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概率论第三章:二维随机变量及其联合分布


第三章
考试内容:

二维随机变量及其联合概率分布

二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连续 型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度/ 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概率 分布 / 两个随机变量的函数的概率分布 考试要求: 1、理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。 2、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式:离散型二维随机变量联合概率 分布和连续型二维随机变量联合概率密度。掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘 分布的方法。 3、理解随机变量的独立性和相关性的概念,掌握随机变量独立的条件;理解随机变量的不相关性与独 立性的关系。 4、掌握二维均匀分布和二维正态分布,理解其中参数的概率意义。 5、掌握根据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法。

一、知识要点
1、二维随机变量的分布函数
( X , Y ) 的联合分布函数 F ( x, y) ? P{ X ? x, Y ? y} , 性质: 0 ? F ( x, y) ? 1 ,单调不减,右连续, F (??,??) ? 0 , F (??, y) ? 0 , F ( x,??) ? 0 , F (??,??) ? 1 ; X 的边缘分布函数: FX ( x) ? F ( x,??) ; Y 的边缘分布函数: FY ( y) ? F (??, y) .

2、二维离散型随机变量 ( X , Y )
联合分布律: P( X ? x1 ,Y ? y j ) ? pij , i, j ? 1,2,? ,一般用矩形表格列出; 边缘分布律: P( X ? xi ) ?


? pij ? pi? , i ? 1,2,?
j
记 i

P(Y ? y j ) ? ? pij ? p? j , j ? 1,2,? .

3、二维连续型随机变量 ( X , Y )
若 F ( x, y) ?

? ?

x

y

?? ??

f (u, v) dudv ,称 f ( x, y) 为 ( X , Y ) 的联合密度函数;

f ( x, y) 的性质: (1) f ( x, y) ? 0 ;
(2)

? ?

?? ??

?? ??

f ( x, y) dxdy ? 1;

? 2 F ( x, y) (3)若 f ( x, y) 连续,则 ? f ( x, y) ; ?x?y
(4) P{( X , Y ) ? D} ?

?? f ( x, y) dxdy ;
D

1

边缘密度: f X ( x) ?

?

??

??

f ( x, y) dy ; f Y ( y) ? ?

??

??

f ( x, y) dx ;

? 1 , ( x, y ) ? D ? 二维均匀分布: f ( x, y ) ? ? S D , S D 为 D 的面积; ?0 , 其它 ?
2 二维正态分布 N (?1 , ? 2 ; ? 12 , ? 2 ; ?) :
2 ? ?? x ? ? ? 2 x ? ?1 y ? ? 2 ? y ? ? 2 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?? ?? f ( x, y) ? exp?? ? 2? ?? 2 ? ? ? ? 2 ?1 ?2 2(1 ? ? ) ?? ? 1 ? 2??1? 2 1 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ?? ? ? 2 2 其边缘分布分别为一维正态分布 X ~ N (?1 , ? 1 ) , Y ~ N (? 2 , ? 2 ) .

1

4、随机变量的独立性
若 F ( x, y) ? FX ( x) ? FY ( y) ,称 X 与 Y 相互独立; 离散型: pij ? pi . ? p? j , i, j ? 1,2,? ; 连续型: f ( x, y) ? f X ( x) ? f Y ( y) ? f X ( x) ? f Y ( y) , x, y ? R .

5、条件分布
离散型:在 Y ? y j 条件下 X 的条件分布为

P( X ? xi | Y ? y j ) ?
6、二维随机变量函数的分布
主要研究 Z ? X ? Y 的分布: 连续型,卷积公式: f Z ( z) ?

pij p? j

, j ? 1,2,? .

?

??

??

f ( x, z ? x) dx 或 f Z ( z) ? ?

??

??

f ( z ? y, y) dy ;
?? ??

若 X , Y 相互独立,则 f Z ( z ) ?

?

??

