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高中数学 第二章《函数单调性的应用》课件 苏教版必修1


第5课时 函数单调 性的应用 1.会利用作差法判断或证明函数的单调区间. 2.能根据函数的单调性求函数的最值及函数的值域. 基本函数的单调性可以根据函数的图象归纳其单调性, 那么还有很多函数不是基本函数,而是由几个基本函数通 过加减等各种运算复合而成的,它们的图象我们并不熟悉 ,那么这类函数的单调性怎么判断? 问题1 (1)比较两个数a,b的大小可以通过作差来判

断,即ab<0? a<b ,a-b=0? a=b ,a-b>0? a>b ,形如这 样比较大小的方法称为作差比较法. (2)判断函数f(x)在区间D上的单调性,可以先给出区 间D上的任意两个数x1,x2,假设x1<x2,再作差f(x1)f(x2),通过化简、因式分解(若有分母,则先通分)等 方法进行变形,判断出f(x1)-f(x2)的符号,若f(x1)f(x2)<0恒成立,则f(x)在区间D上是 增函数 ,若f(x1)f(x2)>0恒成立,则f(x)在区间D上是 减函数 , 以上通过作差法判断单调性的步骤可以简化为3个环 节,即作差→变形→定号. 问题2 函数的最大值与最小值是如何定义的? (1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M f(x)≤M ;②存在x0∈I,使 f(x)≤M 满足:①对于任意的x∈I,都有 得 .那么,称M是函数y=f(x)的最大值. (2)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满 足:①对于任意的x∈I,都有 f(x)≥M ;②存在x0∈I,使 得 ,那么,称M是函数y=f(x)的最小值. f(x0)=M 函数最值定义中的不等式反映了函数y=f(x)的函 数值具有什么特点?其图象又有什么特征? f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实 M;这个函数的图象特征是有 最高点 ,并且最高点 数 的 纵坐标 是M. 问题3 f(x)≥M反映了函数y=f(x)的所有函数值不小于实数 ,并且最低点 M ;这个函数的图象特征是有 最低点 的 纵坐标 是M. 问题4 1 若 a>b>1,M=a+a ,N=b+b ,则 M,N 的大小关系是 【解析】M-N=a+ -b- =(a-b) 1 1 - ( - )( -1) 1 1 M>N . = ,因为 a>b>1, 所以 a-b>0,ab-1>0,ab>0,所以 M-N>0, 即 M>N. 2 已知函数 f(x)=ax+b 在 R 上是增函数,那么函数 f(x)=x2+2ax+b 在(0,+∞)上单调递 增 . 【解析】因为函数 f(x)=ax+b 在 R 上是增函数,所以 a>0, 2 函数 f(x)=x +2ax+b 的对称轴是 x=-a<0,所以在(0,+∞)上是 增函数. 3 函数 y=-3x +2 在区间[-1,2]上的最大值为 2 2 . 【解析】函数 y=f(x)在区间[-1,2]上的最大值为 f(0)=2. 1 4 求函数 f(x)= 的最大值. - 2 + 2,x < 1 1 ,x ≥ 1, 【解析】当 x≥1 时,函数 f(x)= 为减函数,所以 f(x) 在 x=1 处取得最大值,最大值为 f(1)=1;当 x<1 时,易 知函数 f(x)=-x2+2 在 x=0 处取得最大值,最大值为 f(0)=2. 故函数 f(x)的最大值为 2. 函数单调性的判断与证明 利用函数单调性的定义,证明函数 f(x)= 在区间 [0,+∞)上是增函数. 【解析】任取 x1,x2∈[0,+∞),且 x1<x2

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