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2014届高考数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座:函数及其表示(人教A版)


2014 届数学一轮知识点讲座:函数及其表示
一、考纲目标 能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数; 理解分段函数的意义. 由所给函数 表达式正确求出函数的定义域; 掌握求函数值域的几种常用方法; 能根据函数所具有的某些 性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式;会进行函数三种表示方法的互化,培养学生 思维的严密性、多样性. 二、知识梳理 1.函数的定义:设 A、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x) ,x∈A,其中 x 叫做自变量.x 的取值范围 A 叫做函 数的定义域;与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函 数的值域. 2.两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f.当函数的 定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和 对应法则为函数的两个基本条件, 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这 两个函数才是同一个函数. 3.映射的定义:一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合 A 中的 任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合 A、B, 以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B. 由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求 A、B 非空且皆为数集. 4.映射的概念中象、原象的理解:(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都 有原象,不一定只一个原象;(3)A 中每一个元素的象唯一。 5.分段函数: (举一例) 。 6.复合函数:若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为 中间变量,它的取值范围是 g(x)的值域。 7.函数的三种表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析 表达式,简称解析式. (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

(3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 8.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组 法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等. 三、考点逐个突破 1.映射的简单应用 例 1.设集合 M ? {?1, 0,1} , N ? {?2, ?1, 0,1, 2} ,如果从 M 到 N 的映射 f 满足条件:对

M 中的每个元素与它在 N 中的象 f ( x) 的和都为奇数,则映射 f 的个数是
A.8 个 B.12 个 C.16 个 D.18 个

解:∵ x ? f ( x) 为奇数,∴当为奇数 ?1 、时,它们在 N 中的象只能为偶数 ?2 、 0 或,由 分步计数原理和对应方法有 32 ? 9 种;而当 x ? 0 时,它在 N 中的象为奇数 ?1 或,共有种 对应方法.故映射 f 的个数是 9 ? 2 ? 18 .故选 D. 例 2. 集合 A={3,4},B={5,6,7},那么可建立从 A 到 B 的映射个数是__________,从 B 到 A 的映射个数是__________. 解:从 A 到 B 可分两步进行:第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法(可对应 5 或 6 或 7) , 第二步 A 中的元素 4 也有这 3 种对应方法.由乘法原理, 不同的映射种数 N1=3×3=9.反之 从 B 到 A,道理相同,有 N2=2×2×2=8 种不同映射. 答案:9 8

2.函数相等 例 3. 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=

x ? 0, ?1 | x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

(3)f(x)= 2 n ?1 x 2 n ?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1(n∈N*) ; (4)f(x)= x

x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1. 剖析:对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x) ,当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同 时,y=f(x)和 y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相 同,反之亦然. 解: (1)由于 f(x)= x 2 =|x|,g(x)= 3 x 3 =x,故它们的值域及对应法则都不相同,所 以它们不是同一函数. (2)由于函数 f(x)=

x ? 0, ?1 | x| 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) ,而 g(x)= ? 的 x ?? 1 x ? 0;

定义域为 R,所以它们不是同一函数. (3)由于当 n∈N*时,2n±1 为奇数,∴f(x)= 2 n ?1 x 2 n ?1 =x,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1=x, 它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数. (4) 由于函数 f (x)= x

x ? 1 的定义域为{x|x≥0},而 g(x)= x 2 ? x 的定义域为{x|x

≤-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数. (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数. 评述: (1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透.要知道, 在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下, 自变量变换字母, 以至变换成其他字母的表达式, 这对于函数本身并无影响,比如 f(x)=x2+1,f(t)=t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1 都可视为 同一函数. (2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是 同一函数. 3.函数的表示方法 例 4.某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,…,一直分裂下去. (1) 用列表表示,1 个细胞分裂 1、2、3、4、5、6、7、8 次后,得到的细胞个数; (2)用图像表示 1 个细胞分裂的次数 n(n?N+)与得到的细胞个数 y 之间的关系; 解: (1) 利用正整指数幂的运算法则,可以算出 1 个细胞分裂 1、2、3、4、5、6、7、8 次后,得到的细胞个数,列表如下

分裂次数 细胞个数

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 64

7 128

8 256

(2)细胞个数 y 与分裂次数 n 之间的关系式是:y=2n,n?N+. 4.分段函数 例 5.某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品.根据经验 知道,该厂生产这种仪器,次品率与日产量(件)之间大体满足关系:

? 1 (1 ? x ? c, x ? N ) ? (其中 c 为小于 96 的正常数) P ? ? 96 ? x 2 ? ( x ? c, x ? N ) ? 3
注:次品率 P ?
次品数 ,如 P 生产量

? 0.1 表示每生产 10 件产品,约有 1 件为次品.其余为合格品.
A 元,故厂方希望定 2

已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元,但每生产一件次品将亏损 出合适的日产量.

