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2012-2013高三理科数学第二次阶段考试试卷


2012-2013 高三理科数学第二次阶段考试试卷
一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分。请把答案填在答题卷上) (
1. 函数 y ?

x(x ?1) ? x 的定义域为(



A. x | x ≥ 0

?

?

B. x

| x ≥ 1

?

? ?


C. x | x ≥ 1 ? ?0?

?

?

D. x | 0 ≤ x ≤ 1

?

2、 或 q 是真命题”是“p 且 q 是真命题”的( “p A、充分不必要条件 C、充要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

3.函数 y ? loga x 和 y ? (1 ? a) x 的图象可能是 (

)

0 1 A

0 B

1

0 C

1

0 D

1

4、设 f ( x)是(??,??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x , 则 f (2007.5) 等于( A. 0.5 B.1.5 ) C. ? 0.5 D. ? 1.5

5、如果函数 y ? f ( x) 的图象如右图,那么导函数 y ? f ?( x) 的图象可能是(

)

第 1 页 共 12 页

6、函数 y ? x 3 ? ax ? b 在区间 (?1,1) 上为减函数,在 (1, ??) 上为增函数,则( A. a ? 1, b ? 1 B. a ? 1, b ? R C. a ? ?3, b ? 3 D. a ? ?3, b ? R



?x ? 0 ?y ? 0 ? 7.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 s 的取值范围是( y?x?s ? ? y ? 2x ? 4 ? A. 0 ? s ? 2 或 s ? 4 B. 0 ? s ? 2 C. 2 ? s ? 4 D. s ? 4
8、已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在区间 [?1, 2] 上是减函数,那么 b ? c ( A.有最大值





15 2

B.有最小值

15 2

C.有最大值 ?

15 2

D.有最小值 ?

15 2

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分。请把答案填在答题卷上)
9. 设集合 S ? x | x ? 2 ? 3 , T ? ?x | a ? x ? a ? 8? S ? T ? R , a 的取值范围是 ▲ 。 则 , 10、函数 y ?

?

?

? x 2 ? 2 x ? 3 的单调减区间





11、 已知函数 y ? f ( x) 是偶函数, x ? 0 时, f ( x) ? x ? 当 的最大值为 m ,最小值为 n ,则 m ? n ? _____▲_____。

1 ?, 1 , x ?[ 3 ?] 时, f ( x ) 当 记 x

? 12.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式
解集为 ▲ 。
x y

f ( x) ? f (? x) ? 0的 x

13.已知 x ? 0, y ? 0,lg 2 ? lg8 ? lg 2, 则

1 1 ? 的最小值是 x 3y
▲ 。





2 2 2 14 若 x ? 2 y ? 4 z ? 1 ,则 x ? y ? z 的最小值是
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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三、解答题(共 80 分) 15. (本小题满分 12 分)已知 p: y ? log(3?2m) x 在 (0,??) 上是增函数, 2 q:方程 x + (m – 2 )x + 1 = 0 的两个根属于(0,3) , 若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,求实数 m 的取值范围
2

, 4 , 6

第 2 页 共 12 页

16. (本小题满分 12 分)设 a 是实数,定义在 R 上的函数 f ( x) ? a ? (1)若 f ( x ) 为奇函数,求 a 的值;(4 分) (2)证明:对于 a 取任意实数, f (x ) 是增函数。 分) (8

2 , 2 ?1
x

17. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? 2 | ?1, x ? R. (Ⅰ)判断函数 f (x) 的奇偶性; (Ⅱ)求函数 f (x) 的最小值.

18.( 本小题满分 14 分) 已知函数 y ? f ( x ) ? (1)求函数 y ? f (x) 的图像在 x ?

ln x 。 x

1 处的切线方程; (2)求 y ? f (x) 的最大值; e (3) 设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ?a,2a? 上的最小值

19、 (本小题满分 14 分)某厂使用两种零件 A、B 装配两种产品 P、Q,该厂的生产能力是
第 3 页 共 12 页

月产 P 产品最多有 2500 件,月产 Q 产品最多有 1200 件;而且组装一件 P 产品要 4 个 A、 2 个 B,组装一件 Q 产品要 6 个 A、8 个 B,该厂在某个月能用的 A 零件最多 14000 个;B 零件最多 12000 个。 已知 P 产品每件利润 1000 元, 产品每件 2000 元, Q 欲使月利润最大, 需要组装 P、Q 产品各多少件?最大利润多少万元?

