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高三数学61(理) 二项式定理 学案


宿豫区实验高级中学

同学们做题时:看仔细,想清楚,写明白

2012 届 高三一轮复习

高三数学
【考纲要求】 内容

§61(理)

二项式定理
要求
A
B

学案

C

计数原理

二项式定理



【基础自查】 : 1. 二项式定理及其特例 (1) ? a ? b ? =
n

;(2) ? 1 ? x ? =
n

.

特别是当 x=1 时,得 2 n ? 2. 二项展开式的通项公式: T r ? 1 = 3. 二项式系数表(杨辉三角)
n

. (r=0,1,2,…,n).

? a ? b ? 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1,2,3,…时,二项式系数表中每行两端都是 1,除 1 以外的每
一个数都等于 4.二项式系数 C n , C n , ? , C n 的性质
0 1 n

.

m n?m m m ?1 m (1) C n ? C n ;(2) C n ? C n ? C n ? 1 ;

(3)当 r ?

n ?1 2

r r ?1 时, C n ? C n ;当 r ?

n ?1 2

时, C n

r ?1

? C n ;(4) C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? 2
r
0 1 2 n

n

【自学导引】
1.在二项式 ( x ?
2

1 x
n

) 的展开式中,含 x 的项的系数是
5

4

2 .若 ( x ? 2 )

n

? x

? ? ? ax
n

3

? bx

2

? c x ? 2 ( n ? 3 , n ? N ), 且 a : b ? 3 : 2 , 则 n ? _ _ _   .
n *

3 .已 知 (

x ?

3
3

) 的 展 开 式 中 , 各 项 系 数 的 和 与 其 各 项 二 项 式 系 数 的 和 之 比 为 6 4:1 , 则

x

n等 于 _ _ _ _ _   .

4 .设 (3 x ? 1) ? a 8 x ? a 7 x ? ? ? a 1 x ? a 0, 求 下 列 各 式 的 值 :
8 8 7

?1 ? a1 ?

a 2 ? ? ? a 8 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;2 ? a 0 ? a 2 ? a 4 ? a 6 ? a 8 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . ?
1
3

5.已知 ( x ?

) 的展开式中偶数项的二项式系数之和比 (a+b)
n

2n

的展开式中奇数项的二项式系数之和

x

小 120,求第一个展开式的第三项._______________________

【要点例析】
题型 1 二项式定理的应用
【 例 1】? 1 ? 求 ( x ? y ) 的 展 开 式 中 x y 项 的 系 数 ; 2 ? 求 ( x ? ?
10 6 4

1 x

? 1) 的 展 开 式 中 的 常 数 项 .
5

【变式练习】已知 (1 ? x ? x )( x ?
2

1 x
3

) 的展开式中没有常数项,n∈N*,且 2≤n≤8,求 n 的值.
n

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宿豫区实验高级中学 同学们做题时:看仔细,想清楚,写明白 题型 2 二项式系数与二项展开式的系数的比
【 例 2】 若 ( x+ 2 1
4

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) 的展开式中前三项系数成等差数列,求: x

n

? 1 ? 展 开 式 中 x的 一 次 项 ; 2 ? 展 开 式 中 所 有 含 x的 有 理 项 ; 3 ? 展 开 式 中 系 数 最 大 的 项 . ? ?

【变式练习】已知 ( x ?

2 x
2

) (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10∶1. 求:
n

3

(1)展开式中各项系数的和_____________;(2)展开式中含 x 2 的项_________; (3)展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项______________. 题型 3 二项式系数与二项展开式的系数和 【例 3】在(2x-3y)10 的展开式中,求: (1)二项式系数的和__________;(2)各项系数的和____________; (3)奇数项、偶数项的二项式系数和______________;(4)奇数项、偶数项系数的和______________.

【 变 式 练 习 】 已 知 (1 ? x ) ? a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? a 3 x ? a 4 x ? a 5 x , 求 下 列 各 式 的 值 :
5 2 3 4 5

?1 ? ( a 0

? a 2 ? a 4 )( a 1 ? a 3 ? a 5 ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; 2 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 . _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?

题型 4 二项式定理的应用
【 例 4】 已 知 T n = C n + C n ?6 + C n ?6 ? ? ? C n ?6
1 2 3 2 n n-1

( n ? N ), 求 T n .    
*

【变式练习】化简:

? 1 ? ( x ? 1)
0

5

? 5 ( x ? 1) ? 1 0 ( x ? 1) ? 1 0 ( x ? 1) ? 5 ( x ? 1); _ _ _ _ _ _ _ _ _
4 3 2 1 2

? 2 ? C n +3C n +5C n + ?
【随堂演练】

? ( 2 n ? 1) C n . _ _ _ _ _ _ _ _
n

1.(2011· 泰州) 设函数 f(x , y) = ( 1 ?

m y

)x (m>0 , y>0).

(1)当 m=3 时,求 f(6 , y) 的展开式中二项式系数最大的项; (2)若 f ( 4 , y ) ? a 0 ?
a1 y ? a2 y
2

?

a3 y
3

?

a4 y
4

4

且 a3=32,求 ? a i .
i?0

2.2 0 10 无 锡 ) 写 出 (1 + i ) 的 二 项 展 开 式 ( i 为 虚 数 单 位 ), 并 计 算 C 1 0 -C 1 0 + C 1 0 -C 1 0 + C 1 0的 值 . (

10

0

3

5

7

9

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