(1)试将生产这种仪器每天的盈利额(元)表示为日产量(件)的函数; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润? 解: (1)当 x ? c 时, P ? 当 1 ? x ? c 时, P ?

2 1 2 A ,所以,每天的盈利额 T ? xA ? x ? ? 0 ; 3 3 3 2

1 , 96 ? x

所以,每日生产的合格仪器约有 ?1 ? 额

? ?

1 ? ? 1 ? ? x 件,次品约有 ? ? x 件.故,每天的盈利 96 ? x ? ? 96 ? x ?

? 1 ? 3x ? ? 1 ? A ? . T ? ?1 ? x ? ? ? xA ? ? ? x? ? ? ?A 2 96 ? x ? ? ? 96 ? x ? ? 96 ? x ? 2 ? ? ?
综上,日盈利额(元)与日产量(件)的函数关系为:

?? ? 3x ?? x ? ? A, T ? ?? 2 ? 96 ? x ? ? ? x?c ?0,

1? x ? c

(2)由(1)知,当 x ? c 时,每天的盈利额为 0. 当 1 ? x ? c 时, T ? ? x ? ?

? ?

? 3x ? A. 2 ? 96 ? x ? ? ?

令 96 ? x ? t ,则 0 ? 96 ? c ? t ? 95 .

故 T ? ? 96 ? t ?

? ?

? 1 3 ? 96 ? t ? ? 144 ? 144 ? 147 ? 1 97 ? 2 t ? A ? A ? 0. ? ? A ? ? 97 ? t ? ?A?? ? 2 2t t ? t ? 2 ? 2 ? ? ?

144 ,即 t ? 12 ?即x ? 88 ? 时,等号成立. t 147 所以(i)当 c ? 88 时, Tmax ? . A (等号当且仅当 x ? 88 时成立) 2
当且仅当 t ? (ii) 当 1 ? c ? 88 时,由 1 ? x ? c 得 12 ? 96 ? c ? t ? 95 , 易证函数 g ? t ? ? t ?

144 在 t ? (12, ??) 上单调递增(证明过程略) . t

所以, g (t ) ? g ? 96 ? c ? . 所以, T ? ? 97

? ?

1 144 ? ?t ? ?A 2 t ?

? 144 ? 189c ? 2c 2 ? 144 ? ? 1 ? ? 97 ? ? 96 ? c ? ? ?A?0, ?A?? 96 ? c ? 192 ? 2c ? 2 ? ?
即 Tmax ? ?

? 144 ? 189c ? 2c 2 ? (等号当且仅当 x ? c 时取得) ? A. 192 ? 2c ? ?

综上,若 88 ? c ? 96 ,则当日产量为 88 件时,可获得最大利润;若 1 ? c ? 88 ,则当日产 量为时,可获得最大利润. 点评 分段函数是历年高考的热门话题,常考常新,值得我们在复课时认真对待. 5.抽象函数 例 6. 函数 f ( x) 对一切实数,均有 f ( x ? y ) ? f ( y ) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成立,且 f (1) ? 0 , (1)求 f (0) 的值; (2)对任意的 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) ,都有 f ( x1 ) ? 2 ? log a x2 成立时,求的取值范围. 解: (1)由已知等式 f ( x ? y ) ? f ( y ) ? ( x ? 2 y ? 1) x , 令 x ? 1 , y ? 0 得 f (1) ? f (0) ? 2 , 又∵ f (1) ? 0 ,∴ f (0) ? ?2 . (2)由 f ( x ? y ) ? f ( y ) ? ( x ? 2 y ? 1) x , 令 y ? 0 得 f ( x) ? f (0) ? ( x ? 1) x ,

1 2

1 2

由(1)知 f (0) ? ?2 ,∴ f ( x) ? 2 ? x ? x .
2

∵ x1 ? (0, ) ,∴ f ( x1 ) ? 2 ? x1 ? x1 ? ( x1 ? ) 2 ? ∴ f ( x1 ) ? 2 ? (0, ) .

