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高中数学必修1-必修2知识点总结


高中数学必修 1 知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一 个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a ? A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的 方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法: 例: 不等式 x-3>2 的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: (1) .有限集 含有有限个元素的集合 (2) .无限集 含有无限个元素的集合 (3) .空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2. “相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元 素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等 于集合 B,即:A=B 任何一个集合是它本身的子集。A ? A ②真子集:如果 A ? B,且 B ? A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A ? B(或 B ? A) ③如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ④如果 A ? B 同时 B ? A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,
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叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x ∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ = A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ) ,由 S 中所有不 属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) (2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个 集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 四、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相 对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域 即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合 或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列 不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数 不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零 且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那 么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底 不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定 义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致, 即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数相等当且仅当它们的定 义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数 的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1)、 函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域 都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函 数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. 集合 C 上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系 y=f(x), 反过来, 以满足 y=f(x)
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的每一组有序实数对 x、 y 为坐标的点(x, y), 均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A },图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能 是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组 成。 (2) 画法 A、 描点法: 根据函数解析式和定义域, 求出 x,y 的一些对应值并列表, 以(x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接 起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高 解题的速度。发现解题中的错误。 4.了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间 的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f:A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A→ B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么, 我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应 法则 f 是确定的;②对应法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应, 它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的; ③对于映射 f: A→B 来说, 则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ) 集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意 判断一个图形是否是函数图象的依据; 2 解析法: 必须注明函数的定义域; 3 图 象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数 的特征;4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数 值. 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值 时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方 程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各 部分的自变量的取值情况. (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个 函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。
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例如: y=2sinx y=2cos(2x+1) 7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个 自变量 a,b,当 a<b 时,都有 f(a)<f(b),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函 数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 a, b, 当 a<b 时, 都有 f(a)>f(b), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质, 是函数的局部性质; 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 a,b;当 a<b 时,总有 f(a)<f(b) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区 间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减 函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:任取 a,b∈D,且 a<b;2 作差 f(a)-f(b);3 变形(通常是因 式分解和配方) ;4 定号(即判断差 f(a)-f(b)的正负) ;5 下结论(指出函 数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降)_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的单调性密切相关 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区 间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定 单调性吗? 8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地, 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x) 就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数 的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义 域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原 点对称) . 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判 断其定义域是否关于原点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结 论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) = -f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的 定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根
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据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有 f(-x) ±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理, 或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1) .函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时, 一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果 已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式 时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用 凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) (1) 、 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. (2) 、 利 用图象求函数的最大 (小) 值 (3) 、 利用函数单调性的判断函数的最大 (小) 值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则 函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递 减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

第二章 基本初等函数
一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1. 根式的概念: 一般地, 如果 x n ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 (n th root) , 其中 n >1,且 n ∈ N *. 当 n 是奇数时, 正数的 n 次方根是一个正数, 负数的 n 次方根是一个负数. 此 时,a 的 n 次方根用符号 n a 表示.式子 n a 叫做根式(radical) ,这里 n 叫 做根指数(radical exponent) , a 叫做被开方数(radicand) . 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正 数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示.正 的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成± n a ( a >0) .由此可得:负数没有 偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 ?a (a ? 0) 注意:当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0) 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

a a 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有 理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.实数指数幂的运算性质 r s rs r r ?s r (1) a ? a ? a (a ? 0, r , s ? R) ; (2) (a ) ? a (a ? 0, r , s ? R) ;

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) , a

?

m n

?

1
m n

?

1
n m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

(3) (ab) ? a a (a ? 0, r , s ? R) . (二)指数函数及其性质 1 、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数
r r s

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(exponential function) ,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5 4 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

图象特征 a ?1 0 ? a ?1 向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右 自左向右 看, 看, 图象逐渐 图象逐渐 上升 下降 在第一象 在第一象 限内的图 限内的图 象纵坐标 象纵坐标 都大于 1 都小于 1 在第二象 在第二象 限内的图 限内的图 象纵坐标 象纵坐标 都小于 1 都大于 1

函数性质 a ?1 0 ? a ?1 函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+ a0 ? 1 增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

x ? 0, a x ? 1

函数值开 函数值开 始增长较 始减小极 图象上升 图象上升 慢,到了 快,到了 趋势是越 趋势是越 某一值后 某一值后 来越陡 来越缓 增长速度 减小速度 极快; 较慢; 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a)] ; (2)若 x ? 0 ,则 f (x) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f (x1 ) ? f (x 2 ) ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为 . 底 .N 的对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数 式)
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1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 说明:○ x 2 a ? N ? loga N ? x ; ○ loga N 3 注意对数的书写格式. ○ 两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○ 对数式与指数式的互化 loga N ? x ? a x ? N 对数式 指数式 ? 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← → 指数 x 真数 ← N → 幂 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: (1) loga (M ? N ) ? loga M M ? loga M - loga N ; + loga N ; ( 2 ) log a ( 3 ) loga M n ? n loga M N (n ? R) . logc b 注意:换底公式 loga b ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ;c ? 0 ,且 c ? 1 ;b ? 0 ) . logc a n 1 log a m b n ? log a b ; 利用换底公式推导下面的结论 (1) (2) . loga b ? m logb a (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 . x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 注意:○ x 如:y ? 2 log2 x ,y ? log 5 都不是对数函数, 而只能称其为对数型函数. 5 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○ 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

图象特征
a ?1 0 ? a ?1

函数性质
a ?1 0 ? a ?1

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对 称 向 y 轴正负方向无限延伸

函数的定义域为(0,+∞) 非奇非偶函数 函数的值域为 R
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函数图象都过定点 (1, 0) 自左向 自左向 右看, 右看, 图象逐 图象逐 渐上升 渐下降 第一象 第一象 限的图 限的图 象纵坐 象纵坐 标都大 标都大 于0 于0 第二象 第二象 限的图 限的图 象纵坐 象纵坐 标都小 标都小 于0 于0

loga 1 ? 0
增函数 减函数

x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0

x ? 1, loga x ? 0

三、幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为 常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特 别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时, 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即: 方 程 f ( x) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ? 函 数 y ? f ( x) 有零点. 3、函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的 ○ 图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
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1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴 有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的 图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点, 二次函数无零点.

高中数学必修 2 知识点总结
第一章
S直棱柱侧面积 ? ch
S正棱锥侧面积 ?
S正棱台侧面积 ?

立体几何初步

1、特殊几何体表面积公式( c 为底面周长, h 为高, h ' 为斜高, l 为母线)
1 ch ' 2

S圆柱侧 ? 2?rh

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?
S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R2

S圆锥侧面积 ? ?rl S圆锥表 ? ?r?r ? l ?
S圆台侧面积 ? (r ? R)?l

?

?

2、柱体、锥体、台体的体积公式 V柱 ? Sh
1 V锥 ? Sh 3 1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R2 )h 3 3
3 球体的表面积和体积公式: V 球 = 4 ? R3 ; S 球面 = 4? R 2
3

第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的
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2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为

A∈ l B∈ l => l ? ? A∈ ? B∈ ? 公理 1 作用:判断直线是否在平面内.

α ?

A

L

(2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。
α ?
A

?

C

?

B

公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过
β

该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据.

α

P

?

L

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为 了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0 2 , );
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③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记 作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a

α 来表示

a α a∩α =A 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定

a∥α

1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则 这两个平面平行。 符号表示:

a
b

β β β ∥?

a ∩b = p a ∥? b ∥?
2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义;
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(2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那 么它们的交线平行。 符号表示:

? ∥? ? ∩γ = a
? ∩γ = b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平 面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂 面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、 直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的 数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定
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a ∥b

1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平 面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直。

第三章 直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线 与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。 因此, 倾斜角的取值范围是 0° ≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直 线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 当 ? ? 0? ,90? 时,k ? 0 ; 当 ? ? 90? ,180? 时,k ? 0 ; 当 ? ? 90? 时,k 不 存在。 y ? y1 ②过两点的直线的斜率公式:k ? 2 ( x1 ? x2 ) ( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 x2 ? x1 ≠x2) 注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求 得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。

?

?

?

?

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当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表 示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:
x a
y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

④截矩式: ?

y ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 b y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如: 注意:○ ○ 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为 常数) ; (4)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (5)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 B x2 , y2) (6)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, ( 7 ) 点 到 直 线 距 离 公 式 : 一 点 P?x0 , y0 ? 到 直 线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的 距 离
d? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

(8)两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心, 定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r ;
2 2

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点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内 (2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时 , 方 程 表 示 圆 , 此 时 圆 心 为
r? 1 D 2 ? E 2 ? 4F 2
? D E? ? ? ,? ? 2? ? 2

,半径为

当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆 的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心 的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距 离 为
d? Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, 则 有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ;

d ? r ? l与C相交

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程, 用圆心到该直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点 的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比 较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C2 : ?x ? a2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确 定。 ①当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; ②当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; ③当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; ④当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; ⑤当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

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