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2013版高中数学全程学习方略课时训练:2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(人教A版必修4)


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温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看 比例,答案解析附后。

课时提能演练(二十二)/课后巩固作业(二十二)
(30 分钟 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2012·西安高一检测)若 a,b 是两个互相垂直的非零向量,给出以下式子: ①a·b

=0;②a+b=a-b;③|a+b|=|a-b|;④a2+b2=(a+b)2;⑤(a+b)·(a-b)=0, 其中正确的个数为( (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)4 ) 50 分)

2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=( (A) 13 (B) 26 (C)13 (D)21

3.(2012·襄阳高一检测)定义:|a×b|=|a||b|sinθ ,其中θ 为向量 a 与 b 的 夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( (A)8 (B)-8 (C)8 或-8 (D)6 )

4.(2012·天津高考)已知△ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足 AP ? ?AB,
3 AQ ? (1 ? ?)AC, ? ? R.若BQ CP ? ? , 则λ =( 2

)

(A) (C)

1 2

(B) (D)

1? 2 2 ?3 ? 2 2 2

1 ? 10 2

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.已知|a|=6,e 是单位向量,它们之间夹角是 45°,则 a 在 e 方向上的投影
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为________. 6.(易错题)如图,圆 O 的半径为 1,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且∠AOB=30°,
AC ? 2AB, 则 OA BC =________.

三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.(2012·长春高一检测)已知向量 a 与 b 满足|a|=4,|b|=2,且|a+b| ? 2 3. (1)求|3a-4b|;(2)(a-2b)·(a+b). 8.已知|a|=1,|b|= 2, a 与 b 的夹角为θ . (1)若 a 与 b 共线,求 a·b; (2)若 a-b 与 a 垂直,求θ . 【挑战能力】 (10 分)已知 a,b 是非零向量,f(x)=x2a〃b+(b2-a2)x-a〃b, (1)若 a⊥b,判断函数 f(x)的奇偶性; (2)若 f(x)为奇函数,证明:a⊥b.

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答案解析
1.【解析】选 C.a,b 是两个互相垂直的非零向量,则 a〃b=0,故①正确;如图 所示,a+b 与 a-b 方向不同,不是相等向量,故②错误;
| a ? b |? a2 ? 2a b ? b 2 ? a 2 ? b 2 , a ? b ? a2 ? 2a b ? b 2 ? a2 ? b 2 ,

∴|a+b|=|a-b|,故③正确; 因为 a〃b=0,所以(a+b)2=a2+2a〃b+b2=a2+b2,故④正确;当|a|=|b|时,才 有(a+b)〃(a-b)=0,故⑤错误.

2.【解析】选 A.由(2a-3b)〃(2a+b)=61,得 4|a|2-4a〃b-3|b|2=61. 将|a|=4,|b|=3,代入上式,求得 a〃b=-6. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a〃b+|b|2=13, 所以|a+b| ? 13. 3.【解题指南】解答本题应先由 a〃b=-6 求出 cosθ,再利用同角三角函数的关 系式求 sinθ,最后根据|a×b|的定义求值. 【解析】选 A.∵a〃b=|a||b|cosθ=2×5×cosθ=-6,
3 4 ? cos? ? ? ,又? ? [0, ?],? sin? ? , 5 5 4 ∴|a×b|=|a||b|sinθ ? 2 ? 5 ? ? 8. 5

