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一题多解一题多变


初中数学解题教学设计——复习《三角形》
具体操作:限定时间 15 分钟 1、学生先在学习卡上独立完成; 2、4 人小组互相补充; 3、教师多媒体对答案。

二、典型例题 学习卡: 例:如图,点 O 是线段 AD 的中点,分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD,连结 AC 和 BD, 相交于点 E, BD 交 OC 于点 P,AC 交 OB 于点 Q,连结 BC. 求证: BD=AC. 你还能得出哪些正确的结论呢?请选择其中的一个进行证明。
C P D E Q A B

O

具体操作: 1、 2、 对于第一个问题要求学生独立思考并寻求解题方法; 学生在学习卡上单独完成至少一种解答,鼓励多种解答; (给

予充分的时间) 3、 4 人小组互相讨论补充不同的解题方法并将不同的方法汇总

到小组长处; (学生答题讨论时教师多巡视、指导、发现不同的解题方法) 4、 教师将各小组不同的解题方法汇总, 并用多媒体进行展示, 同

时提供解题方法者上台讲解,教师给予适当点评和表扬; 5、 根据不同的解答过程学生进一步思考, 还能得出哪些正确的结

论,要求结论尽可能多; 6、 7、 教师将各小组不同结论汇总、筛选并要求学生证明。 各组挑选代表讲演,教师适时作出鼓励与点评。

8、请 4 人小组讨论交流,选出比较简单、合理又具有普遍意义的解 法。

学生解题方法摘录: 方法一: (用得最多) 用 SAS 证明⊿BOD≌⊿AOC,再用全等三角形对应边相等证明 AC=BD. 方法二: (用得较多) 用 ASA 或 SAS 或 AAS 证明⊿ABD 与⊿DCA 是全等三角形,再用全等三 角形对应边相等得到 AC=BD 方法三: 先证明 BO=DO CO=AO AB=BC=CD ∠BOD=∠AOC=∠BCD=∠ABC=120°
D C P E Q A B

O

再利用等腰三角形的性质等边对等角,计算出∠ EDA= ∠EAD= ∠EBC= ∠ECB=30°

然后运用等腰三角形的判定等角对等边证明 AE=DE,BE=CE 从而得到 AC=BD. 方法四: 先证明四边形 ABCD 是等腰梯形,再利用等腰梯形的性质对角线相等 得到 AC=BD。 方法五: 先证明⊿AOB、⊿COD、⊿BOC 是全等的等边三角形,从而高相等,再 证明 DP、BP、AQ、CQ 分别是等边三角形的高,所以 AC=BD=2 倍高 方法六: 先证明⊿ABD 与⊿DCA 是直角三角形,再用 HL 证明全等,根据对应边 相等得到 AC=BD;或是用勾股定理正得 AC2=BD2,从而得到 AC=BD。 方法七: 证明四边形 ABCO 和四边形 DCBO 是全等的菱形,而对角线 BO=CO,从 而 AC=BD. 方法八: 如图,先证明 A、B、C、D 在以 O 为 圆心,以 AO 为半径的一个圆上,再证明弧 BD=弧 AC, 从而得到 AC=BD.或者利用圆心角∠BOD=∠AOC,从而得到 AC=BD.
D C P E Q A B

O

学生得出的结论摘录: 四边形 ABCD 为等腰梯形, 四边形 ABCO 为菱形, OP=OQ, ⊿CEB∽⊿AED 且相似比为 1︰2,

⊿BQE∽⊿AQO, ∠AEB=60°, BE︰PE︰DP=2︰1︰3, CE2=PE·DE, OP 为⊿ABD 的中位线, ⊿OPQ 为等边三角形等。

教学反思: 学生开始单独完成解答时,一般都只能想到一两种解题方法,后来通 过小组讨论交流之后,基本上每个小组都能拿出四种以上的方法,效 果非常显著,在这个环节,小组合作起到了至关重要的作用。将每个 小组的方法汇总、点评之后,为后来得出其他一些正确结论作了恰当 的铺垫,所以学生都能得到五种以上不同的正确结论。这时,学生思 路被完全打开,也为证明其他没能想到的正确结论打下了基础。非常 难得的是学生能广泛进行联想把所学的圆、 四边形等知识与三角形密 切联系起来,创造性地应用所学到的各种知识和方法去解决问题,实 现了知识的正向迁移,真正有效地提高了学生的问题解决能力。

三、课后变式训练 学习卡: 变式一: (利用旋转进行变式) ⊿AOB 固定不动,保持⊿COD 形状大小不变,将⊿COD 绕点 O 旋转(两
B

三角形不重叠) ,则以上所得结论还成立吗?

C E P O D Q A

变式二: (利用平移进行变式) 若点 O 是线段 AD 上一动点,则以上结论还成立吗? ⊿COD 再绕点 O 旋转呢?
B C

E

D

O

A

变式三: (改变条件进行变式) 若将⊿AOB 和⊿COD 改为全等的等腰三角形呢?

教学反思: 由于课堂时间有限,这个环节没能在课堂上完成,所以只能请学生课 后完成。将例题变化 、拓展后,要求学生找出变式与例题的相同和 不同之处,从而找出问题的实质,从而顺利的解决这些问题。特别提 示∠AEB=60°、OP=OQ 等结论是否还成立?若成立,要求学生进行证 明。并从中总结、概括解题方法,得出一般规律。

设计意图: 本堂课是初三的一节复习课, 立足于使学生牢固掌握基础知识和基本 技能,并能灵活运用知识进行独立思考,选择具有典型性、探索性、 多解性、拓展性的例题,并通过小组合作培养了学生思维的灵活性、 深刻性、广阔性、批判性和创造性等良好的思维品质,从而有效地提 高解题能力。

设计框架: 学生复习知识点——学生独立思考例题——学生书写证明过程—— 小组讨论交流——汇总不同解题方法——学生上台讲解展示——教 师点评——学生思考得出其他结论——汇总不同结论——选择结论 证明——小组讨论交流优选方法——变式拓展训练——学生总结概 括解题方法。

设计特色: 1、 本堂课通过精选例题,要求学生一题多解、一题多变,真正使

学生做到活学活用,培养了学生思维的多发性、探索性。通过从 特殊到一般和一般到特殊的联想,培养了学生思维的深刻性和跳 跃性,使学生的解题能力得到了提高。 2、 本堂课几乎全部由学生自己完成, 克服了传统复习课的以教师

讲解为主的沉闷、压抑的弊端。教师把讲台真正让给学生,让学 生自己讲解,这样既锻炼了学生的勇气及语言表达能力,也激发

了学生学习积极性,更加强了学生的成就感,真正培养了学生的 综合应用能力。 3、 本堂课采用 4 人小组合作的学习方式,为学生创造了一个和

谐、愉悦的学习氛围,为学生互相学习提供了条件,化被动学习 为主动学习,促进了学生之间的情感交流,使对数学不感兴趣的 学生,都有了表现的欲望,使学生个性得到了良好的发展,从而 使课堂效率得到很大的提高。


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