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广东省汕头市2013届高三上学期期末统一检测文科数学试卷


绝密★启用前

试卷类型:A

汕头市 2013 届高三上学期期末统一检测 文科数学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

第一部分(选择题
目要求的.

满分 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

1.已知集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {2, a, b} ,若 A∩B ? {1, 3} ,则 a ? b 的值是( A.10 B.9 C.4 D.7

).

2.如图在复平面内,复数 z1 , z 2 对应的向量分别是 OA, OB , 则复数 z1 ? z 2 的值是( A. ? 1 ? 2i ). C. 1 ? 2i
a? 6

B. ? 2 ? 2i

D. 1 ? 2i 的值为( ).

3.若点 (9, a ) 在函数 y ? log 3 x 的图象上,则 tan
3 3

A.0

B.

C.1

D. 3

4.若向量 a ? (2,0), b ? (1,1) ,则下列结论正确的是( ). A. a ? b ? 1 B. | a |?| b | C. (a ? b) ? b D. a // b 为 n 有 30

5.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量 的样本,其频率分布直方图如图所示,其 中支出在[50,60)元的同学 人,则 n 的值为( ). A.100 B.1000 C.90 D.900 6.如图正四棱锥(底面是正方形,顶点在底面的射影是底 面的中心)P-ABCD 的底面边长为 6cm,侧棱长为 5cm,则它的侧视图的周长等于( ). A.17cm B. 119 ? 5cm C.16cm D.14cm
? x ? y ? 0, ? 7.若实数 x,y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ?| x ? 3 y | ?0 ? x ? 1, ?

的最大值为( ). A.6

B.5

C.4

D.3

8.按如图所示的程序框图运行程序后,输出的结果是 15, 则判断框中的整数 H=( ). A.3 B.4 C.5 D.6 9.给出下面结论:
2 ①命题 p “?x0 ? R, x0 ? 3 x0 ? 2 ? 0” 的否定为 :

?p “?x ? R, x ? 3 x ? 2 ? 0” :
2

②函数 f ( x) ? 2 ? 3 x 的零点所在区间是(-1,0) ;
x

③函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

?
3

个单位后,得到函数

y ? sin( 2 x ?

?
3

) 图象;

④对于直线 m,n 和平面 ? ,若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? . 其中正确结论的个数是( A.1 10.定义
1 2n ? 1

). B.2 C.3 D.4

n p1 ? p2 ? ? ? pn

为 n 个正数 p1 , p 2 ,? p n 的“均倒数”.若已知数列 {an } 的前 n 项的“均倒数”为
1 b1b2 1 b2 b3
9 10

,又 bn ?
1 11

an ? 1 4

,则

?

???

1 b10 b11

=(
10 11

).
11 12

A.

B.

C.

D.

第二部分

(非选择题

满分 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.已知 2 ?
2 3 ?2 2 3 , 3? 3 8 ?3 3 8

, 4?

4 15

?4

4 15

,?? ,若 6 ?

a t

?6

a t

, ( a, t

均为正实数) ,类比以上等式,可推测 a,t 的值,则 a ? t =_________. 12.已知: cos(
?
6 ? a) ?

? 5? 3 ,则 sin 2 (a ? ) ? cos( ? a ) 的值为________. 3 6 6

13.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且 x ? [0,2] 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) , 甲、 乙、 丙、 丁四位同学有下列结论: 甲: f (3) ? 1 ; 乙: 函数 f (x) 在 [?6,?2] 上是减函数; 丙: 函数 f (x) 关于直线 x=4 对称;丁:若 m ? (0,1) ,则关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在[0,6]上所有根之和为 4.其中结论正确的同学是____. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. CD ? AB 14.(几何证明选讲)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上, 于点 D,且 AD=3DB,设 ?COD ? ? ,则 tan 2
?
2

=________.

15.(坐标系与参数方程)已知直线 l : ? cos ? ? ? sin ? ? 4 , 圆 C : ? ? 4 cos ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系是________. (相交或相切或相离?) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、 证明过程或 演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级,现从—批该零件中随机抽取 20 个,对其等级进行 统计分析,得到频率分布表如下: 等 1 2 3 4 5 级 频 0.05 m 0.15 0.35 n 率 (1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n 的值; (2)在(1)的条件下, 从等级为 3 和 5 的所有零件中, 任意抽取 2 个, 求抽取的 2 个零件等级不相同的概率.

17.(本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x) ? 3 sin 2?x ? 2 sin 2 ?x 的最小正周期为 3? . (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)在 ?ABC 中,若 f (C ) ? 1 ,且 2 sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C ) ,求 sin A 的值.