??

f X ( x) f Y ( z ? x) dx 或 f Z ( z) ? ?

f X ( z ? y) f Y ( y) dy ;

可加性定理: (1) 设 X ~ B(m, p) , Y ~ B(n, p) ,且 X , Y 相互独立,则 X ? Y ~ B(m ? n, p) ; (2) 设 X ~ P(?1 ) , Y ~ P(?2 ) ,且 X , Y 相互独立,则 X ? Y ~ P(?1 ? ?2 ) ;
2 2 (3) 设 X ~ N (?1 ,? 1 ) , Y ~ N ( ? 2 ,? 2 ) ,且 X , Y 相互独立,则有 2 X ? Y ~ N (?1 ? ? 2 ,? 12 ? ? 2 ); 2 推广到有限多个,若 X i ~ N (?i ,? i ) , i ? 1,2,?, n ,且 X 1 , X 2 ,?, X n 相互独立,则有

Z ? ? ai X i ~ N (? ai ?i , ? ai2? i2 ) ,
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

称为正态分布的可加性.

二、典型例题
题型 1:二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布
【例 1】 (研 97) 设两个随机变量 X 和 Y 相互独立且同分布: P{ X ? ?1} ? P{Y ? ?1} ?

1 , 2

2

P{ X ? 1} ? P{Y ? 1} ?
(A) P{ X ? Y } ?

1 ,则下列各式成立的是 2
(B) P{ X ? Y } ? 1





1 2 1 4

(C) P{ X ? Y ? 0} ?

(D) P{ XY ? 0} ?

1 4

【详解】 由 X 和 Y 相互独立知



P{X ? Y } ? P{X ? ?1, Y ? ?1} ? P{X ? 1, Y ? 1} ? P{X ? ?1} ? P{Y ? ?1} ? P{X ? 1} ? P{Y ? 1} 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 。 2 2 2 2 2 P{X ? Y ? 0} ? P{X ? ?1, Y ? 1} ? P{X ? 1, Y ? ?1} ? P{X ? ?1} ? P{Y ? 1} ? P{X ? 1} ? P{Y ? ?1} 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? , 2 2 2 2 2 P{XY ? 0} ? 0 。

【答案】 应选(A). 【例 2】 (研 99) 设随机变量 X i ~ ? 1 等于 (A)0 (B)

?? 1 0 1 ? ?4 2
1 2

1? 1 ? (i ? 1, 2) , 且满足 P{X 1 X 2 ? 0} ? 1 , 则 P{ X 1 ? X 2 } ? 4?
【 】 (D)1

1 4

(C)

【详解】 先求联合分布: 由于 P{X 1 X 2 ? 0} ? 1 ,所以 P{ X 1 X 2 ? 0} ? 0 ,即

P{X 1 ? ?1, X 2 ? ?1} ? P{X 1 ? ?1, X 2 ? 1} ? P{X 1 ? 1, X 2 ? ?1} ? P{X 1 ? 1, X 2 ? 1} ? 0 ,

X2 X1 ?1 0 1 p? j
由联合与边缘分布的关系得

?1
0 b 0

0
a c e

1
0 d 0

pi ?
1/ 4 1/ 2 1/ 4
1

1/ 4

1/ 2

1/ 4

a?b?d ?e?

1 ,c ? 0, 4

所以 P{X 1 ? X 2 } ? 0 ? c ? 0 ? 0 , 【答案】 应选(A). 【例 3】 (研 09) 设袋中有 1 个红球,2 个黑球和 3 个白球。现有放回地从袋中取两次,每次取一球, 以 X , Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数. (1) 求 P{ X ? 1 | Z ? 0} ;(2) 求二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布. 【详解】 (1) P{ X ? 1 | Z ? 0} 表示在没有取得白球的情况下取了一次红球的概率, 相当于在红球和黑 球中有放回地从袋中两次取球,其中一个为红球,一个为黑球的概率,故

3

1 1 C2 ? C2 4 P{ X ? 1 | Z ? 0} ? 1 1 ? . C3 ? C3 9 (2) X , Y 的取值为 0,1,2,且 1 1 1 1 C3 ? C3 C2 ? C3 1 1 , P{X ? 0, Y ? 0} ? 1 1 ? P{ X ? 1, Y ? 0} ? 1 1 ? , C6 ? C6 4 C6 ? C6 6

P{ X ? 2, Y ? 0} ?

