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吉林--反函数(陈天鸿)







陈天鸿

吉林省松原市实验高级中学

教材:人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上) 教学目标: 1.了解反函数的概念,弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系. 2.会求一些简单函数的反函数. 3.在尝试、探索求反函数的过程中,深化对概念的认识,总结出求反函数的一般步骤, 加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识. 4.进一步完善学生思维的深刻性,培养学生的逆向思维能力,用辩证的观点分析问题, 培养抽象、概括的能力. 教学重点:求反函数的方法. 教学难点:反函数的概念. 教学过程:

教学活动

设计意图

一、创设情境,引入新课 1.复习提问 ①函数的概念 ②y=f(x)中各变量的意义 由实际问题引入新 课, 激发了学生学习兴趣, 展示了教学目标.这样既

2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函 可以拨去“反函数”这一
S 数关系,即 S=vt 和 t= (其中速度 v 是常量) ,在 S=vt 中位 概念的神秘面纱,也可使 v 学生知道学习这一概念的 S 移 S 是时间 t 的函数;在 t= 中,时间 t 是位移 S 的函数.在 v 必要性. S 这种情况下,我们说 t= 是函数 S=vt 的反函数.什么是反函 v

数,如何求反函数,就是本节课学习的内容. 3.板书课题

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二、实例分析,组织探究 1、实例 串串香火锅店店庆优惠活动,即锅底 5 元,店内各个品种 的菜不分荤素,都是 0.2 元/串, 请问: (1)吃 20 串,得花多少钱? 从学生熟知的函数出 发,抽象出反函数的概念,

(2)假如, 两个同学吃饭, 花了 21 元, 请问吃了多少串? 符合学生的认知特点,有利 (3)假如以吃的串数为自变量 X,花的钱数为函数 Y, 请建立 X 和 Y 的函数关系式? (4)假如以花的钱数为自变量 Y,吃的串数为函数 X, 请建立 X 和 Y 的函数关系式? (学生答:9 元;80 串; Y=0.2X+5 ;X=(Y-5)÷0.2) 通过这两组问题,为反 函数概念的引出做了铺垫, 利用旧知, 引出新识, “最 在 2.问题组二: (1) 函数 y=2x+1(x 是自变量)与函数 x=2y+1(y 是自变量) 是否是同一函数? (2) 函数 y ? 近发展区”设计问题,使学 生对反函数有一个直观的 粗略印象,为进一步抽象反 于培养学生抽象、概括的能 力.

函数的概念奠定基础. x ?1 (x 是自变量)与函数 x=2y+1(y 是自变量) 2

是否是同一函数? (3) 函数 y ? 的值域有什么关系? 3.渗透反函数的概念. (教师点明这样的函数即互为反函数,然后师生共同探究 其特点) 三、师生互动,归纳定义 1. (根据上述实例,教师与学生共同归纳出反函数的定义) 函数 y=f(x)(x∈A) 中, 设它的值域为 C. 我们根据这个函 数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出来,得到 x = ? (y) .如 果对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x = ? (y),x 在 A 中都有
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x ( x ? 0) 的定义域与函数 y ? x 2 ? 1( x ? 1)

唯一的值和它对应,那么, x = ? (y)就表示 y 是自变量,x 是 自变量 y 的函数.这样的函数 x = ? (y)(y ∈C)叫做函数 y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: x ? f ?1 ( y) .考虑到“用 x 表示 自变量, y 表示函数”的习惯,将 x ? f ?1 ( y) 中的 x 与 y 对调写 成 y ? f ?1 ( x) . 2.引导分析: 1)反函数也是函数; 2)对应法则为互逆运算; 在上述探究的基础上, 揭示反函数的定义,学生有 针对性地体会定义的特点, 进而对定义有更深刻的认 识,与自己的预设产生矛盾 冲突,体会反函数.在剖析

3)定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数 y=f(x) 定义的过程中,让学生体会 来说不一定有反函数; 函数与方程、一般到特殊的

4) 函数 y=f(x)的定义域、 值域分别是函数 x=f ? 1 (y)的值 数学思想,并对数学的符号 域、定义域; 5)函数 y=f(x)与 x=f ? 1 (y)互为反函数; 6)要理解好符号 f ? 1 ; 7)交换变量 x、y 的原因. 3.两次转换 x、y 的对应关系 通过动画演示,表格对 照,使学生对反函数定义从 语言有更好的把握.

y ? f ?x ? ? x ? f

?1

? y ? ? y ? f ?x ?
?1

感性认识上升到理性认识, 从而消化理解.

