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高一数学必修四综合能力检测


本册综合能力检测
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 1.在△ABC 中,sinA· cosA=-8,则 cosA-sinA 的值为( 3 A.- 2 5 C. 2 答案:D 5 解析:由(cosA-sinA)2=1-2sinAcosA=4,而在△ABC 中,因为 5 sinAcosA<0 可知 sinA>0,cosA<0,∴cosA-sinA=- 2 . 2. 若|a|=1, |b|=2, |a+b|= 7, 则 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值( 1 A.-2 1 C.3 答案:B 解析:由|a+b|= 7,得: 7=(a+b)2=a2+b2+2a· b=1+4+2×1×2cosθ, 1 所以 cosθ=2. → 1→ → → → → 3.如图,在△ABC 中,BD=2DC,AE=3ED,若AB=a,AC= → b,则BE等于( ) 1 B.2 1 D.-3 ) 3 B.± 2 5 D.- 2 )

1 1 A.3a+3b 1 1 C.2a+4b 答案:B

1 1 B.-2a+4b 1 1 D.-3a+3b

→ → → 3→ 3 → → 3 3→ 解析:BE=AE-AB=4AD-a=4(AB+BD)-a=4a-a+4BD= 1 3 1→ 1 1 → → 1 1 1 1 1 -4a+4×3BC=-4a+4(AC-AB)=-4a+4b-4a=4b-2a. 1 π π 4.函数 y=log5sin(3-4x)的单调递增区间是( 2 10 A.[-3, 3 ) 2 10 B.[-3, 3 ) 2 10 C.[-3, 3 ] 2 4 D.[8k-3,8k+3)(k∈Z) 答案:D 1 π π 解析:将原函数转化为 y=log5[-sin(4x-3)],由复合函数的单 )

π π 调性可知,整个函数的单调递增区间就是 y=sin(4x-3)的递增区间, π π 且 sin(4x-3)<0. 1 5. 已知函数 y=sinx 的定义域为[a,b],值域为[-1,2],则 b- a 的值不可能是( π A.3 C.π 答案:A 2π 解析:画出函数 y=sinx 的草图分析知 b-a 的取值范围为[ 3 , 4π 3 ],故选 A. 6.化简式子 2-sin22+cos4的值是( A.sin2 C. 3cos2 答案:D 解析:将 cos4 运用倍角公式变形为 1-2sin22,从而原式化为 3-3sin22,再开方即得结果. → → 7.已知三点 A(1,1)、B(-1,0)、C(0,1),若AB和CD是相反向量, 则点 D 的坐标是( A.(-2,0) C.(2,0) 答案:B ) B.(2,2) D.(-2,-2) ) ) 2π B. 3 4π D. 3

B.-cos2 D.- 3cos2

→ → 解析:设出 D 点的坐标(x,y),写出向量AB和CD的坐标形式, 根据它们是相反向量,可以列出关于 x,y 的方程组,从而得解. 8.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图像如下图所示,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于( )

A.2 C.2+2 2 答案:C

B.2+ 2 D.-2-2 2

π 解析:由图像可知,f(x)=2sin4x,其周期为 8, ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11) =f(1)+f(2)+f(3) π π 3π =2sin4+2sin2+2sin 4 =2+2 2. π 9.将函数 y=sin2x 的图像向左平移4个单位,再向上平移 1 个单 位,所得图像的函数解析式是( A.y=2cos2x π C.y=1+sin(2x+4) 答案:A 解析:平移后所得的解析式为: ) B.y=2sin2x D.y=cos2x

π y=sin2(x+4)+1 =1+cos2x=2cos2x. π 2 10.a=(cos2α,sinα),b=(1,2sinα-1),α∈(2,π),若 a· b=5, π 则 tan(α+4)等于( 1 A.3 1 C.7 答案:C 2 3 解析:由题意得 cos2α+sinα(2sinα-1)=5,整理得 sinα=5.又 α π 4 3 π ∈(2, π), 所以 cosα=-5, 所以 tanα=-4.所以 tan(α+4)= π 1-tanαtan4 1 =7. π tanα+tan4 ) 2 B.7 2 D.3