1 1 1 C2 ? C2 ? C3 1 1 1 , ? P{X ? 0, Y ? 1} ? ? , 1 1 1 1 C6 ? C6 36 3 C6 ? C6

1 1 1 1 C2 ? C2 C2 ? C2 1 1 , P{ X ? 1, Y ? 1} ? 1 1 ? P{X ? 0, Y ? 2} ? 1 1 ? , C6 ? C6 9 C6 ? C6 9 P{X ? 2, Y ? 1} ? P{X ? 1, Y ? 2} ? P{X ? 2, Y ? 2} ? 0 , 故二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布如下:

X Y 0 1 2

0 1/4 1/3 1/9

1 1/6 1/9 0

2 1/36 0 0

题型 2:二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布
【例 1】 设随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为

F ( x, y ) ? A( B ? arctan

(1) 系数 A, B, C ;(2) ( X , Y ) 的概率密度;(3) 边缘密度函数;(4) P{0 ? X ? 2, Y ? 3} . 【详解】 (1) 1 ? F (?? , ? ?) ? A( B ?

x y )( C ? arctan ) ,试求: 2 3

?
2

)( C ?

?
2

),

0 ? F (?? , ? ?) ? A( B ? ? B?C ?

?
2

)( C ?

?
2

) , 0 ? F (?? , ? ?) ? A( B ?

?
2

)( C ?

?
2

),

?
2

,A?

1

?2

.

? 2 F ( x, y) 6 . ? 2 f ( x, y) ? ?x ?y ? (4 ? x 2 )(9 ? y 2 ) ?? ?? 6 2 (3) f X ( x) ? ? f ( x, y) dy ? ? , dy ? 2 2 2 ?? ? ( 4 ? x )(9 ? y ) ?? ? (4 ? x 2 ) ?? ?? 6 3 , dx ? f Y ( y) ? ? f ( x, y) dx ? ? ?? ? 2 ( 4 ? x 2 )(9 ? y 2 ) ?? ? (9 ? y 2 )
(2) ( X , Y ) 的联合概率密度函数为 或解:边缘分布函数分别为

FX ( x ) ? F ( x, ? ? ) ?

1 ? x 1 ? y ( ? arctan ) , FY ( y ) ? F (?? , y ) ? ( ? arctan ) , ? 2 2 ? 2 3

求导得边缘密度函数分别为

? ( x) ? f X ( x) ? FX

3 3 , f Y ( y) ? FY? ( y) ? . 2 ? (9 ? y 2 ) ? (4 ? x )

4

(4) P{0 ? X ? 2, Y ? 3} ?
2

? ?
0

2

3

??

f ( x, y) dxdy ?
3

6

?

2

?

2

0

dx 3 dy 2 ?? ? 4? x 9 ? y2

6 1 x 1 y ? 2 ? arctan ? arctan 20 3 3 ? 2

?
??

3 . 16

【例 2】 (研 92) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

?e ? y , 0 ? x ? y , f ( x, y ) ? ? 其他 ?0 , (1) 求 X 的边缘密度 f X ( x) ;(2) 求概率 P{ X ? Y ? 1} .
【详解】(1) f X ( x) ?

?

??

??

f ( x, y) dy , e -y dy ? e ? x ,

当 x ? 0 时, f X ( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时, f X ( x) ? 所以

?

?? x

?e ? x , x ? 0 . f X ( x) ? ? ?0 , x ? 0
x ? y ?1

(2) P{ X ? Y ? 1} ?

??

f ( x , y ) d? ? ?

1/ 2

0

dx ?

1? x x

? 1 e ? y dy ? 1 ? ? 2e 2 . e

1

【例 3】 (研 95) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为

?4 xy , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 , f ( x, y) ? ? 其他 ? 0,
求 ( X , Y ) 的联合分布函数. 【详解】 F ( x, y) ?

? ?

x

y

?? ??

f (u, v) dudv ,分块计算,

当 x ? 0 或 y ? 0 时,显然 F ( x, y) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 且 0 ? y ? 1 时, F ( x, y) ? 当 x ? 1 且 0 ? y ? 1 时, F ( x, y) ? 当 y ? 1 且 0 ? x ? 1 时, F ( x, y) ? 当 x ? 1 且 y ? 1 时, F ( x, y) ? 综上所述,

??
y

x

y

0 0

4uv dudv ? x 2 y 2 ;

??

