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几何概型题组强化训练题


几何概型
题组一 与长度有关的几何概型 1.已知地铁列车每 10 min 一班,在车站停 1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率 是 1 A. 10 1 B. 9 1 C. 11 1 D. 8 ( )

解析: 设乘客到达站台立即乘上车为事件 A, 试验的所有结果构成的区域长度为 10 min, 1 而构成事件 A 的区域长度为 1 min,故

P(A)= .答案:A 10 2.在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为一边作正方形,则此正方形 的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为 1 A. 16 1 B. 8 1 C. 4 1 D. 2 ( )

解析:正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间,所以正方形的边长介于 6 cm 到 9 cm 9-6 1 之间.线段 AB 的长度为 12 cm,则所求概率为 = .答案:C 12 4 3. 《广告法》对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节目做了长期的统计 9 后得出结论,他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率为 ,那么该台每 10 小时约有________分钟的广告. 9 解析:60×(1- )=6 分钟.答案:6 10 题组二 与面积(或体积)有关的几何概型

4.(2009· 辽宁高考)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点.在长方形 ABCD 内 随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 π A. 4 π B.1- 4 π C. 8 π D.1- 8 ( )

解析:对应长方形的面积为 2×1=2,而取到的点到 O 的距离小于等于 1 时,其是以 O 1 1 为圆心,半径为 1 所作的半圆,对应的面积为 ×π×12= π,那么满足条件的概率为: 2 2 1 π 2 π 1- =1- .答案:B 2 4 5.设-1≤a≤1,-1≤b≤1,则关于 x 的方程 x2+ax+b2=0 有实根的概率是 1 A. 2 1 B. 4 1 C. 8 1 D. 16 ( )

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?-1≤a≤1, ? 解析:由题知该方程有实根满足条件?-1≤b≤1, ?a2-4b2≥0, ?

作平面

区域如右图:由图知阴 影面积为 1,总的事件对应面积为正方 1 形的面积,故概率为 .答案:B 4 6.已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区 域 Ω 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为 1 A. 3 2 B. 3 1 C. 9 2 D. 9 ( )

解析:作出两集合表示的平面区域如图所示.容易得出 Ω 所表示的平面区域为三角形 AOB 及其边界,A 表示的 区域为三角形 OCD 及其边界. 容易求得 D(4,2)恰为直线 x=4,x-2y=0,x+y=6 三线的交点. 1 1 则可得 S△AOB= ×6×6=18,S△OCD= ×4×2=4. 2 2 4 2 所以点 P 落在区域 A 的概率为 = .答案:D 18 9

?x+y- 7.在区域?x-y+ ?y≥0
π A. 2

2≤0, 2≥0, 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率为

( π B. 8 π C. 6

) π D. 4

解析:区域为△ABC 内部(含边界),则概率为 π 2 S半圆 π P= = = . 4 S△ABC 1 ×2 2× 2 2 答案:D 8.(2010· 济南模拟)在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P,则使点 P 到三个顶点的距 离至少有一个小于 1 的概率是________. 解析:以 A、B、C 为圆心,以 1 为半径作圆,与△ABC 相交出 三个扇形(如图所示), 当 P 落在阴影部分时符合要求.

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1 π 3×( × ×12) 2 3 3π 3 ∴P= = .答案: π 6 6 3 ×22 4 9.已知函数 f(x)=x2-2ax+b2,a,b∈R. (1)若 a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b 从集合{0,1,2}中任取一个元素,求方程 f(x) =0 有两个不相等实根的概率; (2)若 a 从区间中任取一个数,b 从区间中任取一个数,求方程 f(x)=0 没有实根的概率. 解:(1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b 取集合{0,1,2}中任一个元素, ∴a,b 的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0), (3,1),(3,2). 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值, 即基本事件总数为 12. 设“方程 f(x)=0 有两个不相等的实根”为事件 A, 当 a≥0,b≥0 时,方程 f(x)=0 有两个不相等实根的充要条件为 a>b. 当 a>b 时,a,b 取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2), 即 A 包含的基本事件数为 6, 6 1 ∴方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率 P(A)= = . 12 2 (2)∵a 从区间中任取一个数,b 从区间中任取一个数,则试验的全部结果构成区域 Ω= {(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3}, 这是一个矩形区域,其面积 SΩ=2×3=6. 设“方程 f(x)=0 没有实根”为事件 B,则事件 B 所构成的区域为 M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b}, 即图中阴影部分的梯形,其面积 1 SM=6- ×2×2=4. 2 SM 4 2 由几何概型的概率计算公式可得方程 f(x)=0 没有实根的概率 P(B)= = = . SΩ 6 3

题组三

生活中的几何概型

10.平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为 3 cm, 把一枚半径为 1 cm 的硬币任意平 掷在这个平面,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是 1 A. 4 1 B. 3 C. 1 2 2 D. 3 ( )

解析:平面被这一组平行线分割成条状区域,现对两条平行线之间的区域考虑:平行线 间的距离为 3 cm,硬币半径为 1 cm,要想硬币不与两条平行线相碰,硬币中心与两条

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平行线的距离都应大于 1 cm,如图:

硬币中心只有落在阴影部分(不包括边界)时,才能让硬币与两条平行线都不相碰,则硬 1 币中心落在阴影部分的概率为 .整个平面由无数个这样的条状区域组成, 故所求概率是 3 1 .答案:B 3 11.在平面直角坐标系 xOy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的 区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则所投的点 落在 E 中的概率是__________. 解析:如图:区域 D 表示边长为 4 的正方形 ABCD 的内部(含边界), π×12 π 区域 E 表示单位圆及其内部,因此 P= = . 4×4 16 π 答案: 16 12.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.甲、 乙两船停靠泊位的时间分别为 4 小时与 2 小时, 求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时 间的概率. 解:甲比乙早到 4 小时内乙需等待,甲比乙晚到 2 小时内甲需等待. 以 x 和 y 分别表示甲、乙两船到达泊位的时间,则有一 艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为-4≤x-y≤2,在如 图所示的平面直角坐标系内,(x,y)的所有可能结果是边长为 24 的 正方形,而事件 A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果由阴影部分表 示.由几何概型公式得: 1 1 242- ×222- ×202 2 2 67 P(A)= = . 2 24 288 67 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是 . 288

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