20.(本小题满分 14 分)
已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 直线l1 : y ? ?t 2 ? 8t (其中 ? t ? 2.t 为 常 数 ) ; 0

l 2 : x ? 2 .若直线 l 1、 l 2 与函数 f(x)的图象以及 l 1,y 轴与函数 f(x)的图象所围成的
封闭图形如阴影所示. (Ⅰ)求 a 、b、c 的值 (Ⅱ)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式; (Ⅲ)若 g ( x) ? 6 ln x ? m, 问是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图 象与 y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

2012-2013 高三理科数学第二次阶段考试答题卷
第 4 页 共 12 页

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)

题号 二、填 答案

1

2

3

4

5

6

7

8 空 题

(每小题 5 分,共 30 分) 9. 12. 三、解答题(共 80 分) 15. (本小题满分 12 分) ; 10. ; 13. ; 11. ; 14. ; .

2 , 4 , 6

16. (本小题满分 12 分)

17. (本小题满分 14 分)
第 5 页 共 12 页

18.( 本小题满分 14 分)

19、 (本小题满分 14 分)
第 6 页 共 12 页

20.(本小题满分 14 分)
第 7 页 共 12 页

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

2012-2013 高三理科数学第二次阶段考试题答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
第 8 页 共 12 页

答案

C

B

B

C

A

D

A

C

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. ? 3 ? a ? ?1 10. [?1,1] 11.

4 3

12. (0,1) ? (?1,0)

13.

4

14.

1 21

三、解答题(共 80 分) 15.解:? y ? log( 2m?3) x 在 (0,??) 上是增函数, 2 , ? 3 ? 2m ? 1? m ? ?1 ????? 3 分 4 2 ? 方程 f ?x ? =x + (m – 2 )x + 1 = 0 的两个根在 0 至 3 之间 , 6
??m ? 2?2 ? 4 ? 0 ? ∴ ?0 ? ? m ? 2 ? 3 ? 2 f ?0? ? 0 ? ? f ?3? ? 0 ?
?m ? 0或m ? 4 ? ∴? ? 4 ? m ? 2 ? 1? 0 ? 4 ? m?? 3 ?

∴?

4 <m≤0 ??? 8 分 3

依题意得:m 的取值范围是: ?

4 <m≤-1 或 m>0 3

????? 12 分 ??4 分

16.解: (1)∵ f ( x ) 为 x ? R 且为奇函数,则有 f (0) ? 0 ,所以 a ? 1 (2)设 x2 ? x1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (a ? 分

2 2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ) ? (a ? x1 ) ? x2 2x2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2x1 ? 1)

??8

? y ? 2x 为增函数,且 2 x ? 0 ,? 2 x2 ? 2 x1 ? 0 , (2x2 ? 1)(2x1 ? 1) ? 0 ,????10 分 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) .
故对任何实数 a , f ( x) ? a ?

2 在 R 上均为增函数. ??????????12 分 2 ?1
x

? x 2 ? x ? 3, x ? 2, ? 17.解: (1)f(x)= ? ???????????????????2 分 ? x 2 ? x ? 1, x ? 2. ?
∵f(0)=1≠0,∴f(x)不是 R 上的奇函数.?????????????? 4 分 ∵f(1)=1,f(-1)=3,f(1)≠f(-1) ,∴f(x)不是偶函数. 故 f(x)是非奇非偶的函数. ?????????????????????7 分 (2)当 x≥2 时,f(x)=x2+x-3,此时 f(x)min=f(2)=3. ???????10 分
第 9 页 共 12 页

当 x<2 时,f(x)=x2-x+1,此时 f(x)min=f( 综上可得,f(x)min=

1 3 )= .?????????13 分 2 4

3 .???????????????????????14 分 4
??? 1 分

18.解(1)? f (x) 定义域为 ?0,???
1 1 ? f ( ) ? ? e , k ? f / ( ) ? 2e 2 e e 1 ? 函数 y ? f (x) 的在 x ? 处的切线方程为: e 1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) ,即 y ? 2e 2 x ? 3e e ? f / (x) ?
(2)令 f / ( x) ? 0 得 x ? e

1 - lnx x2

??? 5 分

? 当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f (x) 在 (0, e) 上为增函数
当 x ? (e,??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数

? f max ( x) ? f (e) ?

