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文科三角函数解答题教师版(有答案)


三角函数解答题
一.考查三角函数的图象和性质,三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、对称 1.设函数 f ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x .(I)求函数 f ( x) 的最小正周期; 2 4

x ? ) ? g( x) (II) 设函数 g ( x) 对任意 x ? R , 有 g( 2
在 [?? , 0] 上的解析式.

?

, 且当 x ? [0,

?
2

] 时, g ( x) ?

1 ? f ( x) , 求函数 g ( x) 2

本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识,考 查分类讨论思想和运算求解能力. 【解析】 f ( x) ?

1 1 2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x , 2 2 2 4 2 2 2
2? ?? 2

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)当 x ? [0, 当 x ? [?

?
2

] 时, g ( x) ?

? ? ? 1 ? 1 , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2
?

1 1 ? f ( x) ? sin 2 x 2 2

? ? 1 ? sin 2 x( ? ? x ? 0) ? ? 2 2 得函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? . ? 1 sin 2 x( ?? ? x ? ? ) ? ? 2 2
2.函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 ) 的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

? , 2

【解析】 (1)∵函数 f ? x ? 的最大值是 3,∴ A ? 1 ? 3 ,即 A ? 2 .

? ,∴最小正周期 T ? ? ,∴ ? ? 2 . 2 ? 故函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 6 ? ? ? 1 (2)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? , 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ,故 ? ? . 2 6 6 3 6 6 3
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 3..设

f ( x ) ? 4 cos( ?x ?

? )sin ?x ? cos 2?x ,其中 ? ? 0. 6

第 1 页 共 10 页

(Ⅰ)求函数 y ?

f(x)

的值域 (Ⅱ)若 y ?

? 3? ? ? f ( x ) 在区间 ? ? , ? 上为增函数,求 ? 的最大值. ? 2 2?

解: (1) f ? x ? ? 4 ?

? 3 ? 1 ? 2 cos ? x ? 2 sin ? x ? ? sin ? x ? cos 2? x ? ?

? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 3 sin 2? x ? 1
因 ?1 ? sin 2? x ? 1 ,所以函数 y ? f ? x ? 的值域为 ?1 ? 3,1 ? 3 ?

?

?

(2)因 y ? sin x 在每个闭区间 ? 2k? ?

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?

? k ? Z ? 上为增函数,
? k? ? k? ? ? ? , ? ? k ? Z ? 上为增函数. ? ? 4? ? 4? ? ?

故 f ? x ? ? 3 sin 2? x ? 1 ?? ? 0? 在每个闭区间 ?

依题意知 ? ?

? 3? ? ? ? k? ? k? ? ? 对某个 k ? Z 成立,此时必有 k ? 0 ,于是 , ? ? , ? ? 2 2? ? ? ? ? 4? ? 4? ? ?

? ? 3? ? ?? ? 1 1 ? 2 4? ,解得 ? ? ,故 ? 的最大值为 . ? 6 6 ?? ? ? ? ? 2 4?
4.设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b)

(I)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期;
【解析】

(II)求使不等式 f ( x ) ?

3 成立的 x 的取值集合? 2

5.已知函数 f(x)=sin x+

2

3 sinxcosx+2cos2x,x ? R.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈ R)的图象经过怎样的变换得到?
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【解析】:(1) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

3 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ? f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ? ? . 2 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 ?
由题意得 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ? Z,

即 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? Z.

? ?? ? ? f ( x) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? ? , k ? Z . 3 6? ?
? ? 个单位长度, 得到 y ? sin(2x ? ) 的图象,再把所得图象上 12 6 3 ? 3 所有的点向上平移 个单位长度, 就得到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象? 2 6 2 ? 6.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点 2 ? 2? , ?2) . 之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2 ? ? (Ⅰ )求 f ( x ) 的解析式;(Ⅱ )当 x ? [ , ] ,求 f ( x ) 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12 2 2? , ?2) 得 A=2. 【解析】 : (1)由最低点为 M ( 3 ? T ? 2? 2? ? ?2 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? T ? 2 2 2 2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 由点 M ( 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? ? ? ? 2 k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 故 又 ? ? (0, ),?? ? , 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 3 2 6 2 6 6 ? ? ? ? 7? ? ? ? ? 2 x ? ? [ , ] 当 2 x ? = , 即 x ? 时 , f ( x) 取 得 最 大 值 2; 当 (2) ? x ? [ , ],      12 2 6 3 6 6 2 6 ? 7? ? 2x ? ? 即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值-1,故 f ( x ) 的值域为[-1,2] 6 6 2
(2)先把 y ? sin 2x 图象上所有点向左平移
7.已知函数