→ → → → 11.如右图,向量OA=a,OB=b,且BC⊥OA,C 为垂足,设向 → 量OC=λa(λ>0),则 λ 的值为( a· b A. 2 |a| ) a· b B. |a||b|

a· b C. |b| 答案:A

|a||b| D. a· b

→ → → → a· b 解析:OC为OB在OA上的射影.故|OC|= , |a| → a· b a a· b ∴OC= · = 2· a. |a| |a| |a| π 12.使 f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)为奇函数,且在[0,4]上 是减函数的 θ 的一个值是( π A.-3 2π C. 3 答案:C π 解析: f(x)=sin(2x+θ)+ 3cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+3), 因为 f(x) π 是奇函数,验证得 B、D 不成立;当 θ=-3时,f(x)=2sin2x,当 x∈ π 2π [0,4]时,f(x)是增函数,A 不成立;当 θ= 3 时,f(x)=2sin(2x+π) =-2sin2x 满足条件,故选 C. 二、填空题(本大共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) → → → → → 13.已知向量OA=(0,1),OB=(k,k),OC=(1,3),且AB∥AC, 则实数 k=________. 答案:-1 → → → → 解析:∵AB=(k,k-1),AC=(1,2),AB∥AC, ∴2k-(k-1)=0,∴k=-1. ) π B.3 4π D. 3

π tanx 14.[2011· 江苏卷]已知 tan(x+4)=2,则tan2x的值为________. 4 答案:9 π tanx+1 解析:由 tan(x+4)= =2, 1-tanx 1 得 tanx=3, 1-tan2x 1-tan2x 4 tanx tan2x=tanx· 2tanx = 2 =9. cosx 15.函数 f(x)= x x的值域是__________. cos2-sin2 答案:(- 2, 2) x x cos22-sin22 x x cos2-sin2

解析:f(x)=

x x =cos2+sin2, x x 且 cos2-sin2≠0, x x x 即 sin2≠cos2,tan2≠1,
? x π? π ∴f(x)= 2sin?2+4?,x≠2kπ+2,k∈Z. ? ?

x π x π π ∵2≠kπ+4,2+4≠kπ+2,
? x π? ∴sin?2+4?≠± 1,∴f(x)≠± 2. ? ?

∴f(x)∈(- 2, 2). 16.已知 y=sinx+cosx,给出以下四个命题:

π ①若 x∈[0, π], 则 y∈[1, 2]; ②直线 x=4是函数 y=sinx+cosx π 5π 图像的一条对称轴;③在区间[4, 4 ]上函数 y=sinx+cosx 是增函数; π ④函数 y=sinx+cosx 的图像可由 y= 2cosx 的图像向右平移4个单位 长度而得到.其中正确命题的序号为________. 答案:②④ 解析:将函数变形后逐个判断正确与否. π y=sinx+cosx= 2sin(x+4). π π 5π π 2 ①若 x∈[0,π],则 x+4∈[4, 4 ],得 sin(x+4)∈[- 2 ,1],即 y∈[-1, 2],①不正确; π π π π 3π ②记 f(x)= 2sin(x+4),∵f(2-x)= 2sin(2-x+4)= 2sin( 4 - π π π x)= 2sin[π-(x+4)]= 2sin(x+4)=f(x).从而直线 x=4是函数 y= sinx+cosx 图像的一条对称轴,②是正确的; π π ③由于函数 y= 2sin(x+4)是由 y= 2sinx 向左平移4个单位长度 π 3π 得到的,而函数 y= 2sinx 在区间[2, 2 ]上是单调递减的,从而函数 π π 5π y= 2sin(x+4)在区间[4, 4 ]上也应该是单调递减的,即命题③不正 确; π ④函数 y= 2cosx 的图像向右平移4个单位长度得到函数 y= 2 π π π π π cos(x-4)= 2· cos(4-x)= 2cos[2-(x+4)]= 2sin(x+4),即函数 y =sinx+cosx,从而命题④正确.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知点 A(-3,-4)、B(5,-12). → → (1)求AB的坐标及|AB|; → → → → → → → → (2)若OC=OA+OB,OD=OA-OB,求OC及OD的坐标; → → (3)求OA· OB. → → → 解:(1)AB=OB-OA=(8,-8), → |AB|= 82+?-8?2=8 2. → (2)OC=(-3,-4)+(5,-12)=(2,-16), → → → OD=OA+BO=(-3,-4)+(-5,12)=(-8,8). → → (3)OA· OB=-3×5+(-4)×(-12)=33. 18. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=a· (b+c), 其中向量 a=(sinx, -cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R. (1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; (2)将函数 y=f(x)的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关 于坐标原点成中心对称,求长度最小的 d. 解:利用数量积的坐标运算将 f(x)化简为一种角的三角函数形式 后,再利用三角函数性质求解. (1)由题意得 f(x)=a· (b+ c)= (sinx,-cosx)· (sinx- cosx, sinx- 3 3cosx)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+ 2sin(2x+4

π). 2π 故 f(x)的最大值为 2+ 2,最小正周期是 2 =π. 3 3π (2)由 sin(2x+4π)=0 得 2x+ 4 =kπ. kπ 3π 即 x= 2 - 8 ,k∈Z. 3π kπ 于是 d=( 8 - 2 ,-2),|d|= kπ 3π ? 2 - 8 ?2+4(k∈Z).