1

0 0 x 1

4uv dudv ? y 2 ;
2

? ? 4uvdudv ? x
0 0



? ? 4uvdudv ? 1 ,
0 0

1 1

x?0或 y ?0 ? 0 , ? x 2 y 2 , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ? ? F ( x, y ) ? ? x 2 , y ?1且 0 ? x ?1 . ?y2 , x ? 1 且 0 ? y ? 1 ? ? ? 1 , x ?1且 y ?1

题型 3:二维随机变量函数的分布
【例 1】 (研 01) 设二维随机变量 ( X , Y ) 在正方形 G ? {( x, y) | 1 ? x ? 3,1 ? y ? 3} 上服从均匀分布,
5

y
试求随机变量 U ? | X ? Y | 的概率密度函数 p (u ) . 【详解】 由题设知, ( X , Y ) 的联合密度函数为

x–y = - u

3
x–y = u

?1 / 4 , ( x, y) ? G , f ( x, y) ? ? 0 , ( x , y ) ? G ? 先求 U ? | X ? Y | 的分布函数 F (u) ? P{U ? u} , 当 u ? 0 时, F (u ) ? 0 ;当 u ? 2 时, F (u ) ? 1 ; 当 0 ? u ? 2 时,
F (u ) ? P{| X ? Y | ? u} ?
| x ? y| ?u

2 1
O

?? f ( x, y) d?

?

1 d? 4 | x ? y| ?u

??

1

2

3

x

于是

1 1 1 ? {4 ? [3 ? (u ? 1)] ? [( 3 ? u ) ? 1]} ? [4 ? (2 ? u ) 2 ] ? 1 ? (2 ? u ) 2 , 4 4 4 ?1 ? (2 ? u ) , 0 ? u ? 2 p(u ) ? F ?(u ) ? ? 2 . ? 其他 ? 0,

【例 2】 (研 03) 设随机变量 X 与 Y 独立,其中 X 的概率分布为

2 ? ? 1 X ~? ? 0.3 0.7 ? ?, ? ? 而 Y 的概率密度为 f ( y ) ,求随机变量 U ? X ? Y 的概率密度 g (u ) .
【分析】求二维随机变量函数的分布,一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意 X 只有两个可能的 取值,求概率时可用全概率公式进行计算. 【详解】 设 F ( y ) 是 Y 的分布函数,则由全概率公式,知 U ? X ? Y 的分布函数为

G(u ) ? P{ X ? Y ? u} ? 0.3P{X ? Y ? u | X ? 1} ? 0.7 P{X ? Y ? u | X ? 2} ? 0.3P{Y ? u ? 1 | X ? 1} ? 0.7 P{Y ? u ? 2 | X ? 2} .
由于 X 和 Y 相互独立,可见 由此,得 U 的概率密度

G(u) ? 0.3P{Y ? u ? 1} ? 0.7 P{Y ? u ? 2} ? 0.3F (u ? 1) ? 0.7 F (u ? 2) ,

g (u) ? G?(u) ? 0.3F ?(u ? 1) ? 0.7 F ?(u ? 2) ? 0.3 f (u ? 1) ? 0.7 f (u ? 2) .

【评注】 本题属新题型,求两个随机变量和的分布,其中一个是连续型一个是离散型,要求用全概率 公式进行计算,类似问题以前从未出现过,具有一定的难度和综合性。 【例 3】 (研 07) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

?2 ? x ? y , 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 f ( x, y) ? ? 其他 ? 0, (1) 求 P{ X ? 2Y } ; (2) 求 Z ? X ? Y 的概率密度 f Z ( z ) .
【详解】(1) P{ X ? 2Y } ?
1 1 7 3 2 dy f ( x , y ) d x d y ? (2 ? x ? y ) dx ? ? 2 ( ? 5 y ? 4 y 2 ) dy ? . ?? ? ? 0 2y 0 2 24 x?2 y

1

(2) 方法一: 先求 Z 的分布函数:

FZ ( z ) ? P{ X ? Y ? Z } ?
当 z ? 0 时, FZ ( z ) ? 0 ;

x? y? z

?? f ( x, y) dxdy

6

当 0 ? z ? 1 时, FZ ( z ) ?