1 e

???? 10 分

(3)? a ? 0 ,由(2)知:

F (x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,??) 上单调递减。

? F (x) 在 ?a,2a? 上的最小值 f min ( x) ? min{F (a), F (2a)}
? F ( a ) ? F ( 2a ) ? 1 a ln 2 2

? 当 0 ? a ? 2 时, F (a) ? F (2a) ? 0, f min ( x) ? F (a) ? ln a
当 2 ? a 时 F (a) ? F (2a) ? 0 , f min ( x) ? F ( 2a ) ?
19.解:设分别生产 P、Q 产品 x 件、y 件,

1 ln 2a ???? 14 分 2
则有

y

2x+8y=12000 1200
第 10 页 共 12 页

A(2000,1000)

x 2500 4x+6y=14000

?4 x ? 6 y ? 14000 ?2 x ? 8 y ? 12000 ? 依题意有? ?0 ? x ? 2500 ?0 ? y ? 1200 ?
设利润

z=1000x+2000y=1000(x+2y) ????5 分

要使利润最大,只需求 z 的最大值. 作出可行域如图示(阴影部分及边界) ????8 分 作出直线 l:1000(x+2y)=0,即 x+2y=0 ????9 分 由于向上平移平移直线 l 时,z 的值增大,所以在点 A 处 z 取得最大值

由?

?2 x ? 3 y ? 7000 ? x ? 2000 解得 ? ,即 A(2000,1000) ????12 分 ?x ? 4 y ? 6000 ? y ? 1000

因此,此时最大利润 zmax=1000(x+2y)=4000000=400(万元). ????13 分
答: 要使月利润最大, 需要组装 P、 产品 2000 件、 Q 1000 件, 此时最大利润为 400 万元。 ?? 14 分 20.解: (I)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)(8,0) , , 并且 f(x)的最大值为 16

? ?c ? 0 ? ? ?a ? ?1 则 ?a ? 82 ? b ? 8 ? c ? 0 解之得:b ? 8 , ? 2 ?c ? 0 ? 4ac ? b ? ? 4a ? 16, ?
∴函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? ? x ? 8x
2

???4 分

? y ? ?t 2 ? 8t ? (Ⅱ)由 ? 得 ? y ? ? x 2 ? 8x ?

x 2 ? 8x ? t (t ? 8) ? 0,? x1 ? t, x2 ? 8 ? t ,
∵0≤t≤2,∴直线 l1 与 f(x)的图象的交点坐标为( t ,?t ? 8t )
2

???6 分

由定积分的几何意义知:

S (t ) ? ? [(?t 2 ? 8t ) ? (? x 2 ? 8x)]dx ? ? [(? x 2 ? 8x) ? (?t 2 ? 8t ]dx
0 t

t

2

第 11 页 共 12 页

x3 x3 ? [(?t ? 8t ) x ? (? ? 4 x2 )] t0 ?[(? ? 4 x2 ) ? (?t 2 ? 8t ) ? x] 3 3
2

2

t

4 40 ? ? t 3 ? 10t 2 ? 16t ? 3 3

????9 分

(Ⅲ)令 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? 8x ? 6 ln x ? m. 因为 x>0,要使函数 f(x)与函数 g(x)有且仅有 2 个不同的交点,则函数

? ( x) ? x 2 ? 8x ? 6 ln x ? m 的图象与 x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点
? ? ' ( x) ? 2 x ? 8 ? 6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)(x ? 3) ? ? ( x ? 0) x x x

∴x=1 或 x=3 时, ? ' ( x) ? 0 当 x∈(0,1)时, ? ' ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数; 当 x∈(1,3)时, ? ' ( x) ? 0, ? ( x) 是减函数 当 x∈(3,+∞)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数
'

∴ ? ( x)极大值为? (1) ? m ? 7; ? ( x)极小值为 (3) ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? ????12 分 又因为当 x→0 时, ? (x) ? ?? ;当 x ? ??时,? (x) ? ?? 所以要使 ? ( x) ? 0 有且仅有两个不同的正根,必须且只须 ?

?? (1) ? 0

?? (3) ? 0 或? ' ?? (3) ? 0 ?? (1) ? 0

即?

?m ? 7 ? 0 ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 , ∴m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. 或? ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ?m ? 7 ? 0

∴当 m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. 时,函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有两个不同交点。 ?????14 分

第 12 页 共 12 页


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