18.(本小题满分 14 分) 已知正项等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a 3 , a 7 ? 2,3a 9 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 {an } 的前 n 项和为 S n , f (n) ?
Sn ( n?18) Sn?1

, 试问当 n 为何值时, f (n) 最大, 并求出 f (n) 的最大值. ABCD ,

19.(本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,平面 ACE ? 平面 四边形 ABCD 为平行四边形,
?ACB ? 90 , EF // BC , AC ? BC ?
?

2



AE=EC=1. (1)求证: AE ? 平面 BCEF; (2)求三棱锥 D-ACF 的体积.

20.(本小题满分 14 分) 某种上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元) 、日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的对应关系分别如 下:[有序数对(t,P)落在图甲中的折线上,日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如表乙所示.]

(1)根据图甲的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求这 30 天中第几天日交易额最大, 最大值为多少? (注:各函数关系式都要写出定义域. )

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a )e ? (a ? 1) x ? a , a ? R . (注:e 为自然对数的底数. )
x

(1)当 a ? 1 时,球的单调区间; (2)(i)设 g (x) 是 f (x) 的导函数,证明:当 a ? 2 时,在 (0,??) 上恰有—个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 (ii)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ? [0,2] ,恒有 f ( x) ? 0 成立.

参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照 评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响 的程度映定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一.选择题: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题 号 答 案 二.填空题: 11.-29. 12.
2? 3 3

C

B

D

C

A

D

B

A

B

C



13.甲、乙、丁.

14.

1 3

.

15.相交

解答过程分析: 10.选 D.解析:由已知得
n a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 2n ? 1

? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n( 2n ? 1) ? S n

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 4n ? 1
? bn ?
1 b1b2

当 n ? 1 时也成立,? a n ? 4n ? 1
1 n ?1
)?( 1 2 ? 1 1 1 10 . ) ??? ( ? )? 3 10 11 11

an ? 1 4
? 1 b2 b3

? n, ?

1 bn ? bn ? 1
1 b10 b11

?

1 n

?

?

???

? (1 ?

1 2

11.填-29.解析:类比等式可推测 a ? 6, t ? 35 ,则 a ? t ? ?29. 12.填
2? 3 3

。解析:
?
6
3 3 2 3 5? 6

? sin (? ?
2

?
6

) ? 1 ? cos (
2

??) ? 1? (

) ?
2

, cos(

? ? ) ? cos[? ? (

?
6

? ? )] ? ? cos(

?
6

? ?) ? ?

3 3

? sin (? ?
2

?
6

) ? cos(

5? 6

??) ?

2 3

?

3 3

?

2? 3

3

.

13.填甲、乙、丁. 解析: f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,则 f (x) 的最小正周期 T ? 8 , 又 x ? [0,2] 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,且定义在 R 上 f (x) 是奇函数,则 f (x) 大致图像如下:

故甲、乙、丁正确. 14.填
1 3

.
3 2 r , BD ? 1 2 r ,由 CD ? AD ? BD 得 CD ?
2

解析:设半径为 r,则 AD ?
? ? ?
3

3 2

r ,从而

,故 tan 2

?
2

?

1 3

.
?
2

15.填相交。 解析:法一:在极坐标系中,点(4,0)和 (0, 可得圆与直线相交. 法二:方程②代入①得 4 cos 2 ? ? 4 cos ? sin ? ? 4 ,?1 ? cos 2? ? sin 2? ? 2 ,
sin(
) 为圆直径端点,作圆 C,又过两点(4,0)和 ( 4,?

?
2

) 作直线 l,

?
4

?? ) ?

2 2

,在 [0,2? ] 内有两解,∴直线与圆相交。
2 2 2 2

法三:圆 C 的直角坐标方程是 x ? y ? 4 x ,即 ( x ? 2) ? y ? 4 .圆心 C(2,0),半径 r=2 直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 .所以圆心 C 到直线 l 的距离 d ?
|2?0?4| 2 ? 2 ?r ?2.