?? f ( x, y) dxdy ? ?
D1 D2

z

0

dy ?

z? y

0

1 (2 ? x ? y) dx ? z 2 ? z 3 ; 3

当 1 ? z ? 2 时, FZ ( z ) ? 1 ? 当 z ? 2 时, FZ ( z) ? 1 .

?? f ( x, y) dxdy ? 1 ? ?

1 z ?1

dy ?

1 (2 ? x ? y) dx ? 1 ? (2 ? z ) 3 ; z? y 3
1

故 Z ? X ? Y 的概率密度

?2 z ? z 2 , 0 ? z ? 1 ? f Z ( z ) ? FZ? ( z ) ? ?(2 ? z ) 2 , 1 ? z ? 2 . ?0 , 其他 ?
方法二: f Z ( z) ?

?

??

??

f ( x, z ? x) dx ,

?2 ? x ? ( z ? x), 0 ? x ? 1, 0 ? z ? x ? 1 f ( x, z ? x) ? ? 0, 其他 ? ?2 ? z, 0 ? x ? 1, x ? z ? 1 ? x , ?? 其他 ? 0, 当 z ? 0 或 z ? 2 时, f Z ( z ) ? 0 ;
当 0 ? z ? 1 时, f Z ( z) ? 当 1 ? z ? 2 时, f Z ( z ) ? 故 Z ? X ? Y 的概率密度

? (2 ? z) dx ? z(2 ? z) ;
0

z

?

1 z ?1

(2 ? z ) dx ? (2 ? z) 2 ;

?2 z ? z 2 , 0 ? z ? 1 ? f Z ( z ) ? ?(2 ? z ) 2 , 1 ? z ? 2 . ?0 , 其他 ?
【例 4】 (研 08) 设随机变量 X , Y 独立同分布且 X 分布函数为 F ( x) ,则 Z ? max{X , Y } 的分布函数 为 【 】 (A) F 2 ( x) (C) 1 ? [1 ? F ( x)]
2

(B) F ( x) F ( y ) (D) [1 ? F ( x)][1 ? F ( y)] 独立同分布
2

【详解】 FZ ( x) ? P{Z ? x} ? P{max{X , Y } ? x} ? P{X ? x, Y ? x}

? P{X ? x} ? P{Y ? x} ? F ( x) .
【答案】应选(A). 【例 5】 (研 08) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 的概率分布为 P{ X ? i} ? 密度为 f Y ( y) ? ?

1 (i ? ?1, 0, 1) ,Y 的概率 3

?1, 0 ? y ? 1 ,记 Z ? X ? Y . ?0, 其他 1 (1) 求 P{Z ? | X ? 0} ;(2) 求 Z 的概率密度. 2 1 1 1 1 1 【详解 1】 (1) P{Z ? | X ? 0} ? P{ X ? Y ? | X ? 0} ? P{Y ? } ? ? 2 1dy ? . 0 2 2 2 2 (2) 先求 Z 的分布函数 FZ ( z) ? P{X ? Y ? z} ,
7

当 z ? 2 时, F ( z ) ? 1 ;当 z ? ?1 时, F ( z ) ? 0 ; 当 ? 1 ? z ? 2 时,由全概率公式,

FZ ( z) ? P{X ? Y ? z} ? P{X ? Y ? z | X ? ?1} ? P{X ? ?1} ? P{ X ? Y ? z | X ? 0} ? P{ X ? 0} ? P{X ? Y ? z | X ? 1} ? P{X ? 1} 1 ? [ P{Y ? z ? 1} ? P{Y ? z} ? P{Y ? z ? 1}] 3 1 ? [ FY ( z ? 1) ? FY ( z ) ? FY ( z ? 1)] , 3
所以 Z 的密度函数为

?1 1 ? , ?1 ? z ? 2 f Z ( z ) ? FZ? ( z ) ? [ f Y ( z ? 1) ? f Y ( z ) ? f Y ( z ? 1)] ? ? 3 . 3 ? 其他 ?0, 1 1 z ?1 1 【详解 2】 当 ? 1 ? z ? 0 时, FZ ( z ) ? P{Y ? z ? 1} ? ? 1dy ? ( z ? 1) ; 3 0 3 3 z 1 1 1 当 0 ? z ? 1 时, FZ ( z ) ? [ P{Y ? z ? 1} ? P{Y ? z}] ? (1 ? ? 1dy ) ? ( z ? 1) ; 0 3 3 3 z ?1 1 1 1 当 1 ? z ? 2 时, FZ ( z ) ? [ P{Y ? z ? 1} ? P{Y ? z} ? P{Y ? z ? 1}] ? (1 ? 1 ? ? 1dy ) ? ( z ? 1) ; 0 3 3 3 z ? ?1 ?0, ? ?1 综合如下 FZ ( z ) ? ? ( z ? 1), ? 1 ? z ? 2 , ?3 z?2 ? ?1,
所以 Z 的概率密度为