π 因为 k 为整数,要使|d|最小,则只要 k=1,此时 d=(-8,-2) 即为所求. 1 π 19. (本小题满分 12 分)[2011· 广东卷]已知函数 f(x)=2sin(3x-6), x∈R. 5π (1)求 f( 4 )的值; π π 10 6 (2)设 α、β∈[0,2],f(3α+2)=13,f(3β+2π)=5,求 cos(α+β) 的值. 5π 1 5π π 解:(1)f( 4 )=2sin(3× 4 -6) π =2sin4= 2. π π 10 6 (2)∵α、β∈[0,2],f(3α+2)=13,f(3β+2π)=5. 10 π 6 ∴2sinα=13,2sin(β+2)=5, 5 3 即 sinα=13,cosβ=5. 12 4 ∵cosα=13,sinβ=5.

cos(α+β)=cosα· cosβ-sinα· sinβ 12 3 5 4 16 =13×5-13×5=65. 1 1 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2sin2xsinφ+cos2xcosφ-2 π π 1 sin(2+φ)(0<φ<π),其图像过点(6,2). (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的2,纵坐标 π 不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 g(x)在[0,4]上的最大值和最 小值. 1 1 π 解:(1)因为 f(x)=2sin2xsinφ+cos2xcosφ-2sin(2+φ)(0<φ<π). 1+cos2x 1 1 所以 f(x)=2sin2xsinφ+ cos φ - 2 2cosφ 1 1 =2sin2xsinφ+2cos2xcosφ 1 =2(sin2xsinφ+cos2xcosφ) 1 =2cos(2x-φ). π 1 1 1 π π 又函数图像过点(6,2),所以2=2· cos(2×6-φ),即 cos(3-φ)= 1. π 又 0<φ<π,所以 φ=3. 1 π (2)由(1)知 f(x)=2cos(2x-3), 将函数 y=f(x)的图像上各点的横坐 1 标缩短到原来的2,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,可知 g(x)

1 π =f(2x)=2cos(4x-3). π 因为 x∈[0,4],所以 4x∈[0,π], π π 2π 因此 4x-3∈[-3, 3 ], 1 π 故-2≤cos(4x-3)≤1. π 1 1 所以 y=g(x)在[0,4]上的最大值和最小值分别为2和-4. 7π 21. (本小题满分 12 分)[2011· 四川卷]已知函数 f(x)=sin(x+ 4 )+ 3π cos(x- 4 ),x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)=5,cos(β+α)=-5,0<α<β≤2,求证:[f(β)]2 -2=0. 7π 3π π 解:(1)∵f(x)=sin(x+ 4 -2π)+sin(x- 4 +2) π π =sin(x-4)+sin(x-4) π =2sin(x-4). ∴T=2π,f(x)的最小值为-2. 4 (2)由已知得 cosβ· cosα+sinβsinα=5, 4 cosβcosα-sinβsinα=-5, 两式相加得 2cosβcosα=0, π π 0<α<β≤2,β=2,

π ∴[f(β)]2-2=4sin24-2=0. 5x 5x x x 22. (本小题满分 12 分)已知 a=(cos 3 , sin 3 ), b=(cos3, -sin3), π x∈[0,2]. (1)求 a· b 及|a+b|; 3 (2)若 f(x)=a· b-2λ|a+b|(其中 λ>0)的最小值是-2,求 λ 的值. 5x x 5x x 解:(1)a· b=cos 3 cos3-sin 3 · sin3=cos2x. |a+b|= a2+2a· b+b2= 5x 5x x x ?cos2 3 +sin2 3 ?+2cos2x+?sin23+cos23? = 2+2cos2x= 4cos2x. π 又 x∈[0,2],∴cosx>0, ∴|a+b|=2cosx. (2)f(x)=a· b-2λ|a+b| =cos2x-2λ· 2cosx=2cos2x-4λcosx-1 =2(cosx-λ)2-2λ2-1. ①当 0<λ≤1 时,f(x)的最小值为-2λ2-1, 3 ∴-2λ2-1=-2, 1 ∴λ=2. ②当 λ>1 时,cosx=1 时 f(x)取最小值 1-4λ, 3 ∴1-4λ=-2,

5 ∴λ=8,又 λ>1,故应舍去. 1 所以,所求 λ 的值为2.


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