B= 3,∴c=4.由余弦定理得,b =a +c -2accos B=13, 2 a +b -c 1 12 ∴cos C= =- ,sin C= ,∴tan C=- 12=-2 3. 2ab 13 13 2 2 2 2 2 2 AB +AC -BC 9 +8 -7 2 11.解 由条件知:cos A= = = ,设中线长为 x,由余弦定理 2?AB?AC 2?9?8 3 AC 2 ?AC?2 2 2 2 2 知:x =? ? +AB -2? ?ABcos A=4 +9 -2?4?9? =49? x=7. 2 3 ?2? 所以,所求中线长为 7. 1 12.解 (1)cos C=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=- ,又∵C∈(0°,180°),∴C 2 =120°.
3
2 2 2 2 2 2

(2)∵a,b 是方程 x -2 3x+2=0 的两根,

2

?a+b=2 3, ∴? ?ab=2.
∴AB =b +a -2abcos 120°=(a+b) -ab=10, ∴AB= 10. 1 3 (3)S△ABC= absin C= . 2 2 13. 3 BC +AC -AB 2 2 解析 ∵cos C= = ,∴sin C= . 2?BC?AC 2 2 ∴AD=AC?sin C= 3. 14.解 由余弦定理知 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c -a a +c -b a +b -c cos A= ,cos B= ,cos C= , 2bc 2ac 2ab 代入已知条件得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c -a a +c -b c -a -b a? +b? +c? = 0, 2bc 2ac 2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 通分得 a (b +c -a )+b (a +c -b )+c (c -a -b )=0, 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 展开整理得(a -b ) =c .∴a -b =±c ,即 a =b +c 或 b =a +c . 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形.
2 2 2 2 2 2 2

4


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