?1 ? , ?1 ? z ? 2 f Z ( z ) ? FZ? ( z ) ? ? 3 . ? 其他 ?0,

【例 6】 (研 09) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X 服从标准正态分布 N (0, 1) ,Y 的概率分布为

P{Y ? 0} ? P{Y ? 1} ? 1 / 2 ,记 FZ ( z) 为随机变量 Z ? XY 的分布函数,则函数 FZ ( z) 的间断点个数
为 【 】 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【详解】 FZ ( z ) ? P{ XY ? z} ? P{ XY ? z | Y ? 0} ? P(Y ? 0} ? P{ XY ? z | Y ? 1} ? P(Y ? 1}

1 1 P{ X ? 0 ? z | Y ? 0} ? P{ X ? z | Y ? 1} , 2 2 z?0 1 1 ??( z) / 2 , 因为 X 与 Y 相互独立,所以 FZ ( z ) ? P{ X ? 0 ? z} ? P{ X ? z} ? ? , 2 2 ?[1 ? ?( z )] / 2 , z ? 0 显然 z ? 0 是 FZ ( z ) 唯一的间断点. ?
【答案】 应选(B).

题型 4:随机变量的独立性与相关性
【例 1】 (研 90) 一电子仪器由两个部件构成,以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已 知 X 和 Y 的联合分布函数为

?1 ? e ?0.5 x ? e ?0.5 y ? e ?0.5( x ? y ) , 若 x ? 0, y ? 0 , F ( x, y) ? ? 其他 ?0,
8

(1) 问 X 和 Y 是否独立? (2) 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率 ? . 【详解】 由题设条件知,X 和 Y 的边缘分布函数分别为

?1 ? e ?0.5 x , x ? 0 , FX ( x) ? F ( x, ? ?) ? ? x?0 ?0, ?1 ? e ?0.5 y , y ? 0 . FY ( y) ? F (??, y) ? ? 0 , y ? 0 ? (1) 由上式知 F ( x, y) ? FX ( x) ? FY ( y) ,故 X 和 Y 相互独立. (2) ? ? P{ X ? 0.1, Y ? 0.1} ? P{ X ? 0.1} ? P{Y ? 0.1} ? (1 ? P{X ? 0.1}) ? (1 ? P{Y ? 0.1}) ? [1 ? FX (0.1)] ? [1 ? FY (0.1)] ? e ?0.1 .
【例 2】 (研 05) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布为 Y X

0
0 .4
b

1
a

0 1

0 .1

若随机事件 { X ? 0} 与 { X ? Y ? 1} 相互独立,则 a ? 【答案】应填 0.4, 0.1 .

,b?

.

【分析】 首先所有概率求和为 1,可得 a ? b ? 0.5 。其次,利用事件的独立性又可得一个等式,由此 可确定 a, b 的取值. 【详解】 由题设,知 a ? b ? 0.5 ; 又事件 { X ? 0} 与 { X ? Y ? 1} 相互独立,于是有

P{X ? 0, X ? Y ? 1} ? P{X ? 0}P{X ? Y ? 1} , a ? (0.4 ? a)(a ? b) , 由此可解得 a ? 0.4, b ? 0.1 。 即 【例 3】 (研 06) 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 且均服从区间 [0, 3] 上的均匀分布, 则 P{max{X , Y } ? 1}
= . 【答案】应填

1 . 9

【详解】因为 X 与 Y 服从 [0, 3] 上的均匀分布,则有 P{ X ? 1} ? P{Y ? 1} ? 再由 X 与 Y 相互独立,有

1? 0 1 ? , 3?0 3
1 . 9

P{max{X , Y } ? 1} ? P{ X ? 1, Y ? 1} ? P{ X ? 1} ? P{Y ? 1} ? ( P{X ? 1}) 2 ?
【例 4】 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为