?π ? ?π π? f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2? ?π π? ? ?

(1)求 f ( x) 的最大值和最小值; (2) f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2
【解析】 (Ⅰ )∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π π 2π π? ? ?π π? , ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ 6 3 3 3? ? ?4 2?
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即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ?

? ?

π? ,f ( x)min ? 2 . ? ≤ 3 ,∴ f ( x)max ? 3 3? ?π π? ? ?

(Ⅱ )∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

, 4) . ∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1
二是考查三角函数式的恒等变形(化简求值) ;

3? ? ? sin ? 5? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? 2 ? ? 8 .已知 f ?? ? ? 3? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? tan ?? ? 3? ? 2 ? 2? ? ?
(I)化简 f
【解析】

?? ?

(II)若 ? 是第三象限角,且 cos ?

? 3? ? 1 ? ? ? ? ,求 f ?? ? 的值? ? 2 ? 5

9.已知函数 f ( x) ? (1 ? tan x)[1 ?

2 sin( 2 x ?

?
4

)] ,求:

(1)函数 f ( x) 的定义域和值域;

(2)写出函数 f ( x) 的单调递增区间。

【解析】:

? ?? ? sin x ?? f ( x) ? ?1 ? ??1 ? 2 sin 2 x cos ? 2 cos2 x sin ? 4 4? ? cos x ??

? sin x ? 2 ? ?1 ? ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ? 2?cos x ? sin x ??cos x ? sin x ? cos x ? ?

?

?

? 2(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 cos 2 x
(Ⅰ )函数的定义域 ? x | x ? R, x ? k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 2 ?

? 2 x ? 2k? ? ? , k ? Z

? 2 cos 2 x ? ?2, 函数 f ( x) 的值域为 ?? 2,2?

(Ⅱ )令 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? , (k ? Z ) 得 k? ?

?
2

? x ? k? (k ? Z )

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∴ 函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ?
2 10. 函数 f ( x) ? 6 cos

? ?

?

? , k? ? (k ? Z ) 2 ?

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所

示, A 为图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式,倍角公式等基础知识,考查基本 运算能力,以及数形结合思想,化归与转化思想. [解析](Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? 6 cos
2

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0)

=3cosωx+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ? 又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 所以,函数 f ( x)的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即

?
3

)

2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

所以,函数 f ( x)的值域为 [?2 3,2 3] .……………………6 分 (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?

8 3 ,由 (Ⅰ)有 5 ?

f ( x0 ) ? 2 3sin (
由 x0 ? (?

?x0
4

?
3

)?

?x ? 4 8 3 ( 0 ? )? , 即s i n 4 3 5 5

?x 10 2 ? ? ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2

所以, 即cos(

?x0
4

故 f ( x0 ? 1) ? 2

?2 ?2

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? 3 5 5 ?x ? ? ?x ? ? 3sin ( 0 ? ? ) ? 2 3sin[( 0 ? ) ? ] 4 4 3 4 3 4 ?x ? ?x ? ? ? 3[sin( 0 ? ) cos ? cos( 0 ? ) sin 4 3 4 4 3 4 4 2 3 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2

?

7 6 ………………………………………………………12 分 5
11.已知函数 (1)求

f ( x) ? 2 sin( 1 x ? ? ), x ? R 3 6

f ( 5? ) 4 的值;
? ?

? ?? f (3? ? ? ) ? 10 , f (3? ? 2? ) ? 6 ,求 cos(? (2)设 ? 、 ? ? ?0, 2? ,

2

13

5

? ? ) 的值.

