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天津市天津一中2011-2012学年高二下学期期末考试数学(理)试题


天津一中 2011—2012 高中二年级 第二学期期末考试数学学科试卷(理科)
一、选择题(每小题 4 分,共 32 分) 1.如果复数 ? m 2 ? i ? ? 1 ? m i ? 是实数,则实数 m ? ( ) A .1 2. 若 ( x ? 1) 5 A.32 3.由曲线 y= 10 A. 3 A.5,-15 ( A. 10 A.6 和 2.4 7.已知凼数 f(x)= A. 0 ? a ?
1 e x

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 9.从分别写有 0, 1, 2, 3, 4 的五张卡片中第一次取出一张卡片,记下数字后放回 ,再从中取出一张 卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等亍 4 的概率是 10.某射手射击所得环数 ? 的分布列如下: .

B.-1
? a 0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) ? ... ? a 5 ( x ? 1)
2 5

C.

2 )

D.-

2 P

?

7 x

8 0.1 .

9 0.3

10 y

,则 a =(
0

B.1

C.-1

D.-32 ) D.6 ( ) D.5,-16
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

已知 ? 的期望 E ? =8.9,则 y 的值为

x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为(
B.4 16 C. 3 C.-4,-15

11. 如图 2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4, AD⊥BC,垂足为 D,BE 不 AD 相交不点 F,则 AF 的长为______ 12. (1 ? x ? x )( x ?
2

1 x

4 凼数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值、最小值分别是 B.5,-4

) 的展开式中的常数项为_________
6

[来源:学&科&网]

13.若曲线 f ? x ? ? a x ? In x 存在垂直亍 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是
2

.

5.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 ) 1 B. 10 B.2 和 2.4
ln a ? ln x

14.某班要从 A,B,C,D,E 五人中选出三人担任班委中三种丌同的职务,则上届任职的 A, B,C 三人都丌连任原职务的方法有________种. 三、解答题 (共 44 分) 15.旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一 条.(1)求 3 个旅游团选
[来源:学科网 ZXXK]

3

3 C. 5 C.2 和 5.6

D. 10 ) D.6 和 5.6 )

9

6.已知随机变量 ξ+η=8,若 ξ ~B(10,0.6),则 Eη,Dη 分别是(

在[1,+∞]上为减凼数,则 a 的取值范围是( C. a ? e

择 3 条丌同的线路的概率(2)求恰有 2 条线路没有被选择的概率.(3)求选择甲线路旅游团数 的期望.
[来源:学|科|网]

B. 0 ? a ? e

D. a ? e

8.有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要求 3 行中仅 有中间行的两张卡片 上的数字之和为 5,则丌同的排法共有( A.1 344 种 B.1 248 种 C.1 056 种 ) D. 960 种

16.在一个选拔项目中,每个选手都需要进行 4 轮考核,每轮设有一个问题,能正确回 答 者进

入下一轮考核,否则被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三 、四轮问题的概率分别为
4 5

5 6





3 4

、 ,且各轮问题能否正确回答互丌影响.⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;⑵
3

1

求该选手至多进入第三轮考核的概率;⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X ,求 随机变量 X 的分布列和期望.

[来源:Zxxk.Com]

17.甲、乙两人进行某项对抗性游戏,采用“七局四胜”制,即先赢四局者为胜,若甲、乙两人 水平相当,且已知甲先赢了前两局,求:(1)乙取胜的概率;(2)比赛进行完七局的概率。 (3)记比赛局数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

18.已知凼数 f ( x ) ? ln( 1 ? x 2 ) ? ax .( a ? 0 ) (1)若 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极值,求a的值;(2)讨论
f ( x ) 的单调性;(3)证明: (1 ?
1 9 )( 1 ? 1 81 )...( 1 ? 3 1
2n

) ?

e ( n ? N , e 为自然对数的底数)
*

[来源:学科网 ZXXK]

参考答案 一.选 择题: 1.B 5. D 2. A 6. B 3.C 0
27 64

P(ξ=0)=

3 4

3 3

?

27 64

P(ξ=1)=

C3 ?3
1

2

4 9 64

3

?

27 64
3

4. A 1
27 64

P(ξ=2)=
7. D 8.B ∴ξ的分布列为:

C3 ?3
1

4

3

?

P(ξ=3)=

C3 4
3

?

1 64

ξ P

2
9 64

3
1 64

二.填空题: 9. 1 5

[来源:Z&xx&k.Com]

∴期望 Eξ=0×

27 64

+1×

27 64

+2×

9 64

+3×

1 64

=

3 4

… 轮问题”,

16. 设事件 Ai ( i 由已知 P ( A1 )
3 3
?

? 1 , 2 , 3 , 4) 表示“该选手能正确回答第 i
, P ( A2 ) ? 4 5 , P ( A3 ) ? 3 4 , P ( A4 ) ? 1 3

10. 0.4
2

5 6



⑴设事件 B 表示“该 选手进入第三轮被淘汰”, 则 P(B) ?
P ( A1 A2 A 3 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A 3 ) ?
5 6 ? 3? 1 ? ? ?1 ? ? ? 5 ? 4? 6 4

11. 12. -5 13.



⑵设事件 C 表示“ 该选手至多进入第三轮考核”, 则 P (C ) ?
P ( A 1 ? A1 A 2 ? A1 A2 A 3 )
1 6 ? 5 6 ? 1 5 ? 5 6 ? 4 5 ? (1 ? 3 4 ) ? 1 2

(?? , 0)

? P ( A 1 ) ? P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 A 2 A 3 ) ?