?1 ? xy , | x | ? 1, | y | ? 1 ? f ( x, y ) ? ? 4 , ? 其他 ? 0,
证明:X 与 Y 不独立,但 X 与 Y 独立. 【详解】 先求边缘分布,
2

2

1 1 ? 1 1 ? xy ? 1 1 ? xy dy ? , | y | ? 1 dy ? , | x | ? 1 ???1 ???1 f X ( x) ? ? , f Y ( y) ? ? , 4 2 4 2 ? ? 其他 其他 ? 0, ? 0, 因为 f ( x, y) ? f X ( x) ? f Y ( y) ,所以 X 与 Y 不独立;
9

再计算 X 与 Y 的分布函数,

2

2

u?0 ? 0, v?0 ? 0, ? ? ? u 1 2 FX 2 (u ) ? P( X ? u ) ? ?? dx ? u , 0 ? u ? 1 , FY 2 (v) ? ? v , 0 ? v ? 1 , ? u 2 ? 1, ? v ?1 ? u ?1 ? ? 1, 2 2 再计算 X 与 Y 的联合分布函数, u?0 或 v?0 ? 0, ? v u 1 ? xy ?? dy ? dx ? uv , 0 ? u ? 1,0 ? v ? 1 u 4 ? ? v ? , F (u, v) ? P( X 2 ? u, Y 2 ? v) ? ? u , 0 ? u ? 1, v ? 1 ? v, 0 ? v ? 1, u ? 1 ? u ? 1, v ? 1 ?1 , ? ? 2 2 于是有 F (u, v) ? FX 2 (u) ? FY 2 (v) ,即 X 与 Y 独立. 【评注】 如果 X 与 Y 相互独立,则 h ( X ) 与 g (Y ) 也相互独立,但反之不然,本例即说明了这一点.

题型 5:综合题
【例 1】 设随机变量 X 与 Y 相互独立,下表列出了 ( X , Y ) 的联合分布及边缘分布的部分数值,试在空 白处填入相应数值。

Y

X x1 x2
p? j
【详解】 a ?

y1

y2

y3
b

pi ?

a 18
16

18 d
g

e
h

c f
1

1 1 1 ? ? , 6 8 24 1 1 1 1 1 1 3 ? ? 由独立性, c ? a ? c ? , ? b ? ? ,? f ? 1? c ? , 6 4 4 24 8 12 4 1 1 1 3 1 1 1 再由独立性, gc ? ? g ? , ? d ? ? ? , ? h ? 1 ? ? g ? , 8 2 8 8 6 3 2 1 1 ?e ? f ? ?d ? , 8 4
将所得数字填入,得下表:

Y X x1 x2
p? j

y1
1 / 24 18

y2

y3
1 / 12 1/ 4 1/ 3

pi ?
1/ 4 3/ 4
1

18 3/ 8
1/ 2

16

【例 2】 设袋中有标记为 1 ~ 4 的四张卡片,从中不放回地抽取两张,X 表示首次抽到的卡片上的数字, Y 表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值。 (1) 求 ( X , Y ) 的联合概率分布; (2) 求 X 和 Y 的边缘分布;
10

(3) 求在 X ? 4 条件下 Y 的条件分布以及在 Y ? 3 条件下 X 的条件分布。 【详解】(1)按题意, X 的可能取值为 1 ~ 4 ,Y 的可能取值为 1 ~ 3 , ( X , Y ) 的联合概率分布如下表, 其中,( X ? 2, Y ? 1) 表示卡片上的数字分别为 ?2,1? 和 ?2,3?, 所以 P( X ? 2, Y ? 1) ? 1 / 12 , 其它 pij 可 类似求得.