三.解答题: 16.解:(1)由频率分布表得: 0.05 ? m ? 0.15 ? 0.35 ? n ? 1,? m ? n ? 0.45 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,则 n ?
2 20

…2 分

? 0.1, ? m ? 0.45 ? 0.1 ? 0.35 .…5 分

(2)由(1)得等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1 , x2 , x3 ,等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1 , y2

从 x1 , x 2 , x 3 , y1 , y 2 中任取 2 个零件,有 ( x 1 , x 2 ), ( x 1 , x 3 ), ( x 1 , y 1 )( x 1 , y 2 ), ( x 2 , x 3 ), ( x 2 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )
( x3 , y1 ), ( x3 , y 2 ), ( y1 , y 2 ) 共 10 种

…………8 分 ………10 分 …………12 分
?
6

记事件 A 为“从 x1 , x 2 , x 3 , y1 , y 2 中任取 2 个零件,其等级不相同”,则 A 包含的基本事件是
( x1 , y 1 )( x1 , y 2 )( x 2 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ( x 3 , y 1 )( x 3 , y 2 ) 共 6 个
6 10 3 5

所求概率 P ( A) ? 17.解:

?

(1) f ( x) ? 3 sin 2?x ? 2 sin 2 ?x ?

3 sin 2?x ? 1 ? cos 2?x ? 2 sin( 2?x ?
2? 2? ? 3? ,? ? ? 1 3

) ? 1 …3 分

依题意:函数 f (x) 的周期为 3? ,即
f ( x) ? 2 sin( 2x 3 ?



……5 分 ……6 分

?
6

) ?1

(2)? f (C ) ? 2 sin(
? C ? (0, ? ), ?

2C 3 2C 3

?

?
6

) ?1 ? 1 ?(

? sin(

2C 3

?

?
6

) ? 1,

?

?
6

?
6

,

5? 6

) ,?
2

2C 3

?

?
6

?

?
2

,? C ?

?
2

.

……8 分

在 Rt?ABC 中,? A ? B ?
2

?
2

,2 sin

B ? cos B ? cos( A ? C )

? 2 cos A ? sin A ? sin A ? 0 ,即 sin A ? sin A ? 1 ? 0 ,解得: sin A ?
2

?1? 5 ……11 分 2

? 0 ? sin A ? 1,? sin A ?

5 ?1 2

.

…………12 分

(注:17 题原题题干后面加上条件“ ? ? 0 ”。) 18.解:(1)设公差为 d,则 a 3 ? 1 ? 2d , a 7 ? 1 ? 6d , a 9 ? 1 ? 8d
? a 3 , a 7 ? 2,3a 9 成等比数列,? (3 ? 6d ) ? 2d
2 2

…………2 分 …………3 分 …………6 分 …………8 分

? 3(1 ? 2d )(1 ? 8d )

? d ? 1 ? 0,? d ? 0 ,? d ? 1,? a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n .
n(1 ? n) 2

(2)? an ? n, S n ?

,?

Sn S n ?1

?

n n?2

.

? f ( n) ?

Sn ( n ?18) S n ?1

?

n ( n ? 18)(n ? 2)

?

n n ? 20n ? 36
2

? n?

1 36 n ? 20

?

1 12 ? 20

?

1 32

……12 分

当且仅当 n ?

36 n

,即 n ? 6 时, f (n) 取得最大值

1 32

.

………14 分

19.解:(1)∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE ? 平面 ABCD=AC
? BC ? AC
AE ? 平面 AEC

BC ? 平面 BCEF
? BC ? AE ,
? AC
2

? BC ? 平面 AEC
? AE ? CE
2 2

………2 分 …………3 分 …4 分 ……6 分

又 AC ?

2 , AE ? EC ? 1

? AE ? EC

且 BC ? EC ? C ,? AE ? 平面 ECBF.

(2)设 AC 的中点为 G,连接 EG,? AE ? CE
? EG ? 平面 ABCD

? EG ? AC

……7 分

∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE ? 平面, ABCD ? AC , ………9 分 (法二:由(1)可知 BC ? 平面 AEC,? EG ? 平面 AEC 又 AC ?BC ? C
? EG ? 平面 ABCD.
? BC ? EG ,……8 分

………9 分

? EF // BC , EF ? 平面 ABCD, ?

所以点 F 到平面 ABCD 的距离就等于点 E 到平面 ABCD 的距离 即点 F 到平面 ABCD 的距离为 EG 的长 …………………11 分
?VD ? ACF ? VF ? ACD ? VE ? ACD ? ? S ?ACD ? 1 2
1 3 ? 1? 2 2
? ? ? ?

1 3

s?ACD EG 2 ?1

AC ? AD ?

1 2

?
2 6

2?

EG ?

1 2

AC ?

2 2
2 6

…………13 分 . …………14 分

? VD ? ACF ?

?