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(1)以 x ? 5? 代入解析式直接求解; (2)由题目条件可求出 sin ? 及 cos ? 的值,然后利用同角三角函数关系,
4

求出 cos ? 及 sin ? 的值,再利用两角和的余弦公式求解.

5? 1 5? ? ? ) ? 2 sin ? ? 2 ; 【精讲精析】 (1) f ( ) ? 2 sin( ? 4 3 4 6 4
(2)由 f (3? ?

6 ? 10 ) ? 得 2sin ? = 10 ,即 sin ? = 5 ,由 f (3? ? 2? ) ? 6 得 2sin( ? ? ? )= 5 ,从而 cos ? ? 3 , 13 13 5 2 5 2 13

? ? , ? cos ? ? 1 ? ( 5 ) 2 ? 12 ,sin ? 1 ? ( 3 ) 2 ? 4 , 0, ?? 、 ? ? ? ? 2? 13 13 5 5 ? ?
? cos( ? ? ? )=cos ? cos ? -sin ? sin ? = 12 ? 3 ? 5 ? 4 ? 16 . 13 5 13 5 65

12.已知函数 f ( x ) ? 2 cos( ?x ? (1)求 ω 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

?
6

), (其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π.

?

5 6 5 16 ] , f (5? ? ? ) ? ? , f (5? ? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 2 3 5 6 17

50、本题考查三角函数求值,三角恒等变换,利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值,难度较 低. 【解析】 (1) T ?

2?

(2) f (5? ?

5? 6 ? 3 3 4 ) ? ? ? cos(? ? ) ? ? ? sin ? ? , cos ? ? 3 5 2 5 5 5 5? 16 8 15 f (5? ? ) ? ? cos ? ? ,sin ? ? 6 17 17 17 4 8 3 15 13 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? 5 17 5 17 85

?

? 10? ? ? ?

1 5

三.考查正弦定理和余弦定理.
13.在锐角△ ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,已知 (b
2

? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc.

(I)求角 A;

(II)若 a=2,求△ ABC 面积 S 的最大值?

【解析】:(I)由已知得

b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2

又在锐角△ ABC 中,所以 A=60° ,[不说明是锐角△ ABC 中,扣 1 分] (II)因为 a=2,A=60° 所以 b ? c ? bc ? 4, S ?
2 2

1 3 bc sin A ? bc 2 4

而 b ? c ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4
2 2

又S ?

1 3 3 bc sin A ? bc ? ?4 ? 3 2 4 4

所以△ ABC 面积 S 的最大值等于 3

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14.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A ; (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

52..解: (1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 , a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4 2

15 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 (1)求 cos A 的值;

2 c o s

2

A? B c o s n ( i s Bn ? ) i s 2

c o ( sA ? B )

B?

A?C ? ?

3 5.

(2)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

??? ?

??? ?

2 cos 2
55 【解题指南】本题解题的突破口在于已知条件

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? 2 5的

化简,以及隐含条件在三角形中内角和为 ? ,第(2)问要注意正弦定理与余弦定理的应用. A?B 3 【解析】(1)由 2cos2 cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)= ? , 2 5 3 得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=? . 5 3 即 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=? . 5 3 3 则 cos(A-B+B)= ? ,即 cosA=? . 5 5

4
3 (2)由 cosA=? ,0<A<π ,得 sinA=? 5 . 5 a b 由正弦定理,有 = ,所以,sinB= sinA sinB

bsin A 2 ? a 2 .

? 由题知 a>b,则 A>B,故 B= 4 .

3 (? ) 根据余弦定理,有(4 2 ) =5 +c -2×5c× 5 ,解得 c=1 或 c=-7(舍去).
2 2 2

2 ? ??? ? ??? ??? ? 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为| BA |cosB= 2 .
16.设锐角 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A .

(Ⅰ )求 B 的大小; (Ⅱ )求 cos A ? sin C 的取值范围.
【解析】:(Ⅰ )由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

1 , 2

由 ?ABC 为锐角三角形得 B ?

