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简单的逻辑联结词(非)


1.3

简单的逻辑联结词

第二课时

复习回顾 1.命题“p∧q”和“p∨q”的含义分 别是什么?

p∧q:用联结词“且”把命题p和命题q 联结起来得到的命题.
p∨q:用联结词“或”把命题p和命题q 联结起来得到的命题.

2.命题p、q的真假与命题“p∧q” 和“p∨q”的真假分别有什么关系?

当且仅当p、q都是真命题时,p∧q为真 命题;
当且仅当p、q都是假命题时,p∨q为假 命题.

3.逻辑联结词不只是“且”与“或”, 其中“非”也是一个常用的逻辑联结词, 对此,我们再作些理论分析.

探究(一):逻辑联结词“非” 思考1:下列各组语句是命题吗?它们之 间有什么关系?并判明真假. 真 (1)35能被5整除, 假 35不能被5整除; (2)函数y=lgx是偶函数, 假 函数y=lgx不是偶函数; 真 真 (3)|a|≥0, 假 | a| < 0 ; (4)方程x2-4=0无实根, 假 真 方程x2-4=0有实根.

思考2:一般地,对一个命题p全盘否定, 就得到一个新命题,记作﹁p,读作“非 p”或“p的否定”,那么﹁p的否定是什 么?

﹁p的否定是p 思考3:命题p与﹁p的真假有什么关系? p与﹁p必有一个是真命题, 另一个是假命题.

练习:写出下列命题的否定,并判明真假.

1.矩形的对角线相等且相互平分;

60

?

2.若f(x)是偶函数,则对任意的x∈R 恒有f(-x)=f(x);

思考4:命题p:“大于1的数是正数”的 否定是什么?其否命题是什么?

﹁p:大于1的数不是正数.
否命题:不大于1的数不是正数. 命题的否定只否定结论

否命题则既否定条件也否定结论

探究(二):三种命题的逻辑拓展

思考1:如何从集合的交、并、补运算理 解p∧q、p∨q、﹁p的真假关系?
若x∈P且x∈Q,则x∈P∩Q; 若p为真且q为真,则p∧q为真.

若x∈P或x∈Q,则x∈P∪Q;
若p为真或q为真,则p∨q为真. 若x∈P,则x ? ? ; P U

若p为真,则﹁p为假.

思考2:对于命题p、q,如何确定 ﹁p∧q,﹁p∨q的真假? 当且仅当p为假命题,q为真命题时, ﹁p∧q为真命题;

当且仅当p为真命题,q为假命题时, ﹁p∨q为假命题.

思考3:命题﹁(p∧q)和﹁(p∨q)分别等 价于什么命题?

﹁(p∧q)=﹁p∨﹁q; ﹁(p∨q)=﹁p∧﹁q.

理论迁移

例1 已知命题p:负数有平方根,写 出命题﹁p,p的否命题,并判断其真假.

﹁p:负数没有平方根;

否命题:如果一个数是非负数,则 这个数没有平方根.

例2 写出下列命题的否定,并判断 它们的真假: (1)p:y=sinx是周期函数; ( 2 ) p: 3 < 2 ; (3)p:空集是集合A的子集. (1)﹁p:y=sinx不是周期函数. 假命题. (2)﹁p:3≥2. 真命题. (3)﹁p:空集不是集合A的子集. 假命题

例3

已知p:函数 f ( x) ? (a ? a) x 在
2

R上单调递减,q:函数 y ? lg(ax ? x ? a)
2

的定义域为R,如果﹁p∨q为假命题, 求实数a的取值范围.

1 a ? (0, ] 2

思考:已知p: 函数f(x)=logax是减函数, q: |x+2|-|x-1|≤a对x∈R恒成立, 若p∧q为假,且p∨q为真,求a的范围.

小结作业 1.命题的否定即﹁p,它是对命题p的 全盘否定,与p的否命题有本质的区别, 二者不能混为一谈.

2.命题p与﹁p有且只有一个为真命题, 命题p与p的否命题的真假关系不确定. 3.对于p∧q,p∨q和﹁p相互渗透的 真假命题,一般应转化为p、q的真假来 解决.


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