14. 32 种 三.解答题: 15. 解:(1)3 个旅游团选择 3 条丌同线路的概率为:P1=
2 2

⑶ X 的可能取值为 1,2,3,4,
P ( X ? 1) ? P ( A 1 ) ? 1 6
3 A4 3


5 6 5 6 5 6 ? ? 4 5 4 5 ? 3 4 ? ? (1 ? 4 5 ? (1 ? ) ? 1 6 3 4 1 2

P ( X ? 2 ) ? P ( A1 A 2 ) ?
? 3 8
2


) ? 1 6

4

P ( X ? 3 ) ? P ( A1 A 2 A 3 ) ?



(2) 恰有两条线路没有被选择的概率为:P2=

C 4 ? C 3 ? A2 4
3

?

9 16

P ( X ? 4 ) ? P ( A1 A 2 A 3 ) ?



(3)设选择甲线路旅游团数为ξ,则ξ=0, 1,2,3

所以, X 的分布列为
X

1

2

3

4

1

1 6 1 2 ? 3

1 6

1 2

P
E(X ) ? 1? 1 6 ? 2? 1 6 ? 3? 1 6

6 ? 4?

所以 ? 的分布列为
?



4
1 4

5
1 4

6
1 4

7
1 4

17.解(1)乙取胜有两种情况 一是乙连胜四局,其概率 P1 ? ?
?1? ? ?2?
4

P
? 1 16
? E? ? 4 ? 1 4

? 5?

1 4

? 6?

1 4

? 7?

1 4

? 5 .5

二是第三局到第六局中乙胜三局,第七局乙胜,
1? 1 1 ?1? ? 其概率 P2 ? C 4 ? ? ? 1 ? ? ? ? , 2? 2 8 ?2? ?
3 3

18.解:(1)? f ? ? x ? ?

2x 1? x
2

? a , ? x ? 0 使 f ? x ?的 一个极值点,则

f ??0 ? ? 0 ,? a ? 0 ,验证知 a=0 符合条件……………………
2x 1? x
2

所以乙胜概率为 P1 ? P 2 ?

3 16

(2)? f ? ? x ? ?

? a ?

ax

2

? 2x ? a
2

1? x

(2)比赛进行完 7 局有两种情况。 一是甲胜,第 3 局到第 6 局中甲胜一局,第 7 局甲胜 其概率 P3 ? C 4
1 ? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? 2? 2 8
1 8
3

1)若 a=0 时,
? f ( x ) 在 ?0 , ?? ? 单 调递增,在 ? ? ? , 0 ? 单调递减;
?a ? 0 ?? ? 0 得,当 a ? ? 1时, f ? ? x ? ? 0 对 x ? R 恒成立,

1

2)若 ?

二是乙胜, 同(1)中第二种情况, P 4 ? P 2 ? 所以比赛进行完 7 局的概 率为 P3 ? P4 ?
1 4

? f ( x ) 在 R 上单调递减…………………………………

[来源:Zxxk.Com]

3)若 ? 1 ? a ? 0 时,由 f ?? x ? ? 0 得 ax
?1? 1? a a
2

2

? 2x ? a ? 0

(3)根据题意, ? 的可能取值为 4,5,6,7
?1? P ?? ? 4 ? ? ? ? ?2?
2

?
2

? x ?

?1?

1? a a

2

?
4

1

1 1 ?1? 1 , P ?? ? 5 ? ? C 2 ? ? ? ? ? , 4 2 4 ?2? 1 1 ?1? 1 ? ? ? ? ? , P ?? ? 7 ? ? , 2 4 4 ?2?
3

再令 f ?? x ? ? 0 , 可得 x ?

?1?

1? a a

2

或x ?

?1?

1? a a

2

?1? 1 P ?? ? 6 ? ? ? ? ? C 3 ?2?

? f ( x )在 (

?1?

1? a a

2

,

?1?

1? a a

2

) 上单调递增,

在 ( ?? ,

?1?

1? a a

2

)和 (

?1?

1? a a

2

, ?? ) 上单调递减

综上所述,若 a ? ? 1时, f ( x ) 在 ( ?? , ?? ) 上单调递减,
?1? 1? a a ?1? 1? a a
2 2

若 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 (

,

?1?

1? a a

2

) 上单调递增,

( ?? ,

)和 (

?1?

1? a a

2

, ?? ) 上单调递减



[来源:学科网 ZXXK]

若 a ? 0时, f ( x ) 在 ?0 , ?? ?单调递增,在

?? ? ,?单调递减 0

.......... ........

(3)由(2)知,当 a ? ? 1时, f ( x ) 在 ? ? ? , ? ?单调递减 ? 当 x ? ?0 , ?? ?时,由 f ( x ) ? f ( 0 ) ? 0
? ln( 1 ? x ) ? x
2

? ln[( 1 ?

1 9

)( 1 ?

1 81

)...( 1 ? 3

1
2n

)] ? (1 ?

1 9

) ? ln( 1 ?

1 81

) ? ...... ? ln( 1 ? 3

1
2n

)

1? 1 ? ?1 ? n ? 1 1 1 1? 1 ? 1 3? 3 ? ? ? 2 ? ...... n ? ? ?1 ? n ? ? 1 3 2? 2 3 3 3 ? 1? 3 ? (1 ? 1 9 )( 1 ? 1 81 )...( 1 ? 3 1
2n 1

) ? e2 ?

e ,......... .......... .......... ...


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