π . 6

第 7 页 共 10 页

(Ⅱ ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

? ?

? ? ?? ? ? A ? ? cos A ? sin ? ? A ? ? ? ?6 ?

1 3 ?? ? ? cos A ? cos A ? sin A ? 3 sin ? A ? ? . 2 2 3? ?
17 .在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c , sin

A? B C ? sin ? 2 . 2 2

I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值.
【解析】:I. sin

? ?C
2

? sin

?

C ? ? ? ? ? 即C ? ,所以此三角形为直角三角形. 2 4 2 2

C C C C ? ? cos ? sin ? 2 sin( ? ) 2 2 2 2 4

II. 16 ? a ? b ? a 2 ? b 2 ? 2 ab ? 2ab ,? ab ? 64(2 ? 2 ) 2 当且仅当 a ? b 时取等号, 此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 .
18.在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A. B.C 的对边,C=2A, cos A ?

?

?

3 , 4

27 ,求边 AC 的长? 2 9 1 2 ?1 ? 【解析】:(1) cos C ? cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? 2 ? 16 8
(1)求 cosC , cos B 的值;(2)若 BA ? BC ?

? cos B ? ? cos? A ? C ? ? sin A sin C ? cos A cosC ?
(2) BA ? BC ?

7 3 7 3 1 9 ? ? ? ? 4 8 4 8 16

27 27 a c 3 ,? ac cos B ? ,? ac ? 24 ① ? , C ? 2 A,? c ? 2a cos A ? a 又 ② 2 2 sin A sin C 2 9 2 2 2 ? 25 ? b ? 5 ,即 AC 边的长为 5. 由① ② 解得 a=4,c=6? b ? a ? c ? 2ac cos B ? 16 ? 36 ? 48 ? 16
2 19.已知在 ?ABC 中, A ? B ,且 tan A 与 tan B 是方程 x

? 5 x ? 6 ? 0 的两个根.

(Ⅰ )求 tan(A ? B) 的值;

(Ⅱ )若 AB ? 5 ,求 BC 的长.
2

【解析】:(Ⅰ )由所给条件,方程 x

? 5 x ? 6 ? 0 的两根 tan A ? 3, tan B ? 2 .
? (Ⅱ )∵ A ? B ? C ? 180 ,∴C ? 180 ? ( A ? B) .
?

∴tan( A ? B) ?

tan A ? tan B 2?3 ? ? ?1 1 ? tan A tan B 1 ? 2 ? 3

由(Ⅰ )知, tanC ? ? tan(A ? B) ? 1 ,∵C 为三角形的内角,∴sin C ?

2 2

∵tan A ? 3 , A 为三角形的内角,∴sin A ?

AB BC 3 ? , 由正弦定理得: sin C sin A 10

∴BC ?

5 3 ? ?3 5. 2 10 2

第 8 页 共 10 页

20

. 在 ?ABC 中 , 已 知 内 角

A .

B . C

所 对 的 边 分 别 为

a 、 b 、 c, 向 量

? m? 2 s B i n ?

?

? ? B ? ? ? , ,n ? 3 ? cos 2 B, 2cos 2 ? 1? ,且 m / / n ? 2 ? ?
(II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值? B 2sinB(2cos2 -1)=- 3cos2B?2sinBcosB=- 3cos2B ? 2 (2)由 tan2B=- 3 tan2B=- 3

?

(I)求锐角 B 的大小;
【解析】:(1) m / / n ?

?

?

2π π ∵ 0<2B<π,∴ 2B= ,∴ 锐角 B= 3 3

π 5π π ? B= 或 ① 当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 3 6 3 ∵ △ ABC 的面积 S△ ABC= 1 3 acsinB= ac≤ 3 2 4

4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) ∴ △ ABC 的面积最大值为 3

5π ② 当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 6

4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立)∴ ac≤4(2- 3) ∵ △ ABC 的面积 S△ ABC= 1 1 acsinB= ac≤ 2- 3∴ △ ABC 的面积最大值为 2- 3 2 4
2 2 2

21 .在 ?ABC 中,角 A. B.C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?

