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湖南省长郡中学2015届高三月考试卷(二)理科数学试卷(word版)


长郡中学 2015 届高三月考试卷(二)



学(理科)

长郡中学高三数学命题组组稿
得分:____________ 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,没小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.“ x ? 0 ”是“ ln ? x ? 1? ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C. 充分必要条件
3

B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2.已知函数 y ? x ? 3 x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c ? A.-2 或 2 C.-1 或 1 3.已知函数 f ( x) ? sin ? x 在 ? 0, 可以是 B.-9 或 3 D.-3 或 1

3 ? ?? 上单调递增且在这个区间上的最大值为 , 则实数 ? 的一个值 ? 2 ? 4?

4 10 D. 3 3 4.已知向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a ? b 为 a 与 b 的“向量积”,且 a ? b 是一个向量,它的长度
A. B. C.

2 3

8 3

a ? b ? a b sin ? ,若 ? ? ? 2, 0 ? , ? ? ? ? ?1, ?3? ,则 ? ? ? ? ? ? ? ?
A, 4 3 B. 3 C. 6 D. 2 3

5.一几何体的三视图如图,该几何体的顶点都在球 O 的球面上,球 O 的表面积是

A. 2?

B. 4?

C. 6?

D. 16?

6.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l //? , 则? //? B. 若l ? ? ,l ? ? ,则? //?

C. 若l ? ? , l //? , 则? //?

D. 若? ? ? , l //? , 则l ? ?

7.已知 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,下列选项中不可能是关于 ? n, S n ? 的图像的是

8.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,对于任意自然数 n ,都有 an ?1 ? an ? n ? 2n ,则 a15 ? A. 14 2 ? 2
15

B. 13 214 ? 2

C. 14 215 ? 3

D. 13 215 ? 3

9.我国古代数学名著《九章算术》中 “开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方 除之, 即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V, 求其直径 d 的一个近似公式 d ? 人们还用过一些类似的近似公式.根据 π=3.14159…判断,下列近似公式中最精确的一个是 A. d ?
3 3

16 V, 9

16 V 9

B. d ?

3

2V

C. d ?

3

300 V 157

D. d ?

3

21 V 11

10.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 13 ,则满足 ak ? ak ?1 ? A.有 3 个 B.有 2 个 C.有 1 个

? ak ?19 ? 102 的整数 k
D.不存在

选择题答题卡
题 号 答 案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 11.复数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分

2 ? 2i ? ____________ 1? i

12.已知圆柱 ? 的吗,母线长为 l ,底面半径为 r , O 是上底面圆心, A, B 是下底面圆周上两个不同 的点, BC 是母线,如图,若直线 OA 与 OB 所成角的大小为

?
6

,则

1 ? __________ r

13.若 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ?

?
6

时, ?ABC 的面积是_____________.

14. 定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 上的点到直线 l 的距离,已知曲线

C1 : y ? x 2 ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于曲线 C2 : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 2 到直线 l : y ? x 的距离,则实
2

数 a ? ______________. 15. 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 有 一 个 点 列 : P 1 ? 0,1? , P 2 ? x2 , y2 ? ,

, Pn ? xn , yn ? ? n ? N * ? 。 若 点

? xn ?1 ? yn ? xn (n ? N * ) , 则 P2013 P2014 等 于 Pn ? xn , yn ? 到 点 Pn ?1 ? xn ?1 , yn ?1 ? 的 变 化 关 系 为 : ? ? yn ?1 ? yn ? xn
_______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? 上相邻两个最高点的距离为 ? 。 (1)求 ? 和 ? 的值; (2)若 f ( ) ?

? ?

?
2

?? ?

??

? 的图像关于直线 x ? 对称,且图像 3 2?

?

?

2

3 ?? 2? ? ?? ? 4 ?6 3

3? ? ? ? ,求 cos ? ? ? 2 ? ?

? ? 的值。 ?

17. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?ACB ? 90 , AA1 ? 3, AC ? BC ? 2, D为AB 的中点, E为BB1 上一点,且

BE ?? EB1
2 时,求证: CE ? 平面A1C1 D ; 7

(1)当 ? ?

(2)若直线 CE 与平面 A1 DE 所成的角为 30 ,求 ? 的值。

18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 3 x ? a ? 0 ?
3 2

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)若函数 f ( x) 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数,求 a 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m ? log a x ? a ? 0且a ? 1? 的图像过点 ? 8, 2 ? ,点 P ? 3, ?1? 关于直线 x ? 2 的对 称点 Q 在 f ( x) 的图像上。 (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)令 g ( x) ? 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ,求 g ( x) 的最小值及取得最小值时 x 的值。

20. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 若对任意的正整数 n , 总存在正整数 m , 使得 S n ? am , 则称 ?an ? 是“ ? 数列”。 (1)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n n ? N * ,证明: ?an ? 是“ ? 数列”; (2)设 ?an ? 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 ?an ? 是“ ? 数列”,求 d 的值; ( 3 ) 证 明 : 对 任 意 的 等 差 数 列 ?an ? , 总 存 在 两 个 “ ? 数 列 ” ?bn ? 和?cn ? , 使 得

?

?

an ? bn ? cn ? n ? N * ? 成立。
21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (其中k ? R ), f '( x)为f ( x) 的导函数。 ex

(1)求证:曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线不过点 ? 2, 0 ? ; (2)若在区间 ? 0,1? 中存在 x0 ,使得 f '( x0 ) ? 0 ,求 k 的取值范围; (3)若 f '(1) ? 0 ,试证明:对任意 x ? 0, f '( x) ?

e ?2 ? 1 恒成立。 x2 ? x


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