1 2

2

1 2

1 1 在 x1 ? (0, ) 上单调递增, 4 2

3 4 1 1 要使任意 x1 ? (0, ) , x2 ? (0, ) 都有 f ( x1 ) ? 2 ? log a x2 成立, 2 2 1 当 a ? 1 时, log a x2 ? log a ,显然不成立. 2

?0 ? a ? 1 3 4 1 ? 当 0 ? a ? 1 时, log a x2 ? log a ,∴ ? ,解得 ? a ?1 1 3 4 2 log a ? ? ? 2 4
3

∴的取值范围是 [

4 ,1) . 4

6.一些简单函数的求法 例 7.(1)已知 f ( x ? ) ? x 3 ?

1 x

1 ,求 f ( x) ; x3

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; (3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) . 解: (1)∵ f ( x ? ) ? x 3 ?
3

2 x

1 x

1 x

1 1 1 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) , 3 x x x

∴ f ( x) ? x ? 3 x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) .

2 , ?1 ? t ( t ? 1) x 2 2 2 则x? ,∴ f (t ) ? lg ,∴ f ( x) ? lg t ?1 t ?1 x ?1
(2)令 (3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,

( x ? 1) .

则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x) ? 2 x ? 7 . (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x 把①中的换成

1 x

①, ②,

1 1 3 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? x x x

① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ?

3 1 ,∴ f ( x) ? 2 x ? . x x

注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法; 第(4)题用方程组法. 7.函数的实际应用问题 例 8. 某市收水费的方法是:水费=基本费+超额费+耗损费,若每月用水量不超过最低限量 am3 时,只付基本费 8 元及每户每月的定额耗损费 c 元,若用水量超过 am3 时,除了付同上 的基本费和耗损费之外,超过部分每 m3 付 b 元的超额费,已知耗损费不超过 5 元。 该市一家庭今年一月、二月、三月份的用水量和支付费用如下表所示: 月份 一月 二月 三月 根据上面表格中的数据求 a,b,c 解:设每月用水量为 xm3,支付费用为 y 元,由收费方法知: 用水量 9m3 15m3 22m3 水费 9元 19 元 33 元

?8 ? c (0 ? x ? a ) y?? ?8 ? b( x ? a ) ? c ( x ? a )
依题意:0<c?5,∴ 8+c?13 所以该用户第二、三月份的用水量均大于 am3, 将 x=15,x=22 代入上面的第二个式子,得:

?19 ? 8 ? b(15 ? a ) ? c ,∴ b=2,2a=c+19 ? ?33 ? 8 ? b(22 ? a ) ? c
若该用户一月份的用水量大于 am3, 则 9=8+2(9?a)+c,2a=c+17 与 2a=c+19 矛盾, ∴ a?9 将 y=9 代入 y=8+c 得 c=1,∴ a=10, b=2, c=1

一、选择题

1.下列各组函数中表示同一函数的是( A.f(x)=x 与 g(x)=( x)2

)

3 B.f(x)=|x|与 g(x)= x3 C.f(x)=lnex 与 g(x)=elnx x2-1 D.f(x)= 与 g(t)=t+1(t≠1) x-1 解析:选 D.由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断,知 D 正确. 1 2.(2011· 高考江西卷)若 f(x)= ,则 f(x)的定义域为( ) 1 log x+ 2 1 ? 1 ? A.? B.? ?-2,0? ?-2,0? 1 ? C.? D.(0,+∞) ?-2,+∞? 2x+1>0 ? ? 解析:选 A.由题意得:? 1 ? ?log2 x+ >0 1 得- <x<0. 2 1,x>0, ? ? 3.(2012· 高考福建卷)设 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, 则 f(g(π))的值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.π 解析:选 B.∵g(π)=0,f(0)=0,故选 B. 4.
?1,x为有理数, ? g(x)=? ?0,x为无理数, ?

函数 y=f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式为( ) A.y=-|x|-1 B.y=|x-1| C.y=-|x|+1 D.y=|x+1| 解析:选 C.对照函数图象,分别把 x=0 代入解析式排除 A,把 x=-1 代入解析式排除 B,把 x=1 代入解析式排除 D,故选 C. 1-x ? x≤1, ?2 , 5.(2011· 高考辽宁卷)设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围 ?1-log2x, x>1, ? 是( ) A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 1 - 解析:选 D.当 x≤1 时,由 21 x≤2,知 x≥0,即 0≤x≤1.当 x>1 时,由 1-log2x≤2,知 x≥ , 2 即 x>1,所以满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是[0,+∞). 二、填空题

1 1 6.已知 f(x- )=x2+ 2,则 f(3)=________. x x 1 1 1 解析:∵f(x- )=x2+ 2=(x- )2+2, x x x 2 2 ∴f(x)=x +2,∴f(3)=3 +2=11. 答案:11 7.已知集合 A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f 是从 A 到 B 的映射,f:x→(x+1,x2+1), 3 5 则 A 中元素 2的象和 B 中元素( , )的原象分别为________. 2 4 解析:把 x= 2代入对应法则,得其象为( 2+1,3). 3 x+1= 2 1 由 ,得 x= . 2 5 x2+1= 4 3 5 1 所以 2的象为( 2+1,3),( , )的原象为 . 2 4 2 1 答案:( 2+1,3)、 2

? ? ?