即三棱锥 D-ACF 的体积为
(0?t ?20,t?N *) ( 20?t ?30,t?N *)

20.解:(1)设 P (t ) ? ?

k1t ? b1 k 2t ? b2

,依题意及由图象甲可得:

?b1 ? 2 ?20k 2 ? b2 ? 6 及? ? ?20k1 ? b2 ? 6 ?30k 2 ? b2 ? 5

?b2 ? 8 ?b1 ? 2 ? ? 解得: ? 1 1 及? ?k1 ? ?k 2 ? ? 5 10 ? ?

……4 分

? 1 t?2 ? ? 故所求 P 满足的函数关系式 P (t ) ? ? 5 t ?? ?8 ? 10 ?

(0 ? t ? 20, t ? N *)

…………5 分
( 20 ? t ? 30, t ? N *),

(2)依题意设 Q(t ) ? k3t ? b3 ,0 ? t ? 30, t ? N * ,把前两组数据代入得: ? 解得: ?
?k3 ? ?1 ?b3 ? 40

?4k 3 ? b3 ? 36 ?10k 3 ? b3 ? 30

, ……8 分
1 5 1 10 t ? 8)(?t ? 40) ? 1 10 (t ? 60)
2

故 Q 的一次函数关系式是 Q(t ) ? ?t ? 40,0 ? t ? 30, t ? N * (3)依题意:当 0 ? t ? 20, t ? N * 时, y ? ( t ? 2)(?t ? 40) ? ?
5 1

(t ? 15)

2

? 125 ? 40

当 20 ? t ? 30, t ? N * 时, y ? (?

? 1 2 ? (t ? 15) ? 125(0 ? t ? 20, t ? N *) ? ? 5 故 y 关于 t 的函数关系式: y ? ? ,………12 分 1 2 ? (t ? 60) ? 40( 20 ? t ? 30, t ? N *) ?10 ?

若 0 ? t ? 20, t ? N * ,则 t ? 15 时, y max ? 125 (万元) 若 20 ? t ? 30, t ? N * ,则 y ?
1 10 ( 20 ? 60) ? 40 ? 120 (万元)
2

∴第 15 天日交易额最大为 125 万元. 21.解:解:(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1)e ? 1,? f ( x) ? xe
x
x

……14 分
x

…………1 分 …………3 分 ………4 分

? e ? 0 ,令 f ' ( x) ? 0 得: x ? 0 ;令 f ' ( x) ? 0 得: x ? 0

所以函数 f (x) 的减区间是 (??,0) ;增区间是 (0,??) (2)(i)证明:
? g ( x) ? f ' ( x) ? e ( x ? a ? 1) ? ( a ? 1),? g ' ( x) ? e ( x ? a ? 2)
x x

? a ? 2,? a ? 2 ? 0 ,且 e

x

? 0, x ? 0 ,

令 g ' ( x) ? 0 得: 0 ? x ? a ? 2 ;令 g ' ( x) ? 0 得: x ? a ? 2 则函数 g ( x) 在 (0, a ? 2) 上递减;在 (a ? 2,??) 上递增
? g (0) ? 0,? g ( a ? 2) ? 0 ,又 g ( a ) ? e ? a ? 1 ? 0
a

………6 分

所以函数 g (x) 在 (0, a ? 2) 上无零点,在 (a ? 2,??) 上有惟一零点 因此在 (0,??) 上恰有一个 x0 使得 g ( x0 ) ? 0 .
x

…………8 分

(ii)若 a ? 2 ,则 ? a ? 2 ? 0 ,对 ?x ? [0,2], g ' ( x) ? e ( x ? a ? 2) ? 0 恒成立, 故函数 g ( x) 在 [0,2] 上是增函数,? g ( x) ? g (0) ? 0 ,因此函数 f (x) 在 [0,2] 内单调递增, 而 f (0) ? 0 ,? f ( x) ? f (0) ? 0 ,不符题意。 ………10 分
? a ? 2 ,由(i)知 f (x) 在 (0, x0 ) 递减, ( x0 ,??) 递增,

设 f (x) 在[0,2]上最大值为 M,则 M ? max{ f (0), f (2)} , 故对任意的 x ? [0,2] ,恒有 f ( x) ? 0 成立等价于 ?
? f (0) ? 0 ? f ( 2) ? 0



……12 分

由 f (2) ? 0 得: (2 ? a )e 2 ? 2a ? 2 ? a ? 0 ,? a ? 又 f (0) ? 0 ,? a ?
2e ? 2
2

2e ? 2
2

e ?3
2

? 2?

4 e ?3
2

? 2,

e ?3
2



……14 分


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