Y

X
1 2 3
4

1

2

3 1 / 12 0 0 1 / 12 1/ 6

pi ?
1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4
1

p? j
(2) X 的边缘分布为

1 / 12 2 / 12 2 / 12 1 / 12 1/ 2

1 / 12 1 / 12 1 / 12 1 / 12 1/ 3

X 1 2 3 4 , P 1/4 1/4 1/4 1/4 Y 1 2 3 Y 的边缘分布为 . P 1/2 1/3 1/6 (3) 取定 X ? 4 ,则把该行各概率除以 p 4? ,即可得到在 X ? 4 条件下 Y 的条件分布: Y 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 X 1 4 同理, 在 Y ? 3 条件下 X 的条件分布为 . P 1/2 1/2
【例 3】 (研 05) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为

?1, 0 ? x ? 1,0 ? y ? 2 x, f ( x, y) ? ? 其他. ?0, 求:(1) ( X , Y ) 的边缘概率密度 f X ( x), f Y ( y) ; (2) Z ? 2 X ? Y 的概率密度 f Z ( z ) .
【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可;而求二维随机变量函数的概率密度,一般用分布函数法, 即先用定义求出分布函数,再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可. 【详解】 (1) 关于 X 的边缘概率密度

f X ( x) ? ?

??

??

f ( x, y) dy

y

2x - y = 0

2x ? ??0 dy, 0 ? x ? 1 ?2 x, 0 ? x ? 1 , ?? ?? 0 , 其他 ? ? 其他 ?0,

关于 Y 的边缘概率密度

2x - y = z

? 1 dx, 0 ? y ? 2 ?? y f Y ( y) ? ? f ( x, y) dx ? ? 2 ?? ? 其他 ?0, ? y ?1 ? , 0 ? y ? 2 ?? 2 , ? 其他 ? 0, (2) Z 的分布函数为 FZ ( z) ? P{Z ? z} ? P{2 X ? Y ? z} , 1) 当 z ? 0 时, FZ ( z) ? P{2 X ? Y ? z} ? 0 ;
??

O

1

x

11

2) 当 0 ? z ? 2 时, FZ ( z) ? P{2 X ? Y ? z} ? 1 ? 3) 当 z ? 2 时, FZ ( z) ? P{2 X ? Y ? z} ? 1.

1 z 1 (1 ? )( 2 ? z ) ? z ? z 2 , 2 2 4

即 Z 的分布函数为

z?0 ? 0, ? ? 1 FZ ( z ) ? ? z ? z 2 , 0 ? z ? 2 4 ? 1 , z?2 ? ?
? 1 ?1 ? z, 0 ? z ? 2 f Z ( z) ? ? 2 . ? 其他 ?0,

故 Z 的的概率密度为

【评注】 求随机变量函数分布,一般都是通过定义用“分布函数法”计算. 【例 4】 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为

?kx 2 y , ( x, y ) ? G , f ( x, y ) ? ? 其他 ? 0, 其中 G 是由 y ? | x | 和 y ? 1 围成的区域,
(1) 求 k; (2) 求 X , Y 的边缘密度函数; (3) 求 P{Y ? } . 【详解】 (1) 由规范性,

y
y= - x 1 y= x

1 2

O
1 y

1

x

??
G

f ( x, y) d? ? ? dy ? kx 2 y dx ?
0 ?y

15 2 k ? 1, ? k ? ; 2 15

(2) f X ( x) ?

?

??

??

f ( x, y) dy ,

当 ? 1 ? x ? 0 时, f X ( x) ? 当 0 ? x ? 1 时, f X ( x) ?

?
1

?

x

15 2 15 x y dy ? x 2 (1 ? x 2 ) , ?x 2 4 15 2 15 2 x y dy ? x (1 ? x 2 ) , 2 4
1

?15 2 2 ? x (1 ? x ) , ? 1 ? x ? 1 f X ( x) ? ? 4 所以 ; ? 其他 ? 0, ? y 15 2 ?? x y dx ? 5 y 4 , 0 ? y ? 1 ??? y ? 而 f Y ( y) ? ? f ( x, y) dx ? ; 2 ?? ? 0 , 其他 ? 1 (3) 记 B ? {( x, y ) | y ? } , 2 1 y 15 1 1 15 2 x 2 y dx ? 则 P{Y ? } ? ?? f ( x, y) d? ? ?? , x y d? ? ? 2 dy ? 0 ?y 2 2 32 2 B B ?G
或解: P{Y ? } ?

1 2

?

1 2 ??

f Y ( y ) dy ? ? 2 5 y 4 dy ?
0

1

1 . 32

12


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