? ? x,x≥0, 8.(2012· 高考陕西卷)设函数 f(x)=??1?x 则 f(f(-4))=________. , x < 0 , ? ??2? 1 ?-4 解析:f(-4)=? ?2? =16,所以 f(f(-4))=f(16)= 16=4.
答案:4 三、解答题 x+2,x≤-1, ? ?2x,-1<x<2, 9.已知 f(x)=? x ? ? 2 ,x≥2,
2

且 f(a)=3,求 a 的值.

解:①当 a≤-1 时,f(a)=a+2, 由 a+2=3,得 a=1,与 a≤-1 相矛盾,应舍去. ②当-1<a<2 时,f(a)=2a, 3 由 2a=3,得 a= ,满足-1<a<2. 2 a2 ③当 a≥2 时,f(a)= , 2 a2 由 =3,得 a=± 6,又 a≥2,∴a= 6. 2 3 综上可知,a 的值为 或 6. 2 2 ? 10.(1)已知 f? ?x+1?=lgx,求 f(x); (2)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. 2 2 解:(1)令 t= +1,则 x= , x t-1 2 2 ∴f(t)=lg ,即 f(x)=lg . t-1 x-1 (2)x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得

2 1 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3

一、选择题 1.(2012· 高考山东卷)函数 f(x)= A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2] x+1>0 ? ? 解析:选 B.x 满足?x+1≠1, ? ?4-x2≥0 解得-1<x<0 或 0<x≤2. 2.(2012· 高考江西卷)下列函数中,与函数 y= 1 A.y= sinx 1 3 定义域相同的函数为( ) x lnx B.y= x sinx C.y=xex D.y= x 解析:选 D.当函数以解析式形式给出时,求其定义域的实质就是以使函数的解析式所 1 含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集.函数 y= 的定义域 3 x 1 lnx 为(-∞,0)∪(0,+∞),而 y= 的定义域为{x|x∈R,x≠kπ,k∈Z},y= 的定义域为(0, sinx x sinx +∞),y=xex 的定义域为 R,y= 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).故选 D. x 二、填空题 3.下列对应中, ①A={x|x 是矩形},B={x|x 是实数},f 为“求矩形的面积”; ②A={x|x 是平面 α 内的圆},B={x|x 是平面 α 内的矩形};f:“作圆的内接矩形”; ③A=R,B={x∈R|x>0},f:x→y=x2+1; 1 ④A=R,B=R,f:x→y= ; x ⑤A={x∈R|1≤x≤2},B=R,f:x→y=2x+1. 是从集合 A 到集合 B 的映射的为________. 解析:其中②,由于圆的内接矩形不唯一,因此 f 不是从 A 到 B 的映射;其中④,A 中 的元素 0 在 B 中没有对应元素,因此 f 不是 A 到 B 的映射. 答案:①③⑤ 2 ? ?3x-1 x 4.设函数 f(x)=? ,若 f(a)<a,则实数 a 的取值范围是________. x< 2 解析:当 a≥0 时,由 a-1<a 得 a>-3 取 a≥0. 3 2 当 a<0 时,由 a <a 得,0<a<1,与 a<0 矛盾, 综上可知 a 的取值范围是[0,+∞). 答案:[0,+∞) 三、解答题 5.下面是一个电子元件在处理数据时的流程图: 1 + 4-x2的定义域为( x+ B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2] )

x>-1 ? ? 即?x≠0 , ? ?-2≤x≤2

? ?x2

(1)试确定 y 与 x 的函数关系式; (2)求 f(-3)、f(1)的值; (3)若 f(x)=16,求 x 的值. ?x+ 2,x≥1, ? 解:(1)y=? 2 ? ?x +2,x<1. (2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9. (3)若 x≥1,则(x+2)2=16,解得 x=2 或 x=-6(舍); 若 x<1,则 x2+2=16, 解得 x= 14(舍)或 x=- 14. 即 x=2 或 x=- 14.


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