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【方法技巧】数学中“信息迁移题”问题解题技巧 所谓“信息迁移题”是指:设计一个陌生的数学情景(即:定义一个概念,约定 一种运算,提供一串数据等),在阅读理解的基础上运用所学的数学知识和方法 进行求解的一类问题.它不仅具有知识性、 心理性测试的功能, 还具有背景公平、 有利于竞争的特点.解答此类问题的技巧有: ①紧扣定义:由定义导致了“陌生情景” ,显然定义是关键 .解题时紧扣定义, 深入分析定义的特点,认真领会定义的实质,尤其是定义中隐含的或特殊的情 形.通过对定义的仔细推敲和概念的全面认识使问题获解. ②借助图象:面对信息迁移题的众多数据及这些数据间错综复杂的制约关系, 倘若能通过变量将它们联系起来,再在直角坐标系中画出图象,借助图象,问 题会渐趋明朗. ③逐一验证:涉及多个方案选取最优方案问题,往往可以对各方案单独进行求 解.在每个方案结果产生以后进行比较,结论不宣自明. ④解析法:涉及确定曲线的信息迁移题,往往需要建立直角坐标系,利用二次 曲线的有关知识进行求解. ⑤构建模型:很多信息迁移题实际上也是应用题,求解思路:首先分析题意, 然后建立数学模型,通过数学模型使问题获解. 信息迁移题由于来源广、范围大,又加上新概念、新信息的引入及长长的文字 叙述等,都给求解增添了很多困难.面对一个新的问题,往往不是某一种策略可 以解决的,可能要综合运用多种策略,构建模型方能奏效. 4.【解题指南】根据向量的线性运算及数量积进行运算. 【解析】选 A. BQ ? AQ ? AB ? (1 ? ?)AC ? AB,
CP ? AP ? AC ? ?AB ? AC ,
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2 3 3 ?由BQ CP ? ? 得[(1 ? ?)AC ? AB] (? AB ? AC) ? ? ,化简得(1 ? ?)? AC AB ? (1 ? ?)AC 2 2 2 2 2 3 ?? AB ? AB AC ? ? , 又因为在等边三角形中, AC AB ? 2, 代入化简 AC ? 4, AB ? 4, 2 1 解得 ? ? . 2

【举一反三】若在本题△ABC 中,∠A=90°,AB=1,AC=2,其他条件不变,试 求λ. 【解析】 BQ ? AQ ? AB ? (1? ?)AC ? AB,
CP ? AP ? AC ? ? AB ? AC,
2 3 3 ?由BQ CP ? ? 得[(1 ? ?)AC ? AB] (? AB ? AC) ? ? , 化简得(1 ? ?)? AC AB ? (1 ? ?)AC 2 2 2 3 ?? AB ? AB AC ? ? , 2

又因为AC AB ? 0, AC ? 4, AB ? 1, AB AC ? 0, 5 所以解得? ? . 6

2

2

5.【解析】a 在 e 方向上的投影为|a|cos45°=6 ? 答案: 3 2 6.【解析】∵∠AOB=30°, AC ? 2AB, ∴∠AOC=2∠AOB=60°.
? OA BC ? OA (OC ? OB) ? OA OC ? OA OB ? 1?1? cos60? ? 1?1? cos30? ? 1? 3 . 2

2 ? 3 2. 2

答案:

1? 3 2

【变式训练】(2011〃上海高考)在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点.若 AB=3,BD=1,则 AB AD =_______. 【解析】由已知条件得
AD ? AB ? BD
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1 ? AB ? BC 3 1 ? AB ? (AC ? AB) 3 1 2 ? AC ? AB, 3 3 1 2 那么AB AD=AB ( AC ? AB) 3 3 2 1 2 15 = AC AB ? AB = . 3 3 2

答案:

15 2

7.【解析】∵|a+b| ? 2 3, ∴(a+b)2=a2+2a〃b+b2=42+2a〃b+22
? (2 3)2 ,

∴a〃b=-4. (1)∵|3a-4b|2=9a2-24a〃b+16b2 =9×42-24×(-4)+16×22=16×19, ∴|3a-4b| ? 4 19. (2)(a-2b)〃(a+b)=a2-a〃b-2b2 =42-(-4)-2×22=12. 8.【解析】(1)若 a 与 b 共线,则 a 与 b 的夹角θ为 0°或 180°, 当θ=0°时,a〃b=|a||b|cos0° ? 1? 2 ?1 ? 2. 当θ=180°时,a〃b=|a||b|cos180°= 1? 2 ? (?1) ? ? 2. (2)若 a-b 与 a 垂直,则(a-b)〃a=0, ∴a〃b=a2=|a|2=1,
? cos? ? ab 1 2 ? ? , a b 1? 2 2

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又? ? [0, ?],?? ?

? . 4

【挑战能力】 【解析】(1)f(x)=x2a〃b+(b2-a2)x-a〃b, ∵a⊥b,∴a〃b=0, ∴f(x)=(b2-a2)x. ①当|a|≠|b|时,f(x)为奇函数; ②当|a|=|b|时,f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x)对于 x∈R 恒成立,所以 f(0)=0,即 -a〃b=0,又 a,b 是非零向量,故 a⊥b.

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