1 ac. 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; 2

(2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.

【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=

1 1 1 2 A?C +cos2B= ? (2)由 cos B ? , 得 sin B ? sin 4 4 4 2

15 b=2, . ∵ 4

a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,
2

2

1

8

15 15 1 S△ ABC= acsinB≤ (a=c 时取等号)故 S△ ABC 的最大值为 2 3 3

四.创新题 22.如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为 4.8m,圆上最低点与地面距 离为 0.8m,60 秒转动一圈.途中 OA 与地面垂直.以 OA 为始边,逆时针 转动 ? 角到 OB .设 B 点与地面距离为 h . (1)求 h 与 ? 的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 80 秒到达 OB ,求 h . 【 解 析 】 : ( 1 ) ∵h ? 0.8 ? OA ? BC ? 0.8 ? 4.8 ? OB sin ? ? 5.6 ? 4.8sin(? ? 90?) , ∴h ? 5.6 ? 4.8cos? (? ? 0) ( 2 ) ∵ ??

? ? 8? 2? ? t , ∴ ?? ? 80 ? , ? ? ? 30 30 3 60 30
8? ? 8 (m) 3



? h ? 5.6 ? 4.8 cos

23.如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AO C.小区的两个出入口设置在点 A

及点 C 处,小区里有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转角为

C

120? .已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用
了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长 (精确到 1 米) . 【解析】解法一:设该扇形的半径为 r 米. 由题意,得
第 9 页 共 10 页

A
1200

D
O

CD=500(米) ,DA=300(米) ,∠ CDO= 60

0
H

C

在 ?CDO 中, CD2 ? OD2 ? 2 ? CD ? OD ? cos600 ? OC 2 , 即 500 ? ? r ? 300 ? ? 2 ? 500 ? ? r ? 300 ? ?
2 2

A
120 0

1 ? r2, 2



O

解得 r ?

4900 ? 445 (米) 11
由题意,得 CD=500(米) ,AD=300(米) , ?CDA ? 120
0

解法二:连接 AC,作 OH⊥ AC,交 AC 于 H

在?ACD中, AC 2 ? CD 2 ? AD 2 ? 2 ? CD ? AD ? cos1200 1 ? 5002 ? 3002 ? 2 ? 500 ? 300 ? ? 7002 , 2
∴AC=700(米)

cos ?CAD ?

AC 2 ? AD 2 ? CD 2 11 ? . 2 ? AC ? AD 14
11 AH 4900 , ∴ OA ? ? ? 445 (米) 14 cos ?HAO 11

(米) , cos ?HA0 ? 在直角 ?HAO中, AH ? 350

24.已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x) ,其中常数ω >0.

?? ? (1)令ω =1,判断函数 F ( x) ? f ( x) ? f ? x ? ? 的奇偶性,并说明理由; 2? ?
(2)令ω =2,将函数 y=f(x)的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x) 6

的图像.对任意 a∈R,求 y=g(x)在区间[a,a+10π ]上零点个数的所有可能值.

【解析】(1)ω =1,f(x)=2sinx, F(x)=f(x)+f F =2 ,F =0,F ≠F ,F ≠-F

=2sinx+2sin

=2(sinx+cosx).

.所以,F(x)不是奇函数,也不是偶函数.

(2)ω =2,f(x)=2sin2x, 将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位后得到 y=2sin2 的图像,所以 g(x)=2sin +1. +1

令 g(x)=0,得 x=kπ + 或 x=kπ + (k∈Z).因为[a,a+10π ]恰含 10 个周期,所以, 当 a 是零点时,在[a,a+10π ]上零点个数为 21;
当 a 不是零点时,a+kπ (k∈Z)也都不是零点,区间[a+kπ ,a+(k+1)π ]上恰有两个零点,故在[a,a+10π ]上有 20 个零 点.综上,y=g(x)在[a,a+10π ]上零点个数的所有可能值为 21 或 20.

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