(原函数中的自变量 x 与反函数中的函数值 y 是等价的,原函 数中的函数值 y 与反函数中的自变量 x 是等价的. ) 4.函数与其反函数的关系
函数 y=f(x) 函数 y ? f
?1

( x)

定义域 值 域

A C

C A

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四、应用解题,总结步骤 1. (投影例题) 【例 1】求下列函数的反函数 (1)y=3x-1 (2)y=x 3 +1 通过对具体例题的讲 解分析,在解题的步骤上和 方法上为学生起示范作用, 并及时归纳总结,培养学生 分析、思考的习惯,以及归 2.总结求函数反函数的步骤: 1? 由 y=f(x)反解出 x=f ? 1 (y). 2? 把 x=f ? 1 (y)中 x 与 y 互换得 y ? f ?1 ( x) . 3? 写出反函数 y ? f ?1 ( x) 的定义域. (简记为:反解、互换、写出反函数的定义域) 题目的设计遵循了从 了解到理解,从掌握到应用 的不同层次要求,由浅入 深,循序渐进.并体现了对 【例 3】 (1) y ? x 2 ( x ? R) 有没有反函数? (2) y ? x 2 ( x ? 0) 的反函数是________. (3) y ? x 2 (x<0)的反函数是__________. 定义的反思理解.学生思考 练习,师生共同分析纠正. 纳总结的能力.

【例 2】求函数 y ? x ? 1( x ? 0) 的反函数. (教师板书例题过程后,由学生总结求反函数步骤. )

五、巩固强化,评价反馈

进一步强化反函数的

1. 已知函数 y=f(x)存在反函数, 求它的反函数 y =f ? 1 ( x) 概念,并能正确求出反函 (1)y=-2x+3(x ? R) ( 3 ) y= (2)y=数.反馈学生对知识的掌握 2 (x ? R,且 x ? 0 ) x 情况,评价学生对学习目标

x 5 (x ? R,且 x ? ? ) 的落实程度.具体实践中可 3x ? 5 3 6x ? 5 2 . 已 知 函 数 f(x)= (x ? R, 且 x ? 1 ) 存 在 反 函 数 采取同学板演、分组竞赛等 x ?1 多种形式调动学生的积极 y ? f ?1 ( x) ,求 f ? 1 (7)的值. 性.

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五、反思小结,再度设疑 本节课主要研究了反函数的定义,以及反函数的求解步 “问题是数学的心脏”

骤.互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么 学生带着问题走进课堂又 具有这样的特点呢?我们将在下节研究. (让学生谈一下本节课的学习体会,教师适时点拨) 带着新的问题走出课堂.

六、作业 习题 2.4 第 1 题,第 2 题 识.

进一步巩固所学的知

教学设计说明
“问题是数学的心脏” .一个概念的形成是螺旋式上升的,一般要经过具体到抽象,感性 到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数,进而又通过若干函数的 图象进一步加以诱导剖析,最终形成概念. 反函数的概念是教学中的难点,原因是其本身较为抽象,经过两次代换,又采用了抽象 的符号.由于没有一一映射,逆映射等概念的支撑,使学生难以从本质上去把握反函数的概 念.为此,我们大胆地使用教材,把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示,进而探究 原因,寻找规律,程序是从问题出发,研究性质,进而得出概念,这正是数学研究的顺序, 符合学生认知规律,有助于概念的建立与形成.另外,对概念的剖析以及习题的配备也很精 当,通过不同层次的问题,满足学生多层次需要,起到评价反馈的作用.通过对函数与方程 的分析,互逆探索,动画演示,表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节,充分调动了学 生的探求欲,在探究与剖析的过程中,完善学生思维的深刻性,培养学生的逆向思维.使学 生自然成为学习的主人.

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