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1.2.1余弦定理(上公开课)


[复习引入]
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比
相等,即

a b c ? ? sin A sin B sin C
(1)已知三角形的两角和任一边, (AAS、ASA)

(2)已知两边和其中一边的对角。(SSA)
初中证明一般三角形全等的方法: SAS、SSS 、AAS、ASA

[探求新知]
在锐角三角形ABC中,已知AC ? b, CB ? a和角C , 求边c.
A

c ? AD ? BD
2 2
2

2
2

? ? b sin C ? ? ? a ? b cos C ?
2 2 2 2 2

b C a
D

c B

? b sin C ? a ? b cos C ? 2ab cos C ? a ? b ? 2ab cos C
2 2

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

同样,对于钝角三角形及直角三角形,上面三个 等式成立的,课后请同学们自己证明。

[探求新知]
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其它两边的平方的
和减去这两边与它们的夹角余弦的积的两倍.
b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc a 2 ? c 2 ? b2 cos B ? 2ac

a = b + c - 2bccosA
b2 = a 2 + c2 - 2accosB c = a + b - 2abcosC
2 2 2

2

2

2

a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

(1)已知两边和一夹角,求第三边 (2)已知三角形三边,求任一角

[探求新知]

b ?c ?a cos A ? 2bc
2 2

2

a ?b ?c 2 2 2 0 ?A ? 90 ? a ? b ? c ?A ? 900 ? a 2 ? b2 ? c 2
?A ? 900 ?
2 2

2

直角三角形 钝角三角形 角A是锐角

注:(1)余弦定理可以看作是勾股定理的推广

(2)最大边的平方与其它两边的平方和的 大小关系,判断三角形状。

[举例应用]
例1.(1)在?ABC中,已知a ? 7, b ? 4 3 , c ? 13 , 求这个三角形的最小角.

(2)在?ABC中,已知a ? 2, b ? 2 2 , C ? 15 , 解这个三角形.
0

练习: 在?ABC中,已知a 2 ? b2 ? bc ? c 2,则角A ? ___

[举例应用]
练习: 在?ABC中,已知a ? b ? bc ? c ,则角A ? ___
2 2 2

分析:由a ? b ? bc ? c 可得, ?bc ? b ? c ? a
2 2 2 2 2

2

1 b ?c ?a 0 ?? ? ? cos A ? A ? 120 2 2bc
2 2 2

[举例应用]
例2.根据下列条件分别判断三角形形状

(1)a ? 7, b ? 10, c ? 6

(2)a cos A ? b cos B ? c cos C
练习.已知锐角三角形的边长分别为 2,3,a, 则 a 的取值范围是________

[举例应用]
练习.已知锐角三角形的边长分别为 2,3,a, 则 a 的取值范围是________

分析: 2<3 ? 2所对角一定是锐角,则只要满足
2 2 2 2 ? ? ?3 ? 2 ? a ? a ? 5 ? 5 ? a ? 13 ? 2 2 2 ?? 2 ? ?a ? 3 ? 2 ? ? a ? 13

[举例应用]
例3.(1)在?ABC中,已知AC ?
0

7 , BC ? 2,

B ? 60 ,求BC 边上的高.
A 7

B 9
C

7 C

600

B

D 2

A

8 D

(2)在?ABC中,已知BC ? 7, AC ? 8, AB ? 9, 求AC边上的中线长.
变式:求角B的角平分线长。

小结

今天我们学习了什么? 知识都到哪儿去了?

小结 角边角 角角边 边边角 边角边

会用才是真的掌握了

正弦定理

边边边